Giup Minh voi

Câu 1. Để tính xác suất gặp một học sinh không thích bóng đá hoặc bóng rổ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm xác suất học sinh thích bóng đá hoặc bóng rổ: - Xác suất học sinh thích bóng đá là \( P(A) = 0.45 \). - Xác suất học sinh thích bóng rổ là \( P(B) = 0.60 \). - Xác suất học sinh thích cả hai môn là \( P(A \cap B) = 0.30 \). 2. Áp dụng công thức xác suất của sự kiện tổng hợp: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Thay các giá trị vào: \[ P(A \cup B) = 0.45 + 0.60 - 0.30 = 0.75 \] 3. Tìm xác suất học sinh không thích bóng đá hoặc bóng rổ: - Xác suất học sinh không thích bóng đá hoặc bóng rổ là: \[ P(\text{không thích bóng đá hoặc bóng rổ}) = 1 - P(A \cup B) \] Thay giá trị đã tính: \[ P(\text{không thích bóng đá hoặc bóng rổ}) = 1 - 0.75 = 0.25 \] Vậy xác suất để gặp một học sinh trong trường mà học sinh đó không thích bóng đá hoặc bóng rổ là \( 0.25 \). Câu 2. Để tính xác suất lấy được ít nhất một quả bóng màu xanh sau 3 lượt lấy, ta có thể tính xác suất không lấy được quả bóng màu xanh nào trong 3 lượt lấy và sau đó lấy kết quả này từ 1. Bước 1: Xác định tổng số quả bóng trong túi. Tổng số quả bóng trong túi là: \[ 5 + 6 = 11 \] Bước 2: Xác định xác suất lấy được một quả bóng màu đỏ trong một lần lấy. Xác suất lấy được một quả bóng màu đỏ là: \[ \frac{5}{11} \] Bước 3: Xác định xác suất không lấy được quả bóng màu xanh trong 3 lượt lấy. Xác suất không lấy được quả bóng màu xanh trong một lần lấy là xác suất lấy được quả bóng màu đỏ, tức là: \[ \frac{5}{11} \] Vì mỗi lần lấy là độc lập, xác suất không lấy được quả bóng màu xanh trong 3 lượt lấy là: \[ \left( \frac{5}{11} \right)^3 = \frac{125}{1331} \] Bước 4: Xác định xác suất lấy được ít nhất một quả bóng màu xanh sau 3 lượt lấy. Xác suất lấy được ít nhất một quả bóng màu xanh là: \[ 1 - \frac{125}{1331} = \frac{1331 - 125}{1331} = \frac{1206}{1331} \] Vậy xác suất lấy được ít nhất một quả bóng màu xanh sau 3 lượt lấy là: \[ \frac{1206}{1331} \] Câu 3. Để tìm góc phẳng nhị diện $[A, B^\prime D^\prime, A^\prime]$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Điểm $A$ là đỉnh của hộp phấn. - Đường thẳng $B^\prime D^\prime$ nằm trên mặt đáy của hộp phấn. - Điểm $A^\prime$ là đỉnh đối diện với $A$ trên mặt bên của hộp phấn. 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: - Giao tuyến của hai mặt phẳng $AB^\prime D^\prime$ và $AA^\prime B^\prime$ là đường thẳng $AB^\prime$. 3. Xác định góc phẳng nhị diện: - Góc phẳng nhị diện $[A, B^\prime D^\prime, A^\prime]$ là góc giữa hai đường thẳng $AB^\prime$ và $A^\prime B^\prime$. 4. Tính toán góc phẳng nhị diện: - Ta cần tính góc giữa hai đường thẳng $AB^\prime$ và $A^\prime B^\prime$. - Xác định tọa độ các điểm: - $A(0, 0, 0)$ - $B^\prime(10.5, 0, 0)$ - $A^\prime(0, 8.5, 8.2)$ - Vector $\overrightarrow{AB^\prime} = (10.5, 0, 0)$ - Vector $\overrightarrow{A^\prime B^\prime} = (10.5, -8.5, -8.2)$ 5. Tính cosin của góc giữa hai vector: - Công thức tính cosin góc giữa hai vector $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} \] - Tích vô hướng $\overrightarrow{AB^\prime} \cdot \overrightarrow{A^\prime B^\prime}$: \[ \overrightarrow{AB^\prime} \cdot \overrightarrow{A^\prime B^\prime} = 10.5 \times 10.5 + 0 \times (-8.5) + 0 \times (-8.2) = 110.25 \] - Độ dài vector $\overrightarrow{AB^\prime}$: \[ |\overrightarrow{AB^\prime}| = \sqrt{10.5^2 + 0^2 + 0^2} = 10.5 \] - Độ dài vector $\overrightarrow{A^\prime B^\prime}$: \[ |\overrightarrow{A^\prime B^\prime}| = \sqrt{10.5^2 + (-8.5)^2 + (-8.2)^2} = \sqrt{110.25 + 72.25 + 67.24} = \sqrt{249.74} \approx 15.8 \] - Cosin góc $\theta$: \[ \cos \theta = \frac{110.25}{10.5 \times 15.8} \approx \frac{110.25}{165.9} \approx 0.665 \] 6. Tính góc $\theta$: - Góc $\theta$: \[ \theta = \cos^{-1}(0.665) \approx 48.2^\circ \] Vậy góc phẳng nhị diện $[A, B^\prime D^\prime, A^\prime]$ là khoảng $48.2^\circ$. Câu 4. Để tính thể tích phần không gian bên trong chiếc hộp không bị chiếm bởi mô hình đồ chơi dạng hình chóp, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính thể tích của chiếc hộp hình lập phương. 2. Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều. 3. Tính thể tích phần không gian bên trong chiếc hộp không bị chiếm bởi mô hình đồ chơi. Bước 1: Tính thể tích của chiếc hộp hình lập phương Thể tích của một hình lập phương được tính bằng công thức: \[ V_{\text{lập phương}} = a^3 \] Trong đó \( a \) là độ dài cạnh của hình lập phương. Với \( a = 30 \) cm, ta có: \[ V_{\text{lập phương}} = 30^3 = 27000 \text{ cm}^3 \] Bước 2: Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều Thể tích của một hình chóp được tính bằng công thức: \[ V_{\text{chóp}} = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] - Diện tích đáy của hình chóp là diện tích của một hình vuông có cạnh bằng cạnh của chiếc hộp: \[ S_{\text{đáy}} = a^2 = 30^2 = 900 \text{ cm}^2 \] - Chiều cao của hình chóp là khoảng cách từ đỉnh chóp đến đáy, tức là khoảng cách giữa hai mặt đối diện của hình lập phương: \[ h = 30 \text{ cm} \] Vậy thể tích của hình chóp là: \[ V_{\text{chóp}} = \frac{1}{3} \times 900 \times 30 = \frac{1}{3} \times 27000 = 9000 \text{ cm}^3 \] Bước 3: Tính thể tích phần không gian bên trong chiếc hộp không bị chiếm bởi mô hình đồ chơi Thể tích phần không gian bên trong chiếc hộp không bị chiếm bởi mô hình đồ chơi là: \[ V_{\text{không gian trống}} = V_{\text{lập phương}} - V_{\text{chóp}} \] \[ V_{\text{không gian trống}} = 27000 - 9000 = 18000 \text{ cm}^3 \] Vậy thể tích phần không gian bên trong chiếc hộp không bị chiếm bởi mô hình đồ chơi là 18000 cm³. Câu 5. Dân số Việt Nam năm 2015 là 91,7 triệu người. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Việt Nam trong giai đoạn 2015-2040 ở mức không đổi 1,1%. Ta sẽ tính toán để tìm năm mà dân số Việt Nam đạt mức 113 triệu người. Bước 1: Xác định công thức tăng dân số theo thời gian. Số dân sau mỗi năm sẽ tăng lên theo công thức: \[ P_{n} = P_{0} \times (1 + r)^n \] Trong đó: - \( P_{n} \) là dân số sau n năm. - \( P_{0} \) là dân số ban đầu. - \( r \) là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. - \( n \) là số năm. Bước 2: Áp dụng công thức vào bài toán. \[ 113 = 91,7 \times (1 + 0,011)^n \] Bước 3: Giải phương trình để tìm n. \[ \frac{113}{91,7} = (1,011)^n \] \[ 1,232 = (1,011)^n \] Bước 4: Lấy logarit cả hai vế để giải phương trình mũ. \[ \log(1,232) = \log((1,011)^n) \] \[ \log(1,232) = n \times \log(1,011) \] Bước 5: Tính giá trị của n. \[ n = \frac{\log(1,232)}{\log(1,011)} \] \[ n \approx \frac{0,0906}{0,00477} \] \[ n \approx 19 \] Bước 6: Kết luận. Dân số Việt Nam sẽ đạt mức 113 triệu người vào khoảng năm 2015 + 19 = 2034. Đáp số: Năm 2034. Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số đã cho là \( y = x^3 - 3x^2 - 1 \). Ta tính đạo hàm của nó: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 1) = 3x^2 - 6x \] 2. Xác định hệ số góc của tiếp tuyến: Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \( M(x_0; y_0) \) là \( y'(x_0) \): \[ y'(x_0) = 3x_0^2 - 6x_0 \] 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hệ số góc: Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( 3x_0^2 - 6x_0 \), ta coi đây là một hàm số \( f(x) = 3x^2 - 6x \) và tìm giá trị nhỏ nhất của nó. Ta tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6 \] Đặt \( f'(x) = 0 \) để tìm điểm cực trị: \[ 6x - 6 = 0 \implies x = 1 \] Ta kiểm tra tính chất của điểm \( x = 1 \) bằng cách tính đạo hàm thứ hai: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(6x - 6) = 6 \] Vì \( f''(x) > 0 \), nên \( x = 1 \) là điểm cực tiểu của \( f(x) \). 4. Tính giá trị của \( x_0 \) và \( y_0 \): Tại \( x_0 = 1 \), ta có: \[ y_0 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 - 1 = 1 - 3 - 1 = -3 \] 5. Tính \( x_0^2 + y_0^2 \): \[ x_0^2 + y_0^2 = 1^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10 \] Vậy, giá trị của \( x_0^2 + y_0^2 \) là \( 10 \). Đáp số: \( 10 \) Câu 7. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm số lượng các số có bốn chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 2. Tìm số lượng các số trong tập hợp trên mà chia hết cho 15. 3. Tính xác suất. Bước 1: Tìm số lượng các số có bốn chữ số khác nhau - Chữ số hàng nghìn phải khác 0 (vì là số có bốn chữ số). Do đó, có 7 lựa chọn cho chữ số hàng nghìn (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). - Chữ số hàng trăm có thể là bất kỳ chữ số nào trừ chữ số đã chọn cho hàng nghìn, do đó có 7 lựa chọn. - Chữ số hàng chục có thể là bất kỳ chữ số nào trừ hai chữ số đã chọn, do đó có 6 lựa chọn. - Chữ số hàng đơn vị có thể là bất kỳ chữ số nào trừ ba chữ số đã chọn, do đó có 5 lựa chọn. Số lượng các số có bốn chữ số khác nhau: \[ 7 \times 7 \times 6 \times 5 = 1470 \] Bước 2: Tìm số lượng các số chia hết cho 15 Một số chia hết cho 15 nếu và chỉ nếu nó chia hết cho cả 3 và 5. Điều kiện chia hết cho 5: - Chữ số hàng đơn vị phải là 0 hoặc 5. Điều kiện chia hết cho 3: - Tổng các chữ số của số đó phải chia hết cho 3. Ta sẽ xét từng trường hợp: Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị là 0 - Chữ số hàng nghìn có 6 lựa chọn (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trừ 0). - Chữ số hàng trăm có 6 lựa chọn (trừ chữ số hàng nghìn và 0). - Chữ số hàng chục có 5 lựa chọn (trừ chữ số hàng nghìn, hàng trăm và 0). Số lượng các số có bốn chữ số khác nhau với chữ số hàng đơn vị là 0: \[ 6 \times 6 \times 5 = 180 \] Trong số này, ta cần kiểm tra các số có tổng các chữ số chia hết cho 3. Ta sẽ không liệt kê cụ thể từng số mà chỉ tính toán tổng các trường hợp thỏa mãn. Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị là 5 - Chữ số hàng nghìn có 6 lựa chọn (1, 2, 3, 4, 6, 7 trừ 0 và 5). - Chữ số hàng trăm có 6 lựa chọn (trừ chữ số hàng nghìn, 0 và 5). - Chữ số hàng chục có 5 lựa chọn (trừ chữ số hàng nghìn, hàng trăm, 0 và 5). Số lượng các số có bốn chữ số khác nhau với chữ số hàng đơn vị là 5: \[ 6 \times 6 \times 5 = 180 \] Trong số này, ta cũng cần kiểm tra các số có tổng các chữ số chia hết cho 3. Bước 3: Tính xác suất Số lượng các số chia hết cho 15 là tổng của các số thỏa mãn điều kiện ở hai trường hợp trên. Giả sử có \( n \) số thỏa mãn điều kiện chia hết cho 3 trong mỗi trường hợp. Xác suất để số chọn được chia hết cho 15: \[ P = \frac{n + n}{1470} = \frac{2n}{1470} \] Kết luận Để có kết quả chính xác, ta cần kiểm tra cụ thể các số trong từng trường hợp để tính \( n \). Tuy nhiên, theo phương pháp trên, ta có thể thấy rằng xác suất sẽ phụ thuộc vào số lượng các số thỏa mãn điều kiện chia hết cho 3 trong mỗi trường hợp. Vậy, xác suất để số chọn được chia hết cho 15 là: \[ P = \frac{2n}{1470} \] Để có kết quả cuối cùng, ta cần tính toán cụ thể \( n \). Câu 8. Để tính xác suất lấy được hai quả bóng màu xanh sau 2 lượt lấy, ta làm như sau: 1. Tìm tổng số quả bóng trong túi: Tổng số quả bóng trong túi là: \[ 5 + 6 = 11 \text{ quả bóng} \] 2. Xác suất lấy được quả bóng màu xanh ở lần đầu: Số quả bóng màu xanh là 6, nên xác suất lấy được quả bóng màu xanh ở lần đầu là: \[ P(\text{xanh lần đầu}) = \frac{6}{11} \] 3. Xác suất lấy được quả bóng màu xanh ở lần thứ hai: Vì sau mỗi lần lấy, quả bóng được trả lại vào túi, nên tổng số quả bóng vẫn là 11 và số quả bóng màu xanh vẫn là 6. Do đó, xác suất lấy được quả bóng màu xanh ở lần thứ hai cũng là: \[ P(\text{xanh lần thứ hai}) = \frac{6}{11} \] 4. Xác suất lấy được hai quả bóng màu xanh sau 2 lượt lấy: Xác suất lấy được hai quả bóng màu xanh liên tiếp là tích của xác suất lấy được quả bóng màu xanh ở lần đầu và xác suất lấy được quả bóng màu xanh ở lần thứ hai: \[ P(\text{hai quả bóng xanh}) = P(\text{xanh lần đầu}) \times P(\text{xanh lần thứ hai}) = \frac{6}{11} \times \frac{6}{11} = \frac{36}{121} \] Vậy xác suất lấy được hai quả bóng màu xanh sau 2 lượt lấy là: \[ \boxed{\frac{36}{121}} \] Câu 9. Để tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định trực giao của đường thẳng SC với mặt phẳng (SAB): - Vì SB ⊥ (ABC), nên SB ⊥ AB. - Mặt khác, ABC là tam giác đều, do đó AB ⊥ AC. - Kết hợp hai điều trên, ta có AB ⊥ (SAC). Do đó, AB ⊥ SC. 2. Tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB): - Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống (SAB). Ta cần tìm góc SCH vì góc này là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB). 3. Tính khoảng cách từ C đến (SAB): - Xét tam giác SAC, ta có SA = $\sqrt{SB^2 + BA^2} = \sqrt{(4a)^2 + a^2} = \sqrt{16a^2 + a^2} = \sqrt{17a^2} = a\sqrt{17}$. - Diện tích tam giác SAC là $\frac{1}{2} \times SA \times CH$. - Diện tích tam giác SAC cũng là $\frac{1}{2} \times SB \times AC = \frac{1}{2} \times 4a \times a = 2a^2$. - Do đó, ta có: $\frac{1}{2} \times a\sqrt{17} \times CH = 2a^2$. - Giải ra ta được: $CH = \frac{4a^2}{a\sqrt{17}} = \frac{4a}{\sqrt{17}} = \frac{4a\sqrt{17}}{17}$. 4. Tính góc SCH: - Trong tam giác SCH vuông tại H, ta có: \[ \sin(\angle SCH) = \frac{CH}{SC} \] - Ta đã biết $CH = \frac{4a\sqrt{17}}{17}$ và $SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(a\sqrt{17})^2 + a^2} = \sqrt{17a^2 + a^2} = \sqrt{18a^2} = a\sqrt{18} = 3a\sqrt{2}$. - Do đó: \[ \sin(\angle SCH) = \frac{\frac{4a\sqrt{17}}{17}}{3a\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{17}}{17 \times 3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{17}}{51\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{34}}{102} = \frac{2\sqrt{34}}{51} \] 5. Kết luận: - Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc SCH, với $\sin(\angle SCH) = \frac{2\sqrt{34}}{51}$. Đáp số: $\sin(\angle SCH) = \frac{2\sqrt{34}}{51}$.