giúp mik ý 2 nha 17: Cho hình chóp ..ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=a,~AD=a\sqrt2,$ SA vuông góc với mặt,ung đáy. Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng đáy một góc $30^0$ Gọi M là trung điểm của BC. Tính thể tích của,nuổi chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và BB.

Question

ft. Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5412499,"userName":"Yeotan Kim"}

Đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB = a $, $ AD = a\sqrt{2} $.

Đường chéo $ AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt{3} $.

Góc giữa $ SC $ và mặt đáy là $ 30^\circ $, nên:

$\tan 30^\circ = \frac{SA}{AC} \Rightarrow SA = AC \cdot \tan 30^\circ = a\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = a$

Thể tích khối chóp:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot (a \cdot a\sqrt{2}) \cdot a = \frac{a^3 \sqrt{2}}{3}$

Gốc $ A(0, 0, 0) $, $ B(a, 0, 0) $, $ D(0, a\sqrt{2}, 0) $, $ S(0, 0, a) $.

Trung điểm $ M $ của $ BC $ có tọa độ $ M(a, \dfrac{a\sqrt{2}}{2}, 0) $.

Vector chỉ phương $ \overrightarrow{DM} = (a, -\dfrac{a\sqrt{2}}{2}, 0) $.

Đi qua $ D(0, a\sqrt{2}, 0) $.

Vector chỉ phương $ \overrightarrow{SB} = (a, 0, -a) $.

Đi qua $ S(0, 0, a) $.

Vector pháp tuyến của mặt phẳng chứa $ DM $ và song song $ SB $:

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{DM} \times \overrightarrow{SB} = \left( -\dfrac{a^2 \sqrt{2}}{2}, -a^2, -\dfrac{a^2 \sqrt{2}}{2} \right)$

$d = \frac{|\overrightarrow{SD} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} = \frac{a^3 \sqrt{2}}{\sqrt{2a^4 + a^4}} = \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \dfrac{a \sqrt{6}}{3}$