Một hộp không nắp được làm từ một mảnh bìa cát- tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x (cm), chiều cao h (cm) và thể tích là 500cm3. Tính độ cạnh hình vuông x (cm) sao cho chiếc hộp...

Thể tích của hộp là: \[ x^2 \cdot h = 500 \] \[ h = \frac{500}{x^2} \] Diện tích toàn phần của hộp (không có nắp) là: \[ S = x^2 + 4xh \] Thay \( h = \frac{500}{x^2} \) vào diện tích toàn phần: \[ S = x^2 + 4x \left( \frac{500}{x^2} \right) \] \[ S = x^2 + \frac{2000}{x} \] Để tốn ít bìa cát-tông nhất, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho \( S \) nhỏ nhất. Ta có: \[ S = x^2 + \frac{2000}{x} \] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ x^2 + \frac{2000}{x} \geq 2 \sqrt{x^2 \cdot \frac{2000}{x}} \] \[ x^2 + \frac{2000}{x} \geq 2 \sqrt{2000x} \] Để \( S \) nhỏ nhất, ta cần: \[ x^2 = \frac{2000}{x} \] \[ x^3 = 2000 \] \[ x = \sqrt[3]{2000} \] \[ x = 10 \sqrt[3]{2} \] Vậy độ cạnh hình vuông \( x \) sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa cát-tông nhất là: \[ x = 10 \sqrt[3]{2} \approx 12.6 \text{ cm} \] Đáp số: \( x \approx 12.6 \text{ cm} \)