lam ho toiii điii

Câu 1: Để giải quyết các câu hỏi về hình chóp S.ABCD, ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần của câu hỏi. a) CD ⊥ SD - Vì đáy ABCD là hình vuông nên CD ⊥ AD. - SA ⊥ ABCD suy ra SA ⊥ CD. - Vậy CD ⊥ mặt phẳng SAD (giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc). - Do đó, CD ⊥ SD. b) SOC ⊥ SBD - Ta cần chứng minh rằng hai mặt phẳng SOC và SBD vuông góc với nhau. - Ta thấy SO ⊥ ABCD (vì SA ⊥ ABCD và O là tâm của hình vuông ABCD). - Mặt khác, BD ⊂ ABCD, do đó SO ⊥ BD. - Ta cũng biết rằng OC ⊥ BD (vì O là tâm của hình vuông ABCD). - Vậy BD ⊥ mặt phẳng SOC (giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc). - Do đó, mặt phẳng SOC ⊥ mặt phẳng SBD. c) Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$ - Diện tích đáy ABCD là $a^2$. - Chiều cao SA của chóp S.ABCD là: \[ SA = \sqrt{SB^2 - AB^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 - a^2} = \sqrt{2a^2 - a^2} = a \] - Thể tích của chóp S.ABCD là: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} = \frac{1}{3} \times a^2 \times a = \frac{a^3}{3} \] d) Góc giữa SC và mp(SAB) bằng α thì $\tan \alpha = \sqrt{2}$ - Ta cần tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB. - Xét tam giác SAB, ta có: \[ SB = a\sqrt{2}, \quad AB = a \] - Chiều cao hạ từ C xuống mặt phẳng SAB là đường thẳng vuông góc với SAB, ta gọi là đường thẳng này là CH. - Ta thấy CH = OC vì OC ⊥ AB và OC ⊥ SA (do SA ⊥ ABCD). - Vậy: \[ CH = \frac{a}{\sqrt{2}} \] - Ta tính khoảng cách từ C đến SAB là: \[ SC = \sqrt{SO^2 + OC^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \] - Góc giữa SC và mp(SAB) là góc giữa SC và CH: \[ \tan \alpha = \frac{CH}{SO} = \frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \] Kết luận: - Đáp án đúng là: a, b, d. Câu 2: a) Ta có: $f(-x)=e^{-x}-e^{x}=-(e^{x}-e^{-x})=-f(x),~\forall x\in D.$ Vậy nhận. b) Ta có: $f^\prime(x)=(e^{x}-e^{-x})^\prime=(e^{x})^\prime-(e^{-x})^\prime=e^{x}+e^{-x}.$ Vậy nhận. c) Hàm số $y=f(x)$ có tập xác định là $D=\mathbb R.$ Vậy sai. d) Ta có: $f^\prime(x)=2$ $e^{x}+e^{-x}=2$ $\frac{e^{2x}+1}{e^{x}}=2$ $e^{2x}-2e^{x}+1=0$ $(e^{x}-1)^2=0$ $e^{x}=1$ $x=0.$ Phương trình $f^\prime(x)=2$ có 1 nghiệm duy nhất. Vậy sai. Câu 1: Để tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \( t = 3 \) giây, ta cần tìm đạo hàm của phương trình chuyển động \( S(t) \) theo thời gian \( t \). Phương trình chuyển động được cho là: \[ S(t) = t^3 + 3t^2 + 5t + 2 \] Bước 1: Tìm đạo hàm của \( S(t) \) để xác định vận tốc tức thời \( v(t) \): \[ v(t) = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + 3t^2 + 5t + 2) \] \[ v(t) = 3t^2 + 6t + 5 \] Bước 2: Thay \( t = 3 \) vào biểu thức của \( v(t) \) để tìm vận tốc tức thời tại thời điểm \( t = 3 \) giây: \[ v(3) = 3(3)^2 + 6(3) + 5 \] \[ v(3) = 3 \cdot 9 + 6 \cdot 3 + 5 \] \[ v(3) = 27 + 18 + 5 \] \[ v(3) = 50 \] Vậy vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \( t = 3 \) giây là 50 m/s. Câu 2: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6. Người đó bắn hai viên đạn một cách độc lập. Tính xác suất để có ít nhất một viên đạn trúng mục tiêu. Để tính xác suất để có ít nhất một viên đạn trúng mục tiêu, ta có thể tính xác suất để cả hai viên đạn đều không trúng mục tiêu và sau đó lấy 1 trừ đi xác suất này. Xác suất bắn trượt một viên đạn là: \[ 1 - 0,6 = 0,4 \] Xác suất để cả hai viên đạn đều không trúng mục tiêu là: \[ 0,4 \times 0,4 = 0,16 \] Vậy xác suất để có ít nhất một viên đạn trúng mục tiêu là: \[ 1 - 0,16 = 0,84 \] Đáp số: 0,84 Câu 3: Để giải quyết các bài toán liên quan đến biến đổi và tính toán lôgarit, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xác định dạng của bài toán - Xác định bài toán yêu cầu tính toán giá trị của lôgarit, biến đổi biểu thức lôgarit, hoặc giải phương trình lôgarit. Bước 2: Áp dụng các công thức cơ bản của lôgarit Các công thức cơ bản của lôgarit bao gồm: 1. $\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$ 2. $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)$ 3. $\log_a(x^n) = n \cdot \log_a(x)$ 4. $\log_a(a) = 1$ 5. $\log_a(1) = 0$ Bước 3: Biến đổi biểu thức lôgarit - Sử dụng các công thức trên để biến đổi biểu thức lôgarit thành dạng đơn giản hơn hoặc dễ tính toán hơn. Bước 4: Tính toán giá trị lôgarit - Nếu cần tính toán giá trị cụ thể của lôgarit, sử dụng máy tính hoặc bảng số liệu lôgarit để tìm giá trị. Bước 5: Kiểm tra lại kết quả - Kiểm tra lại các phép biến đổi và tính toán để đảm bảo không có lỗi. Ví dụ: Giả sử bài toán yêu cầu tính giá trị của biểu thức $\log_2(8) + \log_2(4)$. Bước 1: Xác định dạng của bài toán - Bài toán yêu cầu tính giá trị của biểu thức lôgarit. Bước 2: Áp dụng các công thức cơ bản của lôgarit - Sử dụng công thức $\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$. Bước 3: Biến đổi biểu thức lôgarit \[ \log_2(8) + \log_2(4) = \log_2(8 \times 4) = \log_2(32) \] Bước 4: Tính toán giá trị lôgarit - Ta biết rằng $32 = 2^5$, do đó: \[ \log_2(32) = \log_2(2^5) = 5 \] Bước 5: Kiểm tra lại kết quả - Kết quả cuối cùng là $\log_2(8) + \log_2(4) = 5$. Kết luận Giá trị của biểu thức $\log_2(8) + \log_2(4)$ là 5. Đây là cách giải chi tiết cho bài toán biến đổi và tính toán lôgarit. Câu 4: Để giải quyết một bài toán vận dụng thực tế liên quan đến hàm số mũ, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: Bước 1: Hiểu rõ đề bài - Xác định các thông tin đã cho trong đề bài. - Xác định yêu cầu của đề bài (ví dụ: tìm thời gian để một lượng chất tăng gấp đôi, giảm còn bao nhiêu phần trăm sau một khoảng thời gian nhất định, v.v.). Bước 2: Xác định hàm số mũ - Hàm số mũ thường có dạng \( y = A \cdot e^{kt} \) hoặc \( y = A \cdot a^t \), trong đó: - \( A \) là giá trị ban đầu. - \( k \) là hằng số tỷ lệ (trong trường hợp hàm số mũ liên tục). - \( t \) là thời gian. - \( a \) là cơ số (trong trường hợp hàm số mũ rời rạc). Bước 3: Áp dụng dữ liệu vào hàm số - Thay các giá trị đã biết vào hàm số để tìm các tham số chưa biết (như \( k \) hoặc \( a \)). Bước 4: Giải quyết yêu cầu của đề bài - Dựa vào yêu cầu của đề bài, sử dụng hàm số đã xác định để tính toán giá trị cần thiết. Bước 5: Kết luận - Đưa ra kết luận cuối cùng dựa trên các tính toán đã thực hiện. Ví dụ cụ thể Đề bài: Một lượng chất phóng xạ ban đầu có khối lượng là 100 gram. Sau mỗi năm, khối lượng của nó giảm đi 10%. Hỏi sau bao lâu thì khối lượng của nó còn lại 50 gram? Bước 1: Hiểu rõ đề bài - Khối lượng ban đầu: 100 gram. - Mỗi năm khối lượng giảm đi 10%. - Yêu cầu: Tìm thời gian để khối lượng còn lại 50 gram. Bước 2: Xác định hàm số mũ - Hàm số mũ rời rạc: \( y = A \cdot (1 - p)^t \), trong đó \( p \) là tỉ lệ phần trăm giảm đi. - Ở đây, \( A = 100 \) gram, \( p = 0.1 \), và \( y = 50 \) gram. Bước 3: Áp dụng dữ liệu vào hàm số - Ta có: \( 50 = 100 \cdot (0.9)^t \). Bước 4: Giải quyết yêu cầu của đề bài - Chia cả hai vế cho 100: \( 0.5 = (0.9)^t \). - Lấy logarit của cả hai vế: \( \log(0.5) = \log((0.9)^t) \). - Áp dụng công thức logarit: \( \log(0.5) = t \cdot \log(0.9) \). - Giải phương trình: \( t = \frac{\log(0.5)}{\log(0.9)} \). Bước 5: Kết luận - Tính toán giá trị của \( t \): \[ t = \frac{\log(0.5)}{\log(0.9)} \approx \frac{-0.3010}{-0.0458} \approx 6.57 \] - Vậy sau khoảng 6.57 năm, khối lượng của chất phóng xạ còn lại 50 gram. Kết luận: Sau khoảng 6.57 năm, khối lượng của chất phóng xạ còn lại 50 gram. Câu 5: Để giải quyết bài toán về tiếp tuyến, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điểm tiếp xúc: Tìm tọa độ của điểm trên đồ thị hàm số tại đó tiếp tuyến được xác định. 2. Tính đạo hàm: Tính đạo hàm của hàm số để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc. 3. Viết phương trình tiếp tuyến: Sử dụng công thức của phương trình đường thẳng đi qua một điểm với một hệ số góc đã biết. Giả sử bài toán yêu cầu tìm phương trình tiếp tuyến của hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( M(x_0, y_0) \). Bước 1: Xác định điểm tiếp xúc - Giả sử điểm tiếp xúc là \( M(x_0, y_0) \). Ta có \( y_0 = f(x_0) \). Bước 2: Tính đạo hàm - Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \) để tìm \( f'(x) \). - Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \( M(x_0, y_0) \) là \( f'(x_0) \). Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến - Phương trình tiếp tuyến của hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( M(x_0, y_0) \) có dạng: \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] Ví dụ cụ thể: Giả sử hàm số là \( y = x^2 + 2x + 1 \) và điểm tiếp xúc là \( M(1, 4) \). Bước 1: Xác định điểm tiếp xúc - Điểm tiếp xúc là \( M(1, 4) \). Bước 2: Tính đạo hàm - Đạo hàm của \( y = x^2 + 2x + 1 \) là: \[ y' = 2x + 2 \] - Tại điểm \( x = 1 \), ta có: \[ y'(1) = 2(1) + 2 = 4 \] Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến - Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( M(1, 4) \) là: \[ y - 4 = 4(x - 1) \] \[ y - 4 = 4x - 4 \] \[ y = 4x \] Vậy phương trình tiếp tuyến của hàm số \( y = x^2 + 2x + 1 \) tại điểm \( M(1, 4) \) là \( y = 4x \). Lời giải cuối cùng: Phương trình tiếp tuyến của hàm số \( y = x^2 + 2x + 1 \) tại điểm \( M(1, 4) \) là \( y = 4x \). Câu 1. Để chứng minh hai đường thẳng, hai vectơ hoặc hai đường thẳng vuông góc với nhau, ta có thể áp dụng các phương pháp sau: 1. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: - Ta có thể sử dụng tính chất của tam giác vuông, trong đó tổng các góc nội tiếp bằng 180° và một trong các góc là 90°. - Áp dụng định lý Pythagoras để kiểm tra liệu ba cạnh của tam giác có thỏa mãn \(a^2 + b^2 = c^2\) hay không, từ đó suy ra tam giác đó là tam giác vuông. - Sử dụng các tính chất của đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác trong tam giác vuông. 2. Chứng minh hai vectơ vuông góc: - Tính tích vô hướng của hai vectơ. Nếu tích vô hướng bằng 0 thì hai vectơ vuông góc với nhau. - Sử dụng phương pháp tọa độ: Nếu hai vectơ \(\vec{u} = (u_1, u_2)\) và \(\vec{v} = (v_1, v_2)\) thì \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) vuông góc nếu \(u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 = 0\). 3. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong mặt phẳng tọa độ: - Tìm phương trình của hai đường thẳng. - Xác định hệ số góc của mỗi đường thẳng. Nếu tích của hai hệ số góc bằng -1 (\(k_1 \cdot k_2 = -1\)), thì hai đường thẳng vuông góc với nhau. Dưới đây là ví dụ cụ thể về việc chứng minh hai vectơ vuông góc: Ví dụ: Cho hai vectơ \(\vec{u} = (3, 4)\) và \(\vec{v} = (-4, 3)\). Chứng minh rằng \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) vuông góc với nhau. Bước 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 = -12 + 12 = 0 \] Bước 2: Kết luận: Vì tích vô hướng của \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) bằng 0, nên hai vectơ này vuông góc với nhau. Đáp số: \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) vuông góc với nhau. Câu 2. Để tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian, ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \): \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Bước 1: Xác định tọa độ của hai điểm \( A \) và \( B \). Giả sử tọa độ của điểm \( A \) là \( (x_1, y_1, z_1) \) và tọa độ của điểm \( B \) là \( (x_2, y_2, z_2) \). Bước 2: Thay tọa độ của hai điểm vào công thức khoảng cách. \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Bước 3: Tính toán từng phần trong công thức. - Tính \( x_2 - x_1 \) - Tính \( y_2 - y_1 \) - Tính \( z_2 - z_1 \) Bước 4:平方每个差值并求和。 \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Bước 5: 求平方根以得到最终的距离。 \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] 通过以上步骤，我们可以计算出两点之间的距离。 Câu 3. Để giải quyết các bài toán vận dụng cao liên quan đến định nghĩa đạo hàm, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức về giới hạn và đạo hàm đã học ở lớp 11. Dưới đây là một ví dụ cụ thể về cách lập luận từng bước để giải quyết một bài toán như vậy. Ví dụ: Cho hàm số \( f(x) = x^2 + 3x - 2 \). Tìm đạo hàm của hàm số này tại điểm \( x = 1 \). Bước 1: Xác định đạo hàm theo định nghĩa Theo định nghĩa đạo hàm, đạo hàm của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x = a \) được tính bằng: \[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \] Bước 2: Thay \( a = 1 \) vào định nghĩa \[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} \] Bước 3: Tính \( f(1 + h) \) và \( f(1) \) - \( f(1 + h) = (1 + h)^2 + 3(1 + h) - 2 \) \[ = 1 + 2h + h^2 + 3 + 3h - 2 \] \[ = h^2 + 5h + 2 \] - \( f(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 - 2 \) \[ = 1 + 3 - 2 \] \[ = 2 \] Bước 4: Thay vào biểu thức đạo hàm \[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(h^2 + 5h + 2) - 2}{h} \] \[ = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + 5h}{h} \] \[ = \lim_{h \to 0} (h + 5) \] Bước 5: Tính giới hạn \[ f'(1) = 5 \] Kết luận: Đạo hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + 3x - 2 \) tại điểm \( x = 1 \) là 5. Qua ví dụ trên, chúng ta thấy rằng việc áp dụng định nghĩa đạo hàm đòi hỏi sự cẩn thận trong việc tính toán và thao tác với giới hạn. Các bước này giúp đảm bảo rằng chúng ta tìm được đạo hàm chính xác của hàm số tại điểm đã cho.