Cho hình chóp S.ABC có đảy là tam giác ABC vuông tại B, S4 L(ABC), AC =2a, BC=a, SA= aV3.
a) Chứng minh BC L (SAB).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thăng chéo nhau SB và AC.

Question

Timi · Accepted Answer

a) Ta có $SA = a\sqrt{3}$, $AC = 2a$, $SC = a\sqrt{7}$
Xét tam giác SAC có:
$$SA^2 + AC^2 = SC^2 \Rightarrow \triangle SAC\) vuông tại A.
Do đó $SA \perp AC$. 
Mặt khác, $SA \perp AB$ (vì $SA \perp$ đáy) nên $SA \perp$ mặt phẳng $ABC$. 
Do đó $SA \perp BC$. 
Lại có $BC \perp AB$ (vì $ABC$ là tam giác vuông tại B) nên $BC \perp$ mặt phẳng $SAB$.

b) Ta có $SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = 2a$.
Diện tích tam giác $SAB$ là:
\[S_{SAB} = \frac{1}{2} \times SA \times AB = \frac{1}{2} \times a\sqrt{3} \times a = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$
Diện tích tam giác $SBC$ là:
$$S_{SBC} = \frac{1}{2} \times SB \times BC = \frac{1}{2} \times 2a \times a = a^2$$
Thể tích khối chóp $SABC$ là:
$$V_{SABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA = \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2} \times AB \times BC\right) \times SA = \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2} \times a \times a\right) \times a\sqrt{3} = \frac{a^3\sqrt{3}}{6}$$
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SB$ và $AC$ là:
$$d(SB, AC) = \frac{3V_{SABC}}{S_{SBC}} = \frac{3 \times \frac{a^3\sqrt{3}}{6}}{a^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Đáp số:
a) $BC \perp (SAB)$
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SB$ và $AC$ là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Cho hình chóp S.ABC có đảy là tam giác ABC vuông tại B, S4 L(ABC), AC =2a, BC=a, SA= aV3. a) Chứng minh BC L (SAB). b) Tính khoảng cách giữa hai đường thăng chéo nhau SB và AC.