Hxhdbshdhxbsbshd

Câu 4. Gọi số tiền đầu tư vào quỹ cổ phiếu A là \( x \) triệu đồng, số tiền đầu tư vào quỹ trái phiếu B là \( y \) triệu đồng. Ta có các điều kiện: 1. \( x + y = 2000 \) 2. \( y \geq 300 \) 3. \( x \leq 1500 \) Tổng lợi nhuận hàng năm từ hai quỹ là: \[ P = 0.145x + 0.075y \] Thay \( y = 2000 - x \) vào biểu thức lợi nhuận: \[ P = 0.145x + 0.075(2000 - x) \] \[ P = 0.145x + 150 - 0.075x \] \[ P = 0.07x + 150 \] Để tối đa hóa lợi nhuận \( P \), ta cần tối đa hóa \( x \). Tuy nhiên, \( x \) bị giới hạn bởi điều kiện \( x \leq 1500 \). Do đó, ta chọn \( x = 1500 \): \[ y = 2000 - 1500 = 500 \] Kiểm tra điều kiện: - \( y = 500 \geq 300 \) (thỏa mãn) - \( x = 1500 \leq 1500 \) (thỏa mãn) Lợi nhuận hàng năm khi \( x = 1500 \) và \( y = 500 \): \[ P = 0.07 \times 1500 + 150 \] \[ P = 105 + 150 \] \[ P = 255 \] Vậy, tổng lợi nhuận hàng năm lớn nhất mà nhà đầu tư có thể đạt được là 255 triệu đồng. Câu 5. Chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là: \[ A(x) = \frac{C(x)}{T(x)} = \frac{x^2 + 108}{x + 6} \] Để tìm giá trị của \( x \) sao cho \( A(x) \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta tính đạo hàm của \( A(x) \): \[ A'(x) = \frac{(x^2 + 108)'(x + 6) - (x^2 + 108)(x + 6)'}{(x + 6)^2} \] \[ A'(x) = \frac{(2x)(x + 6) - (x^2 + 108)(1)}{(x + 6)^2} \] \[ A'(x) = \frac{2x^2 + 12x - x^2 - 108}{(x + 6)^2} \] \[ A'(x) = \frac{x^2 + 12x - 108}{(x + 6)^2} \] Đặt \( A'(x) = 0 \): \[ \frac{x^2 + 12x - 108}{(x + 6)^2} = 0 \] \[ x^2 + 12x - 108 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 + 4 \cdot 108}}{2} \] \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 432}}{2} \] \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{576}}{2} \] \[ x = \frac{-12 \pm 24}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{12}{2} = 6 \] \[ x_2 = \frac{-36}{2} = -18 \] (loại vì \( x > 0 \)) Do đó, \( x = 6 \). Để kiểm tra \( x = 6 \) là điểm cực tiểu, ta tính đạo hàm thứ hai: \[ A''(x) = \frac{(2x + 12)(x + 6)^2 - (x^2 + 12x - 108) \cdot 2(x + 6)}{(x + 6)^4} \] Thay \( x = 6 \) vào \( A''(x) \): \[ A''(6) = \frac{(2 \cdot 6 + 12)(6 + 6)^2 - (6^2 + 12 \cdot 6 - 108) \cdot 2(6 + 6)}{(6 + 6)^4} \] \[ A''(6) = \frac{(12 + 12)(12)^2 - (36 + 72 - 108) \cdot 2 \cdot 12}{12^4} \] \[ A''(6) = \frac{24 \cdot 144 - 0 \cdot 24}{20736} \] \[ A''(6) = \frac{3456}{20736} > 0 \] Vậy \( x = 6 \) là điểm cực tiểu của \( A(x) \). Kết luận: Để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất, giá trị của \( x \) là 6 dm. Câu 6. Để tính khoảng cách từ O đến B, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình của mặt phẳng (P): - Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm C(10, 50, 0) và D(30, 10, 0). - Vector CD = (30 - 10, 10 - 50, 0 - 0) = (20, -40, 0). Mặt phẳng (P) cũng đi qua điểm C(10, 50, 0). Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ a(x - 10) + b(y - 50) + c(z - 0) = 0 \] Vì vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (20, -40, 0), ta có: \[ 20(x - 10) - 40(y - 50) = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ 20x - 200 - 40y + 2000 = 0 \implies 20x - 40y + 1800 = 0 \implies x - 2y + 90 = 0 \] 2. Tìm phương trình đường thẳng đi qua A(30, 40, 120) và vuông góc với mặt phẳng (P): - Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (1, -2, 0), do đó đường thẳng này có phương song song với vector này. - Phương trình đường thẳng đi qua A(30, 40, 120) và có vector phương là (1, -2, 0) là: \[ \frac{x - 30}{1} = \frac{y - 40}{-2} = \frac{z - 120}{0} \] Điều này có nghĩa là z = 120 luôn luôn đúng. 3. Tìm giao điểm B của đường thẳng với mặt phẳng (P): - Thay phương trình đường thẳng vào phương trình mặt phẳng (P): \[ x - 2y + 90 = 0 \] Với x = 30 + t và y = 40 - 2t, ta có: \[ (30 + t) - 2(40 - 2t) + 90 = 0 \] \[ 30 + t - 80 + 4t + 90 = 0 \] \[ 5t + 40 = 0 \implies t = -8 \] Thay t = -8 vào phương trình đường thẳng: \[ x = 30 - 8 = 22 \] \[ y = 40 - 2(-8) = 40 + 16 = 56 \] \[ z = 120 \] Vậy B(22, 56, 120). 4. Tính khoảng cách từ O đến B: - Khoảng cách từ O(0, 0, 0) đến B(22, 56, 120) là: \[ OB = \sqrt{(22 - 0)^2 + (56 - 0)^2 + (120 - 0)^2} \] \[ OB = \sqrt{22^2 + 56^2 + 120^2} \] \[ OB = \sqrt{484 + 3136 + 14400} \] \[ OB = \sqrt{17920} \approx 134 \] Vậy khoảng cách từ O đến B là 134 mét.