vzjdhdhdhdb

Bài 5. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm của \( f(x) \) và \( g(x) \). 2. Thay vào bất phương trình và giải bất phương trình đó. 3. Tìm nghiệm nguyên của bất phương trình. Bước 1: Tính đạo hàm của \( f(x) \) và \( g(x) \). \[ f(x) = -x^3 + 2x - 2 \] \[ f'(x) = -3x^2 + 2 \] \[ g(x) = x^2 + 5 \] \[ g'(x) = 2x \] Bước 2: Thay vào bất phương trình và giải bất phương trình đó. a) \( f'(x) \geq g'(x) \) \[ -3x^2 + 2 \geq 2x \] \[ -3x^2 - 2x + 2 \geq 0 \] Chúng ta giải phương trình bậc hai \( -3x^2 - 2x + 2 = 0 \): \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(-3)(2)}}{2(-3)} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{-6} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{-6} \] \[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{-6} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{-3} \] \[ x = -\frac{1 + \sqrt{7}}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{1 - \sqrt{7}}{3} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = -\frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \quad x_2 = -\frac{1 - \sqrt{7}}{3} \] Phương trình \( -3x^2 - 2x + 2 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt, do đó bất phương trình \( -3x^2 - 2x + 2 \geq 0 \) sẽ có nghiệm nằm giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai này. b) \( f'(x) - 4g'(x) > 0 \) \[ -3x^2 + 2 - 4(2x) > 0 \] \[ -3x^2 + 2 - 8x > 0 \] \[ -3x^2 - 8x + 2 > 0 \] Chúng ta giải phương trình bậc hai \( -3x^2 - 8x + 2 = 0 \): \[ x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(-3)(2)}}{2(-3)} \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 24}}{-6} \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{88}}{-6} \] \[ x = \frac{8 \pm 2\sqrt{22}}{-6} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{22}}{-3} \] \[ x = -\frac{4 + \sqrt{22}}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{4 - \sqrt{22}}{3} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = -\frac{4 + \sqrt{22}}{3}, \quad x_2 = -\frac{4 - \sqrt{22}}{3} \] Phương trình \( -3x^2 - 8x + 2 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt, do đó bất phương trình \( -3x^2 - 8x + 2 > 0 \) sẽ có nghiệm nằm giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai này. Bước 3: Tìm nghiệm nguyên của bất phương trình. a) \( -3x^2 - 2x + 2 \geq 0 \) Nghiệm của phương trình là \( x_1 = -\frac{1 + \sqrt{7}}{3} \approx -1.215 \) và \( x_2 = -\frac{1 - \sqrt{7}}{3} \approx 0.548 \). Bất phương trình \( -3x^2 - 2x + 2 \geq 0 \) có nghiệm trong khoảng \( -\frac{1 + \sqrt{7}}{3} \leq x \leq -\frac{1 - \sqrt{7}}{3} \). Nghiệm nguyên duy nhất trong khoảng này là \( x = 0 \). b) \( -3x^2 - 8x + 2 > 0 \) Nghiệm của phương trình là \( x_1 = -\frac{4 + \sqrt{22}}{3} \approx -2.749 \) và \( x_2 = -\frac{4 - \sqrt{22}}{3} \approx 0.416 \). Bất phương trình \( -3x^2 - 8x + 2 > 0 \) có nghiệm trong khoảng \( -\frac{4 + \sqrt{22}}{3} < x < -\frac{4 - \sqrt{22}}{3} \). Nghiệm nguyên duy nhất trong khoảng này là \( x = -2 \) và \( x = -1 \). Đáp số: a) \( x = 0 \) b) \( x = -2 \) hoặc \( x = -1 \)