giải giúp tớ

Câu 1. Để tính góc giữa hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \) trong không gian Oxyz, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng \( d_1 \) có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 2t \\ y = 3t \\ z = 1 + 3t \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của \( d_1 \) là \( \vec{u}_1 = (2, 3, 3) \). - Đường thẳng \( d_2 \) có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 2t' \\ y = t' \\ z = 1 + t' \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của \( d_2 \) là \( \vec{u}_2 = (-2, 1, 1) \). 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương: \[ \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 2 \cdot (-2) + 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = -4 + 3 + 3 = 2 \] 3. Tính độ dài của mỗi vectơ chỉ phương: \[ |\vec{u}_1| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9 + 9} = \sqrt{22} \] \[ |\vec{u}_2| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] 4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ chỉ phương: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{2}{\sqrt{22} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{132}} = \frac{2}{2\sqrt{33}} = \frac{1}{\sqrt{33}} \] 5. Tính góc giữa hai đường thẳng: \[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{33}} \right) \] 6. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: \[ \theta \approx 80^\circ \] Vậy góc giữa hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \) là \( 80^\circ \). Câu 2. Để tính góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của đường ống thoát nước: - Đường ống thoát nước đi qua hai điểm \( A(1;2;3) \) và \( B(-1;4;-2) \). - Vectơ chỉ phương của đường ống thoát nước là \( \overrightarrow{AB} \). Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 1; 4 - 2; -2 - 3) = (-2; 2; -5) \] 2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt sàn: - Mặt sàn thuộc mặt phẳng (Oxz), do đó vectơ pháp tuyến của mặt sàn là \( \overrightarrow{n} = (0; 1; 0) \). 3. Tính góc giữa đường ống thoát nước và mặt sàn: - Gọi góc giữa đường ống thoát nước và mặt sàn là \( \theta \). - Góc giữa đường ống thoát nước và mặt sàn là góc giữa vectơ chỉ phương của đường ống và vectơ pháp tuyến của mặt sàn. Ta có: \[ \cos(\theta) = \left| \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{n}|} \right| \] - Tính tích vô hướng \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} \): \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} = (-2) \cdot 0 + 2 \cdot 1 + (-5) \cdot 0 = 2 \] - Tính độ dài của \( \overrightarrow{AB} \): \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 4 + 25} = \sqrt{33} \] - Độ dài của \( \overrightarrow{n} \): \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1 \] - Thay vào công thức: \[ \cos(\theta) = \left| \frac{2}{\sqrt{33} \cdot 1} \right| = \frac{2}{\sqrt{33}} \] - Tính góc \( \theta \): \[ \theta = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{33}}\right) \] - Kết quả làm tròn đến hàng phần mười: \[ \theta \approx 79.4^\circ \] Vậy góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn là \( 79.4^\circ \). Câu 3. Để tìm tọa độ điểm chắn tầm nhìn của người đó, ta cần xác định điểm giao giữa đường thẳng đi từ điểm M đến điểm N và mặt phẳng (Oxy). Đầu tiên, ta viết phương trình đường thẳng MN: - Vector $\overrightarrow{MN} = (-1 - 2; 0 - 3; 8 + 4) = (-3; -3; 12)$. - Đường thẳng MN có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 3t \\ y = 3 - 3t \\ z = -4 + 12t \end{array} \right. \] Để tìm giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng (Oxy), ta đặt $z = 0$: \[ -4 + 12t = 0 \] \[ 12t = 4 \] \[ t = \frac{1}{3} \] Thay $t = \frac{1}{3}$ vào phương trình tham số của đường thẳng: \[ x = 2 - 3 \cdot \frac{1}{3} = 2 - 1 = 1 \] \[ y = 3 - 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 - 1 = 2 \] \[ z = 0 \] Vậy tọa độ điểm chắn tầm nhìn là $D(1; 2; 0)$. Bây giờ, ta tính $a \cdot b + c$: \[ a \cdot b + c = 1 \cdot 2 + 0 = 2 \] Đáp số: $a \cdot b + c = 2$. Câu 4. Để tính khả năng mà một người dân của tỉnh Thừa Thiên Huế bị bệnh phổi, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc xác suất tổng hợp. Cụ thể, chúng ta sẽ tính xác suất tổng hợp của hai trường hợp: người dân nghiện thuốc lá và người dân không nghiện thuốc lá. Bước 1: Xác định xác suất của từng trường hợp. - Xác suất người dân nghiện thuốc lá là \( P(N) = 0.20 \). - Xác suất người dân không nghiện thuốc lá là \( P(\overline{N}) = 1 - P(N) = 0.80 \). Bước 2: Xác định xác suất người bệnh bị bệnh phổi trong từng trường hợp. - Xác suất người bệnh bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là \( P(B|N) = 0.70 \). - Xác suất người bệnh bị bệnh phổi trong số người không nghiện thuốc lá là \( P(B|\overline{N}) = 0.15 \). Bước 3: Áp dụng quy tắc xác suất tổng hợp để tính xác suất tổng hợp người dân bị bệnh phổi. \[ P(B) = P(N) \cdot P(B|N) + P(\overline{N}) \cdot P(B|\overline{N}) \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ P(B) = 0.20 \cdot 0.70 + 0.80 \cdot 0.15 \] \[ P(B) = 0.14 + 0.12 \] \[ P(B) = 0.26 \] Vậy, khả năng mà một người dân của tỉnh Thừa Thiên Huế bị bệnh phổi là 26%. Đáp số: 26% Câu 1. Để tính xác suất điều kiện \( P(A|B) \), ta sử dụng công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Trước tiên, ta cần tìm \( P(A \cap B) \). Ta biết rằng: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Thay các giá trị đã cho vào công thức trên: \[ 0,9 = 0,4 + 0,8 - P(A \cap B) \] Giải phương trình này để tìm \( P(A \cap B) \): \[ 0,9 = 1,2 - P(A \cap B) \] \[ P(A \cap B) = 1,2 - 0,9 \] \[ P(A \cap B) = 0,3 \] Bây giờ, ta có thể tính \( P(A|B) \): \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,3}{0,8} = 0,375 \] Vậy, xác suất điều kiện \( P(A|B) \) là 0,375.