trả lời…..

Câu 11. Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng tính chất của biến cố độc lập. Khi hai biến cố A và B là độc lập, xác suất của biến cố giao giữa A và B (A ∩ B) được tính bằng tích của xác suất của A và xác suất của B. Cụ thể: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \] Biết rằng: \[ P(A) = 0,2024 \] \[ P(B) = 0,2025 \] Ta tính: \[ P(A \cap B) = 0,2024 \times 0,2025 \] Thực hiện phép nhân: \[ 0,2024 \times 0,2025 = 0,041006 \] Do đó, xác suất của biến cố giao giữa A và B là: \[ P(A \cap B) = 0,041006 \] Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có giá trị nào đúng với kết quả trên. Do đó, có thể có sự nhầm lẫn hoặc sai sót trong đề bài hoặc các đáp án đã cho. Tuy nhiên, dựa trên thông tin đã cho và các tính chất xác suất, ta có thể kết luận rằng: Đáp án đúng là: \( P(A \cap B) = 0,041006 \) Tuy nhiên, nếu phải chọn từ các đáp án đã cho, thì không có đáp án nào đúng với kết quả trên. Câu 12. Để xác định khẳng định đúng về xác suất điều kiện \( P(A|B) \), ta cần dựa vào công thức xác suất điều kiện. Công thức xác suất điều kiện của biến cố \( A \) cho biết biến cố \( B \) đã xảy ra được định nghĩa như sau: \[ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \] Trong đó: - \( P(AB) \) là xác suất của cả hai biến cố \( A \) và \( B \) cùng xảy ra. - \( P(B) \) là xác suất của biến cố \( B \). Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: A. \( P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(A)} \) - Sai vì theo công thức xác suất điều kiện, mẫu số phải là \( P(B) \), không phải \( P(A) \). B. \( P(A|B) = \frac{P(A)}{P(AB)} \) - Sai vì mẫu số phải là \( P(B) \), không phải \( P(AB) \). C. \( P(A|B) = \frac{P(B)}{P(AB)} \) - Sai vì mẫu số phải là \( P(B) \), không phải \( P(AB) \). D. \( P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \) - Đúng vì đây chính là công thức xác suất điều kiện. Do đó, khẳng định đúng là: \[ D.~P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \] Câu 13: Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a) Đường thẳng $\Delta$ có phương trình chính tắc là: \[ \frac{x-2}{5} = \frac{y+3}{6} = \frac{z-1}{-4} \] Từ phương trình này, ta thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u} = (5, 6, -4)$. Phần b) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $N(7, 3, 0)$ và song song với đường thẳng $\Delta$, do đó vectơ chỉ phương của $d$ cũng là $\overrightarrow{u} = (5, 6, -4)$. Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 7 + 5t \\ y = 3 + 6t \\ z = 0 - 4t \end{array} \right. \] Phần c) Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ được tính thông qua góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (3, -1, -1)$. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u} = (5, 6, -4)$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{n}$ là $\theta$, ta có: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{n}|} \] \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n} = 5 \cdot 3 + 6 \cdot (-1) + (-4) \cdot (-1) = 15 - 6 + 4 = 13 \] \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{5^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 36 + 16} = \sqrt{77} \] \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11} \] \[ \cos \theta = \frac{13}{\sqrt{77} \cdot \sqrt{11}} = \frac{13}{\sqrt{847}} \] \[ \sin \phi = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{13}{\sqrt{847}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{169}{847}} = \sqrt{\frac{678}{847}} = \frac{\sqrt{678}}{\sqrt{847}} = \frac{5}{\sqrt{77}} \] Phần d) Khoảng cách từ điểm $N(7, 3, 0)$ đến mặt phẳng $(P)$ được tính bằng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó, $(a, b, c, d)$ là các hệ số trong phương trình mặt phẳng $3x - y - z - 7 = 0$ và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm $N$. \[ d = \frac{|3 \cdot 7 - 1 \cdot 3 - 1 \cdot 0 - 7|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{|21 - 3 - 7|}{\sqrt{9 + 1 + 1}} = \frac{|11|}{\sqrt{11}} = \sqrt{11} \] Kết luận a) Đúng, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u} = (5, 6, -4)$. b) Đúng, phương trình tham số của đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{array}{l} x = 7 + 5t \\ y = 3 + 6t \\ z = -4t \end{array} \right.$. c) Đúng, $\sin$ của góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ là $\frac{5}{\sqrt{77}}$. d) Đúng, khoảng cách từ điểm $N$ đến mặt phẳng $(P)$ là $\sqrt{11}$. Câu 14: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các biến cố và xác suất liên quan. 2. Áp dụng công thức xác suất tổng hợp và điều kiện để tính xác suất cần thiết. Bước 1: Xác định các biến cố và xác suất liên quan - Biến cố \( A \): Người đó mang khẩu trang đúng cách khi đến bệnh viện. - Biến cố \( \bar{A} \): Người đó không mang khẩu trang đúng cách khi đến bệnh viện. - Biến cố \( B \): Người đó bị nhiễm bệnh khi đến bệnh viện. - Biến cố \( \bar{B} \): Người đó không bị nhiễm bệnh khi đến bệnh viện. Xác suất: - \( P(A) = 0,85 \) - \( P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,85 = 0,15 \) - \( P(B|A) = 0,05 \) (Xác suất người đó bị nhiễm bệnh khi mang khẩu trang đúng cách) - \( P(\bar{B}|\bar{A}) = 0,10 \) (Xác suất người đó không bị nhiễm bệnh khi không mang khẩu trang đúng cách) Bước 2: Áp dụng công thức xác suất tổng hợp và điều kiện a. Xác suất người đó mang khẩu trang đúng cách khi đến bệnh viện: \[ P(A) = 0,85 \] b. Xác suất người đó bị nhiễm bệnh khi mang khẩu trang đúng cách: \[ P(B|A) = 0,05 \] c. Xác suất người đó bị nhiễm bệnh: Áp dụng công thức xác suất tổng hợp: \[ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\bar{A}) \cdot P(\bar{A}) \] Trước tiên, ta cần tính \( P(B|\bar{A}) \): \[ P(B|\bar{A}) = 1 - P(\bar{B}|\bar{A}) = 1 - 0,10 = 0,90 \] Do đó: \[ P(B) = 0,05 \cdot 0,85 + 0,90 \cdot 0,15 \] \[ P(B) = 0,0425 + 0,135 \] \[ P(B) = 0,1775 \] d. Xác suất người đó mang khẩu trang đúng cách khi bị nhiễm bệnh: Áp dụng công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \] \[ P(A|B) = \frac{0,05 \cdot 0,85}{0,1775} \] \[ P(A|B) = \frac{0,0425}{0,1775} \] \[ P(A|B) \approx 0,24 \] Kết luận: - \( P(A) = 0,85 \) - \( P(B|A) = 0,05 \) - Xác suất người đó bị nhiễm bệnh là 17,75%. - Xác suất người đó mang khẩu trang đúng cách khi bị nhiễm bệnh là khoảng 0,24. Câu 15: Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$, ta cần xác định vectơ chỉ phương từ phương trình tham số của đường thẳng. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 - t \\ y = -1 \\ z = 3t \end{array} \right. \] Từ phương trình tham số này, ta thấy rằng khi tham số $t$ thay đổi, các tọa độ $(x, y, z)$ của điểm trên đường thẳng sẽ thay đổi theo quy luật: - Khi $t$ tăng thêm 1 đơn vị, $x$ giảm đi 1 đơn vị. - Khi $t$ tăng thêm 1 đơn vị, $y$ không thay đổi. - Khi $t$ tăng thêm 1 đơn vị, $z$ tăng thêm 3 đơn vị. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \vec{u} = (-1, 0, 3) \] Vậy, một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u} = (-1, 0, 3)$. Câu 16: Câu 17: Ta có phương trình mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0.$ Để xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu, ta thực hiện hoàn thành bình phương: \[ x^2 - 2x + y^2 + 4y + z^2 - 6z = 2 \] \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z - 3)^2 - 9 = 2 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 16 \] Từ đó, ta nhận thấy mặt cầu có tâm \(I(1, -2, 3)\) và bán kính \(R = 4\). Câu 18: Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Ta cần tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6, biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm. - Số chấm trên con xúc xắc thứ nhất là 4. - Để tổng số chấm là 6, con xúc xắc thứ hai phải xuất hiện mặt 2 chấm. Vậy xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6 là: \[ P = \frac{1}{6} \] Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M(2, 0, -1)\) và \(N(2, -3, 1)\). Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(M\) và \(N\). - Vectơ chỉ phương của đường thẳng là \(\overrightarrow{MN} = (2 - 2, -3 - 0, 1 - (-1)) = (0, -3, 2)\). Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M(2, 0, -1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{MN} = (0, -3, 2)\) là: \[ \begin{cases} x = 2 \\ y = 0 - 3t \\ z = -1 + 2t \end{cases} \] Câu 19: Tính diện tích \(S\) của hình phẳng phần gạch chéo như hình vẽ dưới đây. - Diện tích hình chữ nhật là \(12 \times 8 = 96\). - Diện tích tam giác \(ABC\) là \(\frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48\). - Diện tích tam giác \(ABD\) là \(\frac{1}{2} \times 12 \times 4 = 24\). Diện tích phần gạch chéo là: \[ S = 96 - 48 - 24 = 24 \] Đáp số: - Câu 17: Tâm \(I(1, -2, 3)\), Bán kính \(R = 4\). - Câu 18: \(P = \frac{1}{6}\). - Câu 9: Phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 2 \\ y = -3t \\ z = -1 + 2t \end{cases} \] - Câu 19: Diện tích \(S = 24\).