giup minh voi

Câu 3: Để tính tích phân \( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \, dx \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Biến đổi biểu thức trong tích phân: \[ \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \] Bước 2: Thay vào tích phân: \[ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sec^2 x - 1) \, dx \] Bước 3: Tách tích phân thành hai phần: \[ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 \, dx \] Bước 4: Tính từng phần riêng lẻ: - Tích phân của \(\sec^2 x\) là \(\tan x\): \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx = \left[ \tan x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) - \tan (0) = 1 - 0 = 1 \] - Tích phân của 1 là \(x\): \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 \, dx = \left[ x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4} \] Bước 5: Kết hợp kết quả: \[ I = 1 - \frac{\pi}{4} \] So sánh với dạng \(a - \frac{\pi}{b}\), ta nhận thấy: \[ a = 1 \] \[ b = 4 \] Bước 6: Tính \(P = a + b\): \[ P = 1 + 4 = 5 \] Vậy đáp án là: \[ \boxed{5} \] Câu 4: Để tính bán kính của mặt cầu (S), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (P): Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó, tâm mặt cầu \( I(1;1;0) \) và phương trình mặt phẳng \( (P): x + y + z + 1 = 0 \). Thay vào công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|1 + 1 + 0 + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \] 2. Áp dụng công thức liên quan đến bán kính của mặt cầu và bán kính của đường tròn giao tuyến: Bán kính của mặt cầu là \( R \). Bán kính của đường tròn giao tuyến là \( r = 1 \). Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là \( d = \sqrt{3} \). Theo công thức: \[ R^2 = d^2 + r^2 \] Thay các giá trị đã biết: \[ R^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4 \] Do đó: \[ R = \sqrt{4} = 2 \] Vậy bán kính của mặt cầu (S) là \( 2 \). Câu 5: Để tính quãng đường xe đã đi được trong khoảng 10 phút đầu tiên, ta cần tính diện tích dưới đồ thị vận tốc - thời gian từ thời điểm bắt đầu chuyển động cho đến thời điểm 10 phút. 1. Tính diện tích tam giác ABC: - Tam giác ABC là tam giác cân tại A, với đáy BC = 5 phút và chiều cao là vận tốc tối đa 1000 m/phút. - Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao} = \frac{1}{2} \times 5 \times 1000 = 2500 \text{ mét} \] 2. Tính diện tích tam giác CDE: - Tam giác CDE cũng là tam giác cân tại C, với đáy DE = 1 phút và chiều cao là vận tốc tối đa 1000 m/phút. - Diện tích tam giác CDE: \[ S_{CDE} = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1000 = 500 \text{ mét} \] 3. Tính diện tích hình chữ nhật BCFE: - Hình chữ nhật BCFE có chiều dài là 1 phút và chiều rộng là vận tốc tối đa 1000 m/phút. - Diện tích hình chữ nhật BCFE: \[ S_{BCFE} = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} = 1 \times 1000 = 1000 \text{ mét} \] 4. Tính tổng diện tích: - Tổng diện tích dưới đồ thị vận tốc - thời gian từ thời điểm bắt đầu chuyển động cho đến thời điểm 10 phút: \[ S_{tổng} = S_{ABC} + S_{CDE} + S_{BCFE} = 2500 + 500 + 1000 = 4000 \text{ mét} \] Vậy quãng đường xe đã đi được trong khoảng 10 phút đầu tiên là 4000 mét. Câu 6: Gọi \( A \) là sự kiện "chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc". Gọi \( B \) là sự kiện "chọn được học sinh biết chơi đàn guitar". Theo đề bài: - Số học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc chiếm 20% tổng số học sinh. - Trong số học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc, 75% biết chơi đàn guitar. - 10% số học sinh không tham gia câu lạc bộ âm nhạc cũng biết chơi đàn guitar. Ta sẽ tính xác suất của các sự kiện liên quan: 1. Xác suất để chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc: \[ P(A) = 0.20 \] 2. Xác suất để chọn được học sinh biết chơi đàn guitar trong số học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc: \[ P(B|A) = 0.75 \] 3. Xác suất để chọn được học sinh không thuộc câu lạc bộ âm nhạc: \[ P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.20 = 0.80 \] 4. Xác suất để chọn được học sinh biết chơi đàn guitar trong số học sinh không thuộc câu lạc bộ âm nhạc: \[ P(B|\bar{A}) = 0.10 \] Bây giờ, ta tính xác suất tổng để chọn được học sinh biết chơi đàn guitar: \[ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\bar{A}) \cdot P(\bar{A}) \] \[ P(B) = 0.75 \cdot 0.20 + 0.10 \cdot 0.80 \] \[ P(B) = 0.15 + 0.08 \] \[ P(B) = 0.23 \] Cuối cùng, ta tính xác suất để chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc khi biết rằng học sinh đó biết chơi đàn guitar: \[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \] \[ P(A|B) = \frac{0.75 \cdot 0.20}{0.23} \] \[ P(A|B) = \frac{0.15}{0.23} \] \[ P(A|B) \approx 0.6522 \] Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: \[ P(A|B) \approx 0.65 \] Vậy xác suất để chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc khi biết rằng học sinh đó biết chơi đàn guitar là khoảng 65%.