Xcvvvgfsxxds

Câu 3. a) Vì ABC là tam giác đều nên AI là đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC. Do đó, AI ⊥ BC. Đúng. b) Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ SC. Đúng. c) Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC. Mặt khác, vì ABC là tam giác đều nên AI ⊥ BC. Vậy BC ⊥ (SAB). Đúng. d) Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB và SA ⊥ BI. Mặt khác, AH ⊥ SJ nên AH ⊥ (ABI). Đúng. Câu 4. Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a) \(BC \perp (SOI)\) - \(BC\) nằm trong mặt phẳng đáy \(ABCD\). - \(SI\) tạo với đáy một góc \(60^\circ\), tức là \(SI \perp IO\). - Vì \(I\) là trung điểm của \(BC\), nên \(IO\) là đường thẳng đi qua tâm \(O\) của hình chữ nhật \(ABCD\) và vuông góc với \(BC\). Do đó, \(BC \perp IO\). Mặt khác, \(SO\) cũng vuông góc với đáy \(ABCD\), do đó \(SO \perp BC\). Từ hai điều trên, ta thấy \(BC\) vuông góc với cả \(SO\) và \(IO\), suy ra \(BC \perp (SOI)\). Khẳng định b) \([S, BC, A] = \widehat{SIO} = 60^\circ\) - \([S, BC, A]\) là góc giữa đường thẳng \(S\) và mặt phẳng \(ABC\). - Ta đã biết \(SI\) tạo với đáy một góc \(60^\circ\), tức là \(\widehat{SIO} = 60^\circ\). Do đó, \([S, BC, A] = \widehat{SIO} = 60^\circ\). Khẳng định c) \(SO = 3a\) - \(SO\) là đường cao hạ từ đỉnh \(S\) xuống tâm \(O\) của đáy \(ABCD\). - \(SO\) tạo với đáy một góc \(60^\circ\), nghĩa là tam giác \(SOI\) là tam giác vuông tại \(O\) với góc \(60^\circ\) ở đỉnh \(S\). Trong tam giác \(SOI\), ta có: \[ SO = SI \cdot \sin(60^\circ) \] Biết rằng \(SI\) là đường chéo của tam giác đều \(SIO\), ta có: \[ SI = \frac{IO}{\cos(60^\circ)} = \frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot 2 = a\sqrt{5} \] Do đó: \[ SO = a\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{15}}{2} \] Vậy \(SO \neq 3a\). Khẳng định d) Góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là góc \(40^\circ\) - Góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là góc giữa \(SB\) và hình chiếu của nó lên mặt phẳng \((ABCD)\), tức là \(OB\). Ta đã biết \(SO\) tạo với đáy một góc \(60^\circ\), do đó góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \((ABCD)\) cũng là \(60^\circ\). Vậy góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \((ABCD)\) không phải là \(40^\circ\). Kết luận: - Khẳng định a) đúng. - Khẳng định b) đúng. - Khẳng định c) sai. - Khẳng định d) sai. Câu 1. Để giải phương trình $\log_2(x-5) + \log_2(x+2) = 3$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình có chứa hai biểu thức logarit, do đó ta cần đảm bảo rằng các biểu thức trong dấu logarit phải dương: \[ x - 5 > 0 \quad \text{và} \quad x + 2 > 0 \] Từ đây, ta có: \[ x > 5 \quad \text{và} \quad x > -2 \] Vì \( x > 5 \) bao gồm cả \( x > -2 \), nên điều kiện xác định là: \[ x > 5 \] Bước 2: Gộp các biểu thức logarit Sử dụng tính chất của logarit để gộp hai biểu thức logarit lại: \[ \log_2((x-5)(x+2)) = 3 \] Bước 3: Chuyển đổi phương trình logarit thành phương trình đại số Ta có: \[ (x-5)(x+2) = 2^3 \] \[ (x-5)(x+2) = 8 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai Phương trình bậc hai là: \[ x^2 - 3x - 10 = 8 \] \[ x^2 - 3x - 18 = 0 \] Ta giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -3 \), và \( c = -18 \): \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2} \] \[ x = \frac{3 \pm 9}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x = \frac{3 + 9}{2} = 6 \] \[ x = \frac{3 - 9}{2} = -3 \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện xác định Chúng ta đã xác định điều kiện \( x > 5 \). Do đó, nghiệm \( x = -3 \) bị loại vì không thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là: \[ x = 6 \] Kết luận: Giá trị của \( x \) thỏa mãn phương trình là \( x = 6 \). Câu 2. Trước tiên, ta xác định các điểm và đường thẳng liên quan trong hình chóp đều S.ABCD. - Đáy ABCD là hình vuông, do đó các cạnh AB, BC, CD, DA bằng nhau và các góc ở đáy đều là 90°. - M là trung điểm của CD, N là trung điểm của AD, K là trung điểm của SB. Ta cần xác định góc giữa hai đường thẳng MN và DK. Bước 1: Xác định vị trí của các điểm M, N, K. - M là trung điểm của CD, do đó M nằm chính giữa đoạn CD. - N là trung điểm của AD, do đó N nằm chính giữa đoạn AD. - K là trung điểm của SB, do đó K nằm chính giữa đoạn SB. Bước 2: Xác định đường thẳng MN và DK. - Đường thẳng MN đi qua trung điểm của CD và AD. - Đường thẳng DK đi từ đỉnh D đến trung điểm của SB. Bước 3: Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và DK. - Ta nhận thấy rằng MN nằm trong mặt phẳng đáy ABCD và DK đi từ đỉnh D lên đỉnh S của chóp. - Vì MN nằm trong mặt phẳng đáy ABCD và DK đi từ đỉnh D lên đỉnh S, nên góc giữa MN và DK sẽ là góc giữa đường thẳng MN và đường thẳng DK khi chiếu xuống mặt phẳng đáy ABCD. Bước 4: Xác định góc giữa MN và DK. - Ta nhận thấy rằng MN là đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy ABCD và DK là đường thẳng đi từ đỉnh D lên đỉnh S của chóp. - Vì MN nằm trong mặt phẳng đáy ABCD và DK đi từ đỉnh D lên đỉnh S, nên góc giữa MN và DK sẽ là góc giữa đường thẳng MN và đường thẳng DK khi chiếu xuống mặt phẳng đáy ABCD. Do đó, góc giữa hai đường thẳng MN và DK là góc vuông (90°). Đáp số: Góc giữa hai đường thẳng MN và DK là 90°. Câu 1. Để giải bất phương trình $\log_2(2x^2-6x)>3$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Điều kiện để $\log_2(2x^2-6x)$ có nghĩa là: \[ 2x^2 - 6x > 0 \] Phân tích nhân tử: \[ 2x(x - 3) > 0 \] Tìm các điểm làm thay đổi dấu: \[ x = 0 \quad \text{và} \quad x = 3 \] Xét các khoảng: - Khi $x < 0$: $2x < 0$ và $x - 3 < 0$, suy ra $2x(x - 3) > 0$ - Khi $0 < x < 3$: $2x > 0$ và $x - 3 < 0$, suy ra $2x(x - 3) < 0$ - Khi $x > 3$: $2x > 0$ và $x - 3 > 0$, suy ra $2x(x - 3) > 0$ Vậy ĐKXĐ là: \[ x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty) \] Bước 2: Giải bất phương trình $\log_2(2x^2-6x)>3$ Ta có: \[ \log_2(2x^2-6x) > 3 \] Đổi về dạng mũ: \[ 2x^2 - 6x > 2^3 \] \[ 2x^2 - 6x > 8 \] Chuyển vế và biến đổi thành phương trình bậc hai: \[ 2x^2 - 6x - 8 > 0 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ x^2 - 3x - 4 > 0 \] Phân tích nhân tử: \[ (x - 4)(x + 1) > 0 \] Tìm các điểm làm thay đổi dấu: \[ x = -1 \quad \text{và} \quad x = 4 \] Xét các khoảng: - Khi $x < -1$: $(x - 4) < 0$ và $(x + 1) < 0$, suy ra $(x - 4)(x + 1) > 0$ - Khi $-1 < x < 4$: $(x - 4) < 0$ và $(x + 1) > 0$, suy ra $(x - 4)(x + 1) < 0$ - Khi $x > 4$: $(x - 4) > 0$ và $(x + 1) > 0$, suy ra $(x - 4)(x + 1) > 0$ Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[ x \in (-\infty, -1) \cup (4, +\infty) \] Bước 3: Kết hợp điều kiện xác định Lấy giao của tập nghiệm vừa tìm được với ĐKXĐ: \[ x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty) \] Kết hợp với nghiệm của bất phương trình: \[ x \in (-\infty, -1) \cup (4, +\infty) \] Vậy tập nghiệm cuối cùng là: \[ x \in (-\infty, -1) \cup (4, +\infty) \] Đáp số: \[ x \in (-\infty, -1) \cup (4, +\infty) \] Câu 2. Để tính gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 5 \) giây, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc tức thời của vật: Vận tốc tức thời \( v(t) \) là đạo hàm của phương trình chuyển động \( S(t) \). \[ S(t) = -\frac{1}{4}t^4 + 2t^3 + 3t^2 - 2t + 3 \] Ta tính đạo hàm của \( S(t) \): \[ v(t) = \frac{dS}{dt} = -\frac{1}{4} \cdot 4t^3 + 2 \cdot 3t^2 + 3 \cdot 2t - 2 \] \[ v(t) = -t^3 + 6t^2 + 6t - 2 \] 2. Tìm gia tốc tức thời của vật: Gia tốc tức thời \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc tức thời \( v(t) \). Ta tính đạo hàm của \( v(t) \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = -3t^2 + 6 \cdot 2t + 6 \] \[ a(t) = -3t^2 + 12t + 6 \] 3. Tính gia tốc tại thời điểm \( t = 5 \) giây: Thay \( t = 5 \) vào phương trình gia tốc: \[ a(5) = -3(5)^2 + 12(5) + 6 \] \[ a(5) = -3 \cdot 25 + 12 \cdot 5 + 6 \] \[ a(5) = -75 + 60 + 6 \] \[ a(5) = -9 \text{ m/s}^2 \] Vậy gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 5 \) giây là \(-9 \text{ m/s}^2\). Câu 3. Để tính diện tích bóng đồ (hình chiếu vuông góc) của tam giác ABA' lên mặt phẳng (BCC'B'), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích tam giác ABC: - Tam giác ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2,4 m và BC = 2 m. - Ta vẽ đường cao AH từ đỉnh A xuống cạnh BC, chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông AHB và AHC. - Trong tam giác AHB, ta có: \[ BH = HC = \frac{BC}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ m} \] - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AHB: \[ AH^2 + BH^2 = AB^2 \implies AH^2 + 1^2 = 2,4^2 \implies AH^2 + 1 = 5,76 \implies AH^2 = 4,76 \implies AH = \sqrt{4,76} \approx 2,18 \text{ m} \] - Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 2 \times 2,18 = 2,18 \text{ m}^2 \] 2. Tính diện tích tam giác A'BC: - Vì A' vuông góc với mặt đáy ABC, nên tam giác A'BC là tam giác vuông tại A'. - Diện tích tam giác A'BC: \[ S_{A'BC} = \frac{1}{2} \times BC \times AA' = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3 \text{ m}^2 \] 3. Tính diện tích tam giác ABA': - Tam giác ABA' là tam giác vuông tại A với AB = 2,4 m và AA' = 3 m. - Diện tích tam giác ABA': \[ S_{ABA'} = \frac{1}{2} \times AB \times AA' = \frac{1}{2} \times 2,4 \times 3 = 3,6 \text{ m}^2 \] 4. Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác ABA' lên mặt phẳng (BCC'B'): - Hình chiếu vuông góc của tam giác ABA' lên mặt phẳng (BCC'B') là tam giác A'BC. - Diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác ABA' lên mặt phẳng (BCC'B'): \[ S_{\text{hình chiếu}} = S_{A'BC} = 3 \text{ m}^2 \] Vậy diện tích bóng đồ (hình chiếu vuông góc) của tam giác ABA' lên mặt phẳng (BCC'B') là 3 m². Câu 4. Để tính góc tạo bởi hai tấm kính đi qua các điểm S, B, C và O, B, C, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và vectơ: - Điểm O là giao điểm của các đường chéo đáy ABCD, do đó O là trung điểm của AC và BD. - Vectơ $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OC}$ nằm trong mặt phẳng đáy ABCD. - Vectơ $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{SC}$ nằm trong mặt phẳng đi qua đỉnh S và cạnh đáy BC. 2. Tính toán các vectơ: - Vì O là trung điểm của AC và BD, ta có $\overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. - Ta cũng có $\overrightarrow{SB} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{B}$ và $\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{C}$. 3. Tính góc giữa hai vectơ: - Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{SC}$ là góc giữa hai tấm kính đi qua các điểm S, B, C và O, B, C. - Ta sử dụng công thức cosin để tính góc giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{SC}}{|\overrightarrow{SB}| |\overrightarrow{SC}|} \] 4. Tính toán cụ thể: - Ta biết rằng $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{SC}$ đều có độ dài bằng $a\sqrt{7}$. - Ta cũng biết rằng $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OC}$ đều có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (vì O là trung điểm của AC và BD). 5. Tính tích vô hướng: - Ta có $\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{SC} = (\overrightarrow{S} - \overrightarrow{B}) \cdot (\overrightarrow{S} - \overrightarrow{C})$. - Ta cũng có $\overrightarrow{S} \cdot \overrightarrow{S} = (a\sqrt{7})^2 = 7a^2$. - Ta cũng có $\overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{C} = 0$ (vì B và C là hai đỉnh của hình vuông). 6. Tính góc: - Ta có $\cos \theta = \frac{7a^2 - a^2}{(a\sqrt{7})(a\sqrt{7})} = \frac{6a^2}{7a^2} = \frac{6}{7}$. - Vậy góc $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{6}{7}\right)$. Đáp số: Góc tạo bởi hai tấm kính là $\cos^{-1}\left(\frac{6}{7}\right)$.