sjjsjajwjwj

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng \(\Delta\): - Công thức khoảng cách từ một điểm \(M(x_1, y_1)\) đến đường thẳng \(Ax + By + C = 0\) là: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] - Ở đây, điểm \(A(1, 2)\) và đường thẳng \(\Delta: x + 3y + c = 0\). Thay vào công thức: \[ d = \frac{|1 + 3 \cdot 2 + c|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{|1 + 6 + c|}{\sqrt{10}} = \frac{|7 + c|}{\sqrt{10}} \] 2. Tìm giao điểm \(I(a, b)\) của hai đường thẳng \(\Delta\) và \(d\): - Đường thẳng \(\Delta: x + 3y + c = 0\) - Đường thẳng \(d: 3x - 5y + 5 = 0\) Để tìm giao điểm, ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + 3y + c = 0 \\ 3x - 5y + 5 = 0 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ nhất với 3: \[ 3x + 9y + 3c = 0 \] Lấy phương trình này trừ phương trình thứ hai: \[ (3x + 9y + 3c) - (3x - 5y + 5) = 0 \] \[ 14y + 3c - 5 = 0 \] \[ 14y = 5 - 3c \] \[ y = \frac{5 - 3c}{14} \] Thay \(y\) vào phương trình \(x + 3y + c = 0\): \[ x + 3 \left( \frac{5 - 3c}{14} \right) + c = 0 \] \[ x + \frac{15 - 9c}{14} + c = 0 \] \[ x = -\frac{15 - 9c}{14} - c \] \[ x = -\frac{15 - 9c + 14c}{14} \] \[ x = -\frac{15 + 5c}{14} \] Vậy giao điểm \(I(a, b)\) là: \[ a = -\frac{15 + 5c}{14}, \quad b = \frac{5 - 3c}{14} \] 3. Tính \(a + b\): \[ a + b = -\frac{15 + 5c}{14} + \frac{5 - 3c}{14} \] \[ a + b = \frac{-15 - 5c + 5 - 3c}{14} \] \[ a + b = \frac{-10 - 8c}{14} \] \[ a + b = -\frac{10 + 8c}{14} \] \[ a + b = -\frac{5 + 4c}{7} \] Vậy giá trị của \(a + b\) là: \[ -\frac{5 + 4c}{7} \] Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm số lượng các số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau được lập từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. 2. Tìm số lượng các số tự nhiên trong đó mỗi chữ số sau luôn lớn hơn chữ số đứng trước nó. 3. Tính xác suất của biến cố A. Bước 1: Tìm số lượng các số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau - Chữ số đầu tiên (chữ số hàng nghìn) có thể là bất kỳ số nào từ 1 đến 9 (không thể là 0). Do đó, có 9 lựa chọn. - Chữ số thứ hai (hàng trăm) có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 9 trừ đi số đã chọn ở hàng nghìn. Do đó, có 9 lựa chọn. - Chữ số thứ ba (hàng chục) có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 9 trừ đi hai số đã chọn ở hàng nghìn và hàng trăm. Do đó, có 8 lựa chọn. - Chữ số thứ tư (hàng đơn vị) có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 9 trừ đi ba số đã chọn ở hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục. Do đó, có 7 lựa chọn. Số lượng các số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau là: \[ 9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536 \] Bước 2: Tìm số lượng các số tự nhiên trong đó mỗi chữ số sau luôn lớn hơn chữ số đứng trước nó - Để mỗi chữ số sau luôn lớn hơn chữ số đứng trước nó, chúng ta cần chọn 4 chữ số từ 10 chữ số (0, 1, 2, ..., 9) sao cho chúng luôn tăng dần. - Số lượng cách chọn 4 chữ số từ 10 chữ số là: \[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = 210 \] Bước 3: Tính xác suất của biến cố A Xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = \frac{\text{số lượng các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện}}{\text{số lượng các số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau}} = \frac{210}{4536} \approx 0.0463 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: \[ P(A) \approx 0.05 \] Vậy xác suất của biến cố A là: \[ \boxed{0.05} \] Câu 3. Để xác định độ cao của quả bóng golf tại thời điểm 3 giây, ta cần xác định phương trình hàm bậc hai dựa trên các dữ liệu đã cho trong bảng. Ta sẽ sử dụng phương pháp tìm phương trình hàm bậc hai qua ba điểm. Giả sử phương trình hàm bậc hai có dạng: \[ y = ax^2 + bx + c \] Ta có các điểm (0, 0), (0,5, 28), (1, 48), (2, 64). Ta sẽ sử dụng ba điểm bất kỳ để tìm các hệ số \(a\), \(b\), và \(c\). 1. Thay điểm (0, 0) vào phương trình: \[ 0 = a(0)^2 + b(0) + c \] \[ c = 0 \] 2. Thay điểm (0,5, 28) vào phương trình: \[ 28 = a(0,5)^2 + b(0,5) + 0 \] \[ 28 = 0,25a + 0,5b \quad \text{(1)} \] 3. Thay điểm (1, 48) vào phương trình: \[ 48 = a(1)^2 + b(1) + 0 \] \[ 48 = a + b \quad \text{(2)} \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 28 = 0,25a + 0,5b \\ 48 = a + b \end{cases} \] Ta sẽ giải hệ phương trình này. Từ phương trình (2): \[ b = 48 - a \] Thay vào phương trình (1): \[ 28 = 0,25a + 0,5(48 - a) \] \[ 28 = 0,25a + 24 - 0,5a \] \[ 28 = 24 - 0,25a \] \[ 4 = -0,25a \] \[ a = -16 \] Thay \(a = -16\) vào phương trình \(b = 48 - a\): \[ b = 48 - (-16) \] \[ b = 64 \] Vậy phương trình hàm bậc hai là: \[ y = -16x^2 + 64x \] Bây giờ, ta sẽ tìm độ cao của quả bóng tại thời điểm 3 giây: \[ y = -16(3)^2 + 64(3) \] \[ y = -16 \cdot 9 + 64 \cdot 3 \] \[ y = -144 + 192 \] \[ y = 48 \] Vậy độ cao của quả bóng golf tại thời điểm 3 giây là 48 mét. Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính tổng số tam giác có thể tạo thành từ 10 điểm và trừ đi số tam giác không thể tạo thành do 4 điểm thẳng hàng. Bước 1: Tính tổng số tam giác có thể tạo thành từ 10 điểm. Số tam giác có thể tạo thành từ 10 điểm là: \[ C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \] Bước 2: Tính số tam giác không thể tạo thành do 4 điểm thẳng hàng. Số tam giác có thể tạo thành từ 4 điểm thẳng hàng là: \[ C_{4}^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4 \] Bước 3: Tính số tam giác có thể tạo thành từ 10 điểm, trừ đi số tam giác không thể tạo thành do 4 điểm thẳng hàng. Số tam giác có thể tạo thành là: \[ 120 - 4 = 116 \] Vậy số tam giác có 3 đỉnh được lấy trong 10 điểm trên là 116. Câu 1. Giả sử công ty giảm giá bán mỗi xe máy điện loại A là \( x \) triệu đồng (với \( 0 \leq x < 15 - 12 = 3 \)). Số lượng xe máy điện loại A bán được trong một tháng sẽ tăng thêm \( 25x \) chiếc. Do đó, số lượng xe máy điện loại A bán được trong một tháng là: \[ 50 + 25x \] Giá bán mới của mỗi xe máy điện loại A là: \[ 15 - x \] triệu đồng Lợi nhuận từ việc bán mỗi xe máy điện loại A là: \[ (15 - x) - 12 = 3 - x \] triệu đồng Tổng lợi nhuận thu được trong một tháng là: \[ (3 - x)(50 + 25x) \] Ta cần tìm giá trị của \( x \) để tổng lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất. Bước 1: Xác định biểu thức tổng lợi nhuận: \[ f(x) = (3 - x)(50 + 25x) \] \[ f(x) = 150 + 75x - 50x - 25x^2 \] \[ f(x) = -25x^2 + 25x + 150 \] Bước 2: Tìm giá trị của \( x \) để \( f(x) \) đạt giá trị lớn nhất. Biểu thức \( f(x) = -25x^2 + 25x + 150 \) là một hàm bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = -25 \), \( b = 25 \), và \( c = 150 \). Đỉnh của parabol (điểm cực đại) xảy ra tại: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{25}{2(-25)} = \frac{25}{50} = 0.5 \] Bước 3: Thay \( x = 0.5 \) vào biểu thức giá bán mới: \[ 15 - 0.5 = 14.5 \] triệu đồng Vậy công ty phải định giá bán mới là 14.5 triệu đồng để sau khi giảm giá lợi nhuận thu được trong tháng sẽ là cao nhất. Câu 2. Để tính tâm sai của elip (E), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định bán trục lớn (a): - Elip có hai đỉnh xa nhất và gần nhất với tiêu điểm, tương ứng với khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ mặt trời đến trái đất. - Bán trục lớn \(a\) là trung bình cộng của hai khoảng cách này: \[ a = \frac{147 + 152}{2} = \frac{299}{2} = 149.5 \text{ triệu km} \] 2. Xác định khoảng cách từ tâm elip đến tiêu điểm (c): - Khoảng cách từ trái đất đến mặt trời khi ở vị trí xa nhất là 152 triệu km. - Khoảng cách từ trái đất đến mặt trời khi ở vị trí gần nhất là 147 triệu km. - Khoảng cách từ tâm elip đến tiêu điểm \(c\) là: \[ c = a - 147 = 149.5 - 147 = 2.5 \text{ triệu km} \] - Hoặc cũng có thể tính: \[ c = 152 - a = 152 - 149.5 = 2.5 \text{ triệu km} \] 3. Tính tâm sai (e): - Tâm sai \(e\) của elip được tính bằng công thức: \[ e = \frac{c}{a} \] - Thay các giá trị đã tìm được vào công thức: \[ e = \frac{2.5}{149.5} \approx 0.0167 \] Vậy tâm sai của elip (E) là \(0.0167\). Câu 3. Để tính xác suất để không có học sinh nào cùng khối đứng cạnh nhau, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số cách xếp 8 học sinh: Tổng số cách xếp 8 học sinh là: \[ 8! = 40320 \] 2. Tìm số cách xếp sao cho không có học sinh nào cùng khối đứng cạnh nhau: Để không có học sinh nào cùng khối đứng cạnh nhau, chúng ta cần sắp xếp các học sinh sao cho các học sinh cùng khối không liên tiếp. Ta sẽ sử dụng phương pháp "điền lỗ" để đảm bảo điều này. - Đầu tiên, xếp 4 học sinh khối 12 vào các vị trí cách đều nhau: \[ _ \, _ \, _ \, _ \, _ \, _ \, _ \, _ \] Có 5 khoảng trống giữa các học sinh khối 12 và 2 khoảng trống ở hai đầu: \[ _ \, _ \, _ \, _ \, _ \, _ \, _ \, _ \] - Tiếp theo, xếp 2 học sinh khối 11 vào 5 khoảng trống này (không được xếp cạnh nhau): \[ _ \, _ \, _ \, _ \, _ \, _ \, _ \, _ \] Số cách chọn 2 trong 5 khoảng trống là: \[ \binom{5}{2} = 10 \] Mỗi cách chọn có thể sắp xếp 2 học sinh khối 11 theo 2! cách: \[ 10 \times 2! = 20 \] - Cuối cùng, xếp 2 học sinh khối 10 vào 3 khoảng trống còn lại (không được xếp cạnh nhau): \[ _ \, _ \, _ \, _ \, _ \, _ \, _ \, _ \] Số cách chọn 2 trong 3 khoảng trống là: \[ \binom{3}{2} = 3 \] Mỗi cách chọn có thể sắp xếp 2 học sinh khối 10 theo 2! cách: \[ 3 \times 2! = 6 \] - Tổng số cách xếp sao cho không có học sinh nào cùng khối đứng cạnh nhau là: \[ 4! \times 20 \times 6 = 24 \times 20 \times 6 = 2880 \] 3. Tính xác suất: Xác suất để không có học sinh nào cùng khối đứng cạnh nhau là: \[ \frac{2880}{40320} = \frac{1}{14} \] Vậy xác suất để không có học sinh nào cùng khối đứng cạnh nhau là $\frac{1}{14}$. Câu 4. Để tìm \( n \) sao cho \( a_{3n-3} = 26n \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp khai triển nhị thức Newton. Trước tiên, ta viết lại biểu thức: \[ (x^2 + 1)^n (x + 2)^n \] Ta cần tìm hệ số của \( x^{3n-3} \) trong khai triển này. Ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton để khai triển từng phần. Khai triển \( (x^2 + 1)^n \): \[ (x^2 + 1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (x^2)^k \cdot 1^{n-k} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{2k} \] Khai triển \( (x + 2)^n \): \[ (x + 2)^n = \sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} x^j \cdot 2^{n-j} \] Bây giờ, ta nhân hai khai triển này lại với nhau: \[ (x^2 + 1)^n (x + 2)^n = \left( \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{2k} \right) \left( \sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} x^j \cdot 2^{n-j} \right) \] Ta cần tìm hệ số của \( x^{3n-3} \). Để có \( x^{3n-3} \), ta cần \( 2k + j = 3n - 3 \). Xét các trường hợp: 1. \( k = n-1 \) và \( j = n-1 \): \[ 2(n-1) + (n-1) = 3n - 3 \] Hệ số tương ứng là: \[ \binom{n}{n-1} \cdot \binom{n}{n-1} \cdot 2^{n-(n-1)} = n \cdot n \cdot 2 = 2n^2 \] 2. \( k = n-2 \) và \( j = n \): \[ 2(n-2) + n = 3n - 4 \quad (\text{không thỏa mãn}) \] 3. \( k = n \) và \( j = n-3 \): \[ 2n + (n-3) = 3n - 3 \] Hệ số tương ứng là: \[ \binom{n}{n} \cdot \binom{n}{n-3} \cdot 2^{n-(n-3)} = 1 \cdot \binom{n}{3} \cdot 2^3 = 8 \cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = \frac{4n(n-1)(n-2)}{3} \] Tổng các hệ số của \( x^{3n-3} \) là: \[ 2n^2 + \frac{4n(n-1)(n-2)}{3} \] Theo đề bài, ta có: \[ 2n^2 + \frac{4n(n-1)(n-2)}{3} = 26n \] Nhân cả hai vế với 3 để loại mẫu: \[ 6n^2 + 4n(n-1)(n-2) = 78n \] Rút gọn: \[ 6n^2 + 4n(n^2 - 3n + 2) = 78n \] \[ 6n^2 + 4n^3 - 12n^2 + 8n = 78n \] \[ 4n^3 - 6n^2 + 8n = 78n \] \[ 4n^3 - 6n^2 - 70n = 0 \] \[ 2n(2n^2 - 3n - 35) = 0 \] Phương trình bậc hai: \[ 2n^2 - 3n - 35 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 280}}{4} = \frac{3 \pm 17}{4} \] Các nghiệm là: \[ n = 5 \quad \text{hoặc} \quad n = -\frac{7}{2} \quad (\text{loại vì } n \text{ là số nguyên dương}) \] Vậy \( n = 5 \). Đáp số: \( n = 5 \).