Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Để tính thể tích của khối bê tông, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân để tính thể tích của khối bê tông khi cắt bằng mặt phẳng nằm ngang. Bước 1: Xác định diện tích mặt cắt ngang. Diện tích mặt cắt ngang của khối bê tông khi cắt ở độ cao \( x \) là: \[ A(x) = 5x \times (0,5)^x \] Bước 2: Tính thể tích của khối bê tông bằng cách tích phân diện tích mặt cắt ngang từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \): \[ V = \int_{0}^{2} A(x) \, dx = \int_{0}^{2} 5x \times (0,5)^x \, dx \] Bước 3: Thực hiện tích phân. Ta có: \[ V = 5 \int_{0}^{2} x \times (0,5)^x \, dx \] Để tính tích phân này, ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Gọi \( u = x \) và \( dv = (0,5)^x \, dx \). Tìm \( du \) và \( v \): \[ du = dx \] \[ v = \int (0,5)^x \, dx = \frac{(0,5)^x}{\ln(0,5)} \] Áp dụng công thức tích phân từng phần: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Ta có: \[ \int_{0}^{2} x \times (0,5)^x \, dx = \left[ x \times \frac{(0,5)^x}{\ln(0,5)} \right]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{(0,5)^x}{\ln(0,5)} \, dx \] Tính từng phần: \[ \left[ x \times \frac{(0,5)^x}{\ln(0,5)} \right]_{0}^{2} = \left( 2 \times \frac{(0,5)^2}{\ln(0,5)} \right) - \left( 0 \times \frac{(0,5)^0}{\ln(0,5)} \right) = \frac{2 \times 0,25}{\ln(0,5)} = \frac{0,5}{\ln(0,5)} \] \[ \int_{0}^{2} \frac{(0,5)^x}{\ln(0,5)} \, dx = \frac{1}{\ln(0,5)} \int_{0}^{2} (0,5)^x \, dx = \frac{1}{\ln(0,5)} \left[ \frac{(0,5)^x}{\ln(0,5)} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{(\ln(0,5))^2} \left[ (0,5)^2 - (0,5)^0 \right] = \frac{1}{(\ln(0,5))^2} \left( 0,25 - 1 \right) = \frac{-0,75}{(\ln(0,5))^2} \] Vậy: \[ \int_{0}^{2} x \times (0,5)^x \, dx = \frac{0,5}{\ln(0,5)} + \frac{0,75}{(\ln(0,5))^2} \] Cuối cùng, nhân với 5: \[ V = 5 \left( \frac{0,5}{\ln(0,5)} + \frac{0,75}{(\ln(0,5))^2} \right) \] Sử dụng máy tính để tính giá trị cụ thể: \[ \ln(0,5) \approx -0,6931 \] \[ V \approx 5 \left( \frac{0,5}{-0,6931} + \frac{0,75}{(-0,6931)^2} \right) \approx 5 \left( -0,7213 + 1,5915 \right) \approx 5 \times 0,8702 \approx 4,351 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: \[ V \approx 4,35 \] Vậy thể tích của khối bê tông là 4,35 mét khối. Câu 2. Để tính bán kính của nắp bồn chứa, chúng ta cần tìm giao tuyến giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu $(S)$. Giao tuyến này sẽ là một đường tròn, và bán kính của đường tròn này chính là bán kính của nắp bồn chứa. Bước 1: Thay phương trình của mặt phẳng $(P)$ vào phương trình của mặt cầu $(S)$. Phương trình của mặt phẳng $(P)$ là: \[ z = 16 \] Thay vào phương trình của mặt cầu $(S)$: \[ (x - 12)^2 + (y - 12)^2 + (16 - 12)^2 = 25 \] \[ (x - 12)^2 + (y - 12)^2 + 4^2 = 25 \] \[ (x - 12)^2 + (y - 12)^2 + 16 = 25 \] \[ (x - 12)^2 + (y - 12)^2 = 9 \] Bước 2: Xác định bán kính của đường tròn giao tuyến. Phương trình $(x - 12)^2 + (y - 12)^2 = 9$ là phương trình của một đường tròn tâm $(12, 12)$ và bán kính $r = 3$. Vậy bán kính của nắp bồn chứa là $3$. Đáp số: Bán kính của nắp bồn chứa là $3$. Câu 3 Gọi \( A \) là sự kiện "Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X đã tốt nghiệp trung học phổ thông trong kì thi trên và học sinh đó đã đỗ đại học". Gọi \( B \) là sự kiện "Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X đã tốt nghiệp trung học phổ thông trong kì thi trên, học sinh đó đã đỗ đại học và chọn tổ hợp A00". Ta có: - \( P(A) = 0,8 \times 0,6 + 0,2 \times 0,7 = 0,48 + 0,14 = 0,62 \) - \( P(B) = 0,8 \times 0,6 = 0,48 \) Xác suất để học sinh đó chọn tổ hợp A00 là: \[ P(B|A) = \frac{P(B)}{P(A)} = \frac{0,48}{0,62} = \frac{24}{31} \] Đáp số: \( \frac{24}{31} \)