Cchfgkjfhkhffg

Câu 1. Công sai của cấp số cộng $(u_n)$ là: \[ d = u_2 - u_1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{1}{4} \] Vậy công sai của cấp số cộng đã cho là $-\frac{1}{4}$. Đáp án đúng là: $D.~-\frac{1}{4}$. Câu 2. Để tính $|\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}|$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các thành phần của vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Giả sử $\overrightarrow{a} = (x_1, y_1, z_1)$ và $\overrightarrow{b} = (2, -1, 0)$. Bước 2: Tính vectơ $2\overrightarrow{b}$. \[ 2\overrightarrow{b} = 2(2, -1, 0) = (4, -2, 0) \] Bước 3: Tính vectơ $\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$. \[ \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = (x_1, y_1, z_1) - (4, -2, 0) = (x_1 - 4, y_1 + 2, z_1) \] Bước 4: Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$. \[ |\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}| = \sqrt{(x_1 - 4)^2 + (y_1 + 2)^2 + z_1^2} \] Do đó, để tính $|\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}|$, ta cần biết các thành phần của vectơ $\overrightarrow{a}$. Giả sử $\overrightarrow{a} = (x_1, y_1, z_1)$, ta có: \[ |\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}| = \sqrt{(x_1 - 4)^2 + (y_1 + 2)^2 + z_1^2} \] Vì không có thông tin cụ thể về các thành phần của vectơ $\overrightarrow{a}$, ta không thể tính chính xác giá trị của $|\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}|$. Tuy nhiên, nếu giả sử $\overrightarrow{a} = (0, 0, 0)$, ta có: \[ |\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}| = \sqrt{(0 - 4)^2 + (0 + 2)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 4 + 0} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có giá trị này. Do đó, ta cần kiểm tra lại các lựa chọn đã cho và giả sử $\overrightarrow{a} = (0, 0, 0)$ không đúng. Ta cần biết các thành phần của vectơ $\overrightarrow{a}$ để tính chính xác giá trị của $|\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}|$. Vậy, đáp án đúng là: \[ \boxed{C. 5} \] Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_3(x + 3) < 2$, ta cần đảm bảo rằng $x + 3 > 0$. Do đó, $x > -3$. 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_3(x + 3) < 2$. - Điều này tương đương với $x + 3 < 3^2$. - Suy ra $x + 3 < 9$. - Do đó, $x < 6$. 3. Tìm nghiệm nguyên âm: - Kết hợp điều kiện $x > -3$ và $x < 6$, ta có $-3 < x < 6$. - Các số nguyên âm trong khoảng này là $x = -2, -1$. 4. Tính tổng các nghiệm: - Gọi $x_1 = -2$ và $x_2 = -1$. - Vậy $x_1 + x_2 = -2 + (-1) = -3$. Do đó, giá trị của $x_1 + x_2$ là $-3$. Đáp án đúng là: D. -3. Câu 4. Để tìm độ dài đường kính của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-2x+4z-4=0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết phương trình mặt cầu dưới dạng chuẩn. Phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng tổng quát là: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4z - 4 = 0 \] Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\), \(y\), và \(z\) để hoàn thành bình phương: \[ (x^2 - 2x) + y^2 + (z^2 + 4z) = 4 \] Hoàn thành bình phương: \[ (x - 1)^2 - 1 + y^2 + (z + 2)^2 - 4 = 4 \] \[ (x - 1)^2 + y^2 + (z + 2)^2 - 5 = 4 \] \[ (x - 1)^2 + y^2 + (z + 2)^2 = 9 \] Bước 2: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu. Phương trình chuẩn của mặt cầu là: \[ (x - 1)^2 + y^2 + (z + 2)^2 = 3^2 \] Từ đây, ta thấy tâm của mặt cầu là \(I(1, 0, -2)\) và bán kính \(R = 3\). Bước 3: Tính độ dài đường kính của mặt cầu. Độ dài đường kính của mặt cầu là: \[ 2R = 2 \times 3 = 6 \] Vậy độ dài đường kính của mặt cầu $(S)$ là 6. Đáp án đúng là: B. 6. Câu 5. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 4$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx} (-x^3 + 3x^2 + 4) = -3x^2 + 6x \] 2. Xác định dấu của đạo hàm: Ta cần giải bất phương trình $y' > 0$ để tìm khoảng đồng biến của hàm số: \[ -3x^2 + 6x > 0 \] Chia cả hai vế cho -3 (nhớ đổi dấu): \[ x^2 - 2x < 0 \] Nhân cả hai vế với -1: \[ x(x - 2) < 0 \] 3. Xác định các điểm làm thay đổi dấu của biểu thức: Biểu thức $x(x - 2)$ có các nghiệm là $x = 0$ và $x = 2$. Ta sẽ kiểm tra dấu của biểu thức trong các khoảng $( -\infty, 0 )$, $( 0, 2 )$, và $( 2, +\infty )$. - Khi $x < 0$: Chọn $x = -1$, ta có $(-1)(-1 - 2) = (-1)(-3) = 3 > 0$ (không thỏa mãn). - Khi $0 < x < 2$: Chọn $x = 1$, ta có $(1)(1 - 2) = (1)(-1) = -1 < 0$ (thỏa mãn). - Khi $x > 2$: Chọn $x = 3$, ta có $(3)(3 - 2) = (3)(1) = 3 > 0$ (không thỏa mãn). Do đó, biểu thức $x(x - 2) < 0$ đúng trong khoảng $(0, 2)$. 4. Kết luận: Hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 4$ đồng biến trên khoảng $(0, 2)$. Vậy đáp án đúng là: \[ A.~(0;2). \] Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông tin đã cho: - Đáy ABCD là hình vuông cạnh a. - SA vuông góc với mặt phẳng đáy. - Góc giữa SD và (SAC) bằng $30^\circ$. 2. Xác định chiều cao SA: - Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy, nên SA chính là chiều cao của khối chóp từ đỉnh S xuống đáy ABCD. - Ta cần tìm chiều cao SA để tính thể tích khối chóp. 3. Xác định góc giữa SD và (SAC): - Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, ta có SO vuông góc với AC (vì SO vuông góc với mặt phẳng đáy). - Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống mặt phẳng (SAC). Ta có góc SDH = $30^\circ$. 4. Tính chiều cao SA: - Trong tam giác vuông SOA, ta có OA = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (vì O là tâm của hình vuông ABCD). - Trong tam giác vuông SOA, ta có SA = OA × tan(∠SOA). - Vì SO vuông góc với AC, ta có ∠SOA = 90° - ∠SDH = 90° - 30° = 60°. - Do đó, SA = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ × tan(60°) = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ × $\sqrt{3}$ = $\frac{a\sqrt{6}}{2}$. 5. Tính thể tích khối chóp S.ABCD: - Diện tích đáy ABCD là $a^2$. - Thể tích khối chóp S.ABCD là $\frac{1}{3}$ × diện tích đáy × chiều cao = $\frac{1}{3}$ × $a^2$ × $\frac{a\sqrt{6}}{2}$ = $\frac{a^3\sqrt{6}}{6}$. Vậy thể tích khối chóp đã cho là $\frac{\sqrt{6}a^3}{6}$. Đáp án đúng là: C. $\frac{\sqrt{6}a^3}{6}$. Câu 7. Để xác định các giá trị của \(a\) và \(b\) trong hàm số \(y = ax^3 + 3x + b\), chúng ta sẽ dựa vào đồ thị của hàm số. 1. Xác định dấu của \(a\): - Hàm số \(y = ax^3 + 3x + b\) có dạng bậc ba. - Nếu \(a > 0\), đồ thị của hàm số sẽ tăng từ trái sang phải và có dạng "S" cong lên. - Nếu \(a < 0\), đồ thị của hàm số sẽ giảm từ trái sang phải và có dạng "S" cong xuống. Từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số giảm từ trái sang phải, do đó \(a < 0\). 2. Xác định dấu của \(b\): - Giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\) (giao điểm \(y\)-intercept) là điểm \((0, b)\). - Từ đồ thị, ta thấy giao điểm này nằm phía trên trục \(Ox\), tức là \(b > 0\). Từ hai bước trên, ta kết luận: - \(a < 0\) - \(b > 0\) Do đó, mệnh đề đúng là: \[ C.~a < 0, b > 0. \] Đáp án: \(C.~a < 0, b > 0.\) Câu 8. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(Ozx)$ là mặt phẳng đi qua trục Oz và trục Ox. Mặt phẳng này không chứa trục Oy, do đó mọi điểm thuộc mặt phẳng $(Ozx)$ đều có tọa độ y bằng 0. Vậy phương trình của mặt phẳng $(Ozx)$ là: \[ y = 0 \] Đáp án đúng là: A. \( y = 0 \). Câu 9. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của nguyên hàm và đạo hàm. Bước 1: Xác định đạo hàm của $F(x)$ Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$, nên ta có: \[ F'(x) = f(x) \] Bước 2: Thay vào biểu thức đã cho Theo đề bài, ta có: \[ F(x) = \int f[2x - f(x)] \, dx \] Đạo hàm cả hai vế theo $x$, ta được: \[ F'(x) = f[2x - f(x)] \cdot (2 - f'(x)) \] Bước 3: Thay $F'(x) = f(x)$ vào biểu thức trên \[ f(x) = f[2x - f(x)] \cdot (2 - f'(x)) \] Bước 4: Tìm giá trị của $f(x)$ Ta thấy rằng nếu $f(x) = 0$, thì biểu thức trên luôn đúng. Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta giả sử $f(x) \neq 0$. Do đó, ta có: \[ 1 = f[2x - f(x)] \cdot (2 - f'(x)) \] Bước 5: Xét trường hợp đặc biệt Giả sử $f(x) = 2x - f(x)$, ta có: \[ 2f(x) = 2x \] \[ f(x) = x \] Bước 6: Kiểm tra lại Thay $f(x) = x$ vào biểu thức ban đầu: \[ F(x) = \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \] Với điều kiện $F(1) = 3$, ta có: \[ \frac{1^2}{2} + C = 3 \] \[ \frac{1}{2} + C = 3 \] \[ C = \frac{5}{2} \] Do đó: \[ F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{5}{2} \] Bước 7: Tính giá trị của $F(3)$ \[ F(3) = \frac{3^2}{2} + \frac{5}{2} = \frac{9}{2} + \frac{5}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] Vậy giá trị của $F(3)$ là 7. Đáp án đúng là: B. 7.