Giải bt trong ảnh

Câu 1: a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-4;10;-8)$ và $\overrightarrow{u_{(\Delta)}}=(2;-3;4)$ $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u_{(\Delta)}}=-4\times 2+10\times (-3)+(-8)\times 4=-66\neq 0$ Vậy đường thẳng AB và đường thẳng $(\Delta)$ không vuông góc với nhau. b) Mặt phẳng $(P):~x-2y+3z-1=0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{(P)}}=(1;-2;3)$ Ta có $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{(P)}})=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{n_{(P)}}}{|\overrightarrow{AB}|\times |\overrightarrow{n_{(P)}}|}=\frac{-4\times 1+10\times (-2)+(-8)\times 3}{\sqrt{(-4)^2+10^2+(-8)^2}\times \sqrt{1^2+(-2)^2+3^2}}=-\frac{42}{\sqrt{180}\times \sqrt{14}}=-\frac{\sqrt{210}}{10}$ Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là $\alpha =90^0-(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{(P)}})\approx 75^0$ c) Mặt cầu (S) đường kính AB có tâm $I(\frac{1-3}{2};\frac{-2+8}{2};\frac{7-1}{2})=(-1;3;3)$ Bán kính $R=\frac{1}{2}|AB|=\frac{1}{2}\sqrt{(-4)^2+10^2+(-8)^2}=\sqrt{45}$ d) Mặt cầu (S) đường kính AB có phương trình là $(x+1)^2+(y-3)^2+(z-3)^2=45$ Câu 2: Để giải quyết từng phần của câu hỏi, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc xác suất và điều kiện đã cho. a) Tìm \( P(A) \) Biến cố \( A \) là "Khách hàng chọn được sản phẩm loại II". Theo đề bài, 15% sản phẩm là loại II, do đó: \[ P(A) = 0,15 \] b) Tìm \( P(B|A) \) Biến cố \( B \) là "Khách hàng chọn được sản phẩm không bị hỏng". Biến cố \( B|A \) là "Khách hàng chọn được sản phẩm không bị hỏng biết rằng sản phẩm đó là loại II". Theo đề bài, 4% sản phẩm loại II bị hỏng, do đó 96% sản phẩm loại II không bị hỏng: \[ P(B|A) = 0,96 \] c) Tìm \( P(B) \) Biến cố \( B \) là "Khách hàng chọn được sản phẩm không bị hỏng". Chúng ta sẽ tính xác suất này bằng cách sử dụng công thức xác suất tổng hợp: \[ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\bar{A}) \cdot P(\bar{A}) \] Trong đó: - \( P(A) = 0,15 \) - \( P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 0,85 \) - \( P(B|A) = 0,96 \) - \( P(B|\bar{A}) \) là xác suất sản phẩm không bị hỏng biết rằng sản phẩm đó là loại I. Theo đề bài, 1% sản phẩm loại I bị hỏng, do đó 99% sản phẩm loại I không bị hỏng: \[ P(B|\bar{A}) = 0,99 \] Thay vào công thức: \[ P(B) = 0,96 \cdot 0,15 + 0,99 \cdot 0,85 \] \[ P(B) = 0,144 + 0,8415 \] \[ P(B) = 0,9855 \] d) Tìm \( P(A|B) \) Biến cố \( A|B \) là "Khách hàng chọn được sản phẩm loại II biết rằng sản phẩm đó không bị hỏng". Chúng ta sẽ sử dụng công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Trong đó: - \( P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A) = 0,96 \cdot 0,15 = 0,144 \) - \( P(B) = 0,9855 \) Thay vào công thức: \[ P(A|B) = \frac{0,144}{0,9855} \approx 0,1461 \] Tuy nhiên, theo đề bài, đáp án yêu cầu là \( P(A|B) = 0,95 \). Điều này có thể là do lỗi hoặc sai sót trong đề bài. Chúng ta sẽ giữ lại kết quả chính xác từ phép tính trên. Kết luận: \[ a)~P(A) = 0,15 \] \[ b)~P(B|A) = 0,96 \] \[ c)~P(B) = 0,9855 \] \[ d)~P(A|B) \approx 0,1461 \] Câu 1: Để xác định tích \(bc\) của các thành phần của véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}(1; b; c)\) của mặt phẳng (P) qua đường thẳng \(d_1\) và tạo với đường thẳng \(d_2\) một góc \(45^\circ\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm véctơ chỉ phương của các đường thẳng: - Đường thẳng \(d_1\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_1}(2; -2; -1)\). - Đường thẳng \(d_2\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_2}(1; 0; -1)\). 2. Tìm góc giữa véctơ pháp tuyến của mặt phẳng và véctơ chỉ phương của đường thẳng \(d_2\): - Góc giữa véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}(1; b; c)\) và véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_2}(1; 0; -1)\) là \(45^\circ\). 3. Sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai véctơ: \[ \cos 45^\circ = \frac{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u_2}}{|\overrightarrow{n}| |\overrightarrow{u_2}|} \] Biết rằng \(\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\), ta có: \[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{(1, b, c) \cdot (1, 0, -1)}{\sqrt{1 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{1 + 0 + 1}} \] \[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 + 0 - c}{\sqrt{1 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{2}} \] \[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 - c}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{1 + b^2 + c^2}} \] \[ 1 = \frac{1 - c}{\sqrt{1 + b^2 + c^2}} \] \[ \sqrt{1 + b^2 + c^2} = 1 - c \] 4. Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ 1 + b^2 + c^2 = (1 - c)^2 \] \[ 1 + b^2 + c^2 = 1 - 2c + c^2 \] \[ b^2 = -2c \] 5. Xác định tích \(bc\): \[ b^2 = -2c \] Điều này cho thấy \(c\) phải là số âm vì \(b^2\) luôn dương hoặc bằng 0. Do đó, ta có: \[ c = -\frac{b^2}{2} \] Tích \(bc\) là: \[ bc = b \left(-\frac{b^2}{2}\right) = -\frac{b^3}{2} \] Vậy, tích \(bc\) là \(-\frac{b^3}{2}\). Câu 2: Để tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu, chúng ta sẽ chia khối bê tông thành các phần nhỏ hơn và tính thể tích từng phần rồi cộng lại. 1. Tìm phương trình của các đường parabol: - Đường parabol đi qua điểm $(0, 0)$ và $(10, 5)$ có dạng $y = ax^2$. Thay $(10, 5)$ vào phương trình: \[ 5 = a \cdot 10^2 \implies 5 = 100a \implies a = \frac{1}{20} \] Vậy phương trình của đường parabol là $y = \frac{1}{20}x^2$. 2. Tính diện tích mặt cắt ngang của một phần bê tông: - Mặt cắt ngang của một phần bê tông là hình chữ nhật có chiều dài là 10 m và chiều cao là $y = \frac{1}{20}x^2$. - Diện tích mặt cắt ngang là: \[ A(x) = 10 \times y = 10 \times \frac{1}{20}x^2 = \frac{1}{2}x^2 \] 3. Tính thể tích của một phần bê tông: - Thể tích của một phần bê tông là tích của diện tích mặt cắt ngang và chiều rộng của phần đó. Giả sử mỗi phần có chiều rộng là $\Delta x$. - Thể tích của một phần bê tông là: \[ dV = A(x) \cdot \Delta x = \frac{1}{2}x^2 \cdot \Delta x \] 4. Tính tổng thể tích của tất cả các phần bê tông: - Để tính tổng thể tích, chúng ta sẽ tích phân diện tích mặt cắt ngang từ $x = 0$ đến $x = 10$: \[ V = \int_{0}^{10} \frac{1}{2}x^2 \, dx \] - Thực hiện tích phân: \[ V = \frac{1}{2} \int_{0}^{10} x^2 \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{10} = \frac{1}{2} \left( \frac{10^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1000}{3} = \frac{500}{3} \approx 166.67 \text{ m}^3 \] Vậy thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu là $\frac{500}{3} \text{ m}^3$ hoặc khoảng 166.67 m³. Câu 3: Số cách chọn 1 viên bi xanh từ 30 viên bi xanh là \( C_{30}^{1} = 30 \). Số cách chọn 1 viên bi trắng từ 20 viên bi trắng là \( C_{20}^{1} = 20 \). Số cách chọn 2 viên bi từ 50 viên bi là \( C_{50}^{2} = \frac{50 \times 49}{2} = 1225 \). Xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai là: \[ P = \frac{C_{30}^{1} \times C_{20}^{1}}{C_{50}^{2}} = \frac{30 \times 20}{1225} = \frac{600}{1225} \approx 0.49 \] Đáp số: 0.49 Câu 4: Gọi số viên kẹo màu vàng là $x$ (viên kẹo) Số viên kẹo trong túi là $6 + x$ (viên kẹo) Xác suất để Hà lấy được 1 viên kẹo màu cam đầu tiên là $\frac{6}{6+x}$ Sau khi lấy đi 1 viên kẹo màu cam, số viên kẹo còn lại trong túi là $5 + x$ (viên kẹo) Xác suất để Hà lấy được 1 viên kẹo màu cam tiếp theo là $\frac{5}{5+x}$ Theo đề bài, xác suất để Hà lấy được cả hai viên kẹo màu cam là $\frac{1}{3}$, ta có: $\frac{6}{6+x} \times \frac{5}{5+x} = \frac{1}{3}$ $\frac{30}{(6+x)(5+x)} = \frac{1}{3}$ $(6+x)(5+x) = 90$ $x^2 + 11x + 30 = 90$ $x^2 + 11x - 60 = 0$ Giải phương trình này, ta tìm được $x = 4$ hoặc $x = -15$ (loại vì số lượng kẹo không thể âm) Vậy ban đầu trong túi có $6 + 4 = 10$ viên kẹo.