Giúp mịnhhhhh 2, Cho đg tròn tâm(O) bán kính R ngoại tiếp A nhọn ABC,Tam giác ABC ( đỉnh A thay đổi trên cung tròn và thỏa mãn AB sK,có M là tđ' cạnh BC và $BC=R\sqrt3.$ Đg phân giác trong góc,BAC cắt BC tại D và đg tròn tâm O tại Q, từ Q kẻ đg,kính QP. Gọi I là tđ' PD,a, CM tứ giác APMD nội tiếp đg tròn tâm I,b, CM QM. $QP=QD$ QA và $OI//AD$,c, Khi đỉnh A ở vị trí thoả mãn $S_{\Delta APQ}=\frac{R^2\sqrt3}2$ tính độ dài,đoạn OI

Question

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu của đề bài.

Phần a: Chứng minh tứ giác APMD nội tiếp đường tròn tâm I

1. Xác định các điểm và đường thẳng:
   - Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
   - Điểm M là trung điểm của cạnh BC.
   - Điểm D là giao điểm của đường phân giác trong góc BAC với cạnh BC.
   - Điểm Q là giao điểm của đường phân giác trong góc BAC với đường tròn ngoại tiếp.
   - Đường kính QP của đường tròn ngoại tiếp.
   - Điểm I là trung điểm của đoạn PD.

2. Chứng minh tứ giác APMD nội tiếp:
   - Ta cần chứng minh rằng các đỉnh của tứ giác APMD nằm trên cùng một đường tròn.
   - Vì Q là giao điểm của đường phân giác trong góc BAC với đường tròn ngoại tiếp, nên góc AQD = góc AQB (do tính chất đường phân giác trong tam giác).
   - Vì QP là đường kính, nên góc QAP = 90° (do tính chất đường kính tạo góc vuông với dây cung).
   - Do đó, tứ giác APMD nội tiếp đường tròn tâm I (vì các đỉnh của nó nằm trên cùng một đường tròn).

Phần b: Chứng minh QM = QD và QA, OI // AD

1. Chứng minh QM = QD:
   - Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
   - Vì Q là giao điểm của đường phân giác trong góc BAC với đường tròn ngoại tiếp, nên QD là đường phân giác trong góc BQC.
   - Do đó, QM = QD (do tính chất đường phân giác trong tam giác).

2. Chứng minh QA và OI // AD:
   - Vì QP là đường kính, nên góc QAP = 90°.
   - Vì I là trung điểm của PD, nên OI là đường trung trực của đoạn PD.
   - Do đó, OI // AD (do tính chất đường trung trực).

Phần c: Tính độ dài đoạn OI khi $S_{\Delta APQ} = \frac{R^2\sqrt{3}}{2}$

1. Tính diện tích tam giác APQ:
   - Diện tích tam giác APQ được cho là $\frac{R^2\sqrt{3}}{2}$.
   - Vì QP là đường kính, nên tam giác APQ là tam giác vuông tại A.
   - Diện tích tam giác APQ = $\frac{1}{2} 	imes AP 	imes AQ$.
   - Do đó, $\frac{1}{2} 	imes AP 	imes AQ = \frac{R^2\sqrt{3}}{2}$.
   - Suy ra, $AP 	imes AQ = R^2\sqrt{3}$.

2. Tính độ dài đoạn OI:
   - Vì I là trung điểm của PD, nên OI là đường trung trực của đoạn PD.
   - Độ dài đoạn OI = $\frac{1}{2} 	imes PD$.
   - Vì PD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp, nên PD = 2R.
   - Do đó, OI = $\frac{1}{2} 	imes 2R = R$.

Kết luận:
- Tứ giác APMD nội tiếp đường tròn tâm I.
- QM = QD và QA, OI // AD.
- Độ dài đoạn OI = R.

Đáp số: OI = R.