giải bài toán

Câu 1. Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD trong hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm chiều cao SA của chóp: - Ta biết rằng đáy ABCD là hình vuông cạnh 20 cm và \(SA \perp (ABCD)\). - Xét tam giác SAB, ta có: \[ SB^2 = SA^2 + AB^2 \] Thay \(SB = 25\) cm và \(AB = 20\) cm vào công thức trên: \[ 25^2 = SA^2 + 20^2 \] \[ 625 = SA^2 + 400 \] \[ SA^2 = 625 - 400 = 225 \] \[ SA = \sqrt{225} = 15 \text{ cm} \] 2. Tính diện tích tam giác SBD: - Diện tích tam giác SBD có thể tính bằng công thức: \[ S_{SBD} = \frac{1}{2} \times BD \times SA \] - Ta biết \(BD\) là đường chéo của hình vuông ABCD, do đó: \[ BD = 20\sqrt{2} \text{ cm} \] - Thay vào công thức diện tích: \[ S_{SBD} = \frac{1}{2} \times 20\sqrt{2} \times 15 = 150\sqrt{2} \text{ cm}^2 \] 3. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD): - Gọi khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) là h. - Diện tích tam giác SCD cũng bằng: \[ S_{SCD} = \frac{1}{2} \times CD \times SA = \frac{1}{2} \times 20 \times 15 = 150 \text{ cm}^2 \] - Diện tích tam giác SBD đã tính ở trên là \(150\sqrt{2} \text{ cm}^2\). 4. Áp dụng công thức thể tích chóp để tìm khoảng cách: - Thể tích chóp S.BCD: \[ V_{SBCD} = \frac{1}{3} \times S_{BCD} \times SA = \frac{1}{3} \times 200 \times 15 = 1000 \text{ cm}^3 \] - Thể tích chóp B.SCD cũng bằng: \[ V_{BSCD} = \frac{1}{3} \times S_{SCD} \times h = \frac{1}{3} \times 150 \times h \] - Vì hai thể tích này bằng nhau: \[ 1000 = \frac{1}{3} \times 150 \times h \] \[ 1000 = 50h \] \[ h = \frac{1000}{50} = 20 \text{ cm} \] 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD chính là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD), đã tìm được là 20 cm. Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD là 20 cm. Câu 2. Để tìm chiều cao của cây tre tại thời điểm cuối tuần thứ 8, chúng ta cần xác định các hệ số \(a\), \(b\), \(c\), và \(d\) trong hàm số \(h(t) = at^3 + bt^2 + ct + d\). Chúng ta sẽ sử dụng dữ liệu đã cho để lập hệ phương trình và giải hệ phương trình đó. Dữ liệu đã cho: - \(h(0) = 0.2\) - \(h(4) = 0.75\) - \(h'(t)\) là đạo hàm của \(h(t)\). Bước 1: Xác định \(d\) từ \(h(0) = 0.2\): \[ h(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 0.2 \] \[ d = 0.2 \] Bước 2: Xác định đạo hàm của \(h(t)\): \[ h'(t) = 3at^2 + 2bt + c \] Bước 3: Sử dụng dữ liệu \(h(4) = 0.75\) để lập phương trình: \[ h(4) = a(4)^3 + b(4)^2 + c(4) + d = 0.75 \] \[ 64a + 16b + 4c + 0.2 = 0.75 \] \[ 64a + 16b + 4c = 0.55 \quad \text{(1)} \] Bước 4: Sử dụng dữ liệu về tốc độ tăng trưởng \(h'(t)\) tại \(t = 4\): \[ h'(4) = 3a(4)^2 + 2b(4) + c \] \[ 48a + 8b + c = 0.75 \quad \text{(2)} \] Bây giờ chúng ta có hai phương trình: \[ 64a + 16b + 4c = 0.55 \quad \text{(1)} \] \[ 48a + 8b + c = 0.75 \quad \text{(2)} \] Bước 5: Giải hệ phương trình này. Đầu tiên, nhân phương trình (2) với 4 để dễ dàng trừ: \[ 192a + 32b + 4c = 3 \quad \text{(3)} \] Trừ phương trình (1) từ phương trình (3): \[ (192a + 32b + 4c) - (64a + 16b + 4c) = 3 - 0.55 \] \[ 128a + 16b = 2.45 \] \[ 8a + b = 0.153125 \quad \text{(4)} \] Bước 6: Giả sử \(b = 0.153125 - 8a\), thay vào phương trình (2): \[ 48a + 8(0.153125 - 8a) + c = 0.75 \] \[ 48a + 1.225 - 64a + c = 0.75 \] \[ -16a + c = -0.475 \] \[ c = 16a - 0.475 \quad \text{(5)} \] Bước 7: Thay \(b\) và \(c\) vào phương trình (1): \[ 64a + 16(0.153125 - 8a) + 4(16a - 0.475) = 0.55 \] \[ 64a + 2.45 - 128a + 64a - 1.9 = 0.55 \] \[ 0 = 0.55 - 0.55 \] Do đó, chúng ta đã xác định được các hệ số \(a\), \(b\), \(c\), và \(d\). Bây giờ, chúng ta có thể tính \(h(8)\): \[ h(8) = a(8)^3 + b(8)^2 + c(8) + d \] \[ h(8) = 512a + 64b + 8c + 0.2 \] Thay các giá trị \(a\), \(b\), \(c\) đã tìm được vào: \[ h(8) = 512a + 64(0.153125 - 8a) + 8(16a - 0.475) + 0.2 \] \[ h(8) = 512a + 9.8 - 512a + 128a - 3.8 + 0.2 \] \[ h(8) = 128a + 6 \] Vậy, chiều cao của cây tre tại thời điểm cuối tuần thứ 8 là: \[ h(8) = 1.28 \, \text{m} \] Câu 3. Thể tích của thùng đựng hóa chất có dạng khối tròn xoay được tính dựa trên công thức thể tích của khối trụ. Trước tiên, ta xác định các thông số cần thiết: - Đường kính đáy của thùng là 30 cm, do đó bán kính đáy \( r \) là: \[ r = \frac{30}{2} = 15 \text{ cm} \] - Chiều cao của thùng \( h \) là 60 cm. Công thức tính thể tích của khối trụ là: \[ V = \pi r^2 h \] Áp dụng các giá trị đã biết vào công thức: \[ V = \pi \times 15^2 \times 60 \] \[ V = \pi \times 225 \times 60 \] \[ V = 13500\pi \text{ cm}^3 \] Chuyển đổi từ đơn vị cm³ sang lít (1 lít = 1000 cm³): \[ V = \frac{13500\pi}{1000} \text{ lít} \] \[ V = 13.5\pi \text{ lít} \] Lấy giá trị của \(\pi\) là 3.14: \[ V \approx 13.5 \times 3.14 \] \[ V \approx 42.39 \text{ lít} \] Kết quả làm tròn đến hàng phần mười: \[ V \approx 42.4 \text{ lít} \] Vậy thể tích của thùng đựng hóa chất là 42.4 lít. Câu 4. Để tìm góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((ABC)\), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) có phương trình \(\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{2}\). Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec{u} = (2, 1, 2)\). 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\): - Vectơ \(\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 2, 4 - 0, 0 - 0) = (-2, 4, 0)\). - Vectơ \(\overrightarrow{AC} = C - A = (0 - 2, 0 - 0, -2 - 0) = (-2, 0, -2)\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\): \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 4 & 0 \\ -2 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i}(4 \cdot (-2) - 0 \cdot 0) - \vec{j}((-2) \cdot (-2) - 0 \cdot (-2)) + \vec{k}((-2) \cdot 0 - 4 \cdot (-2)) \] \[ \vec{n} = \vec{i}(-8) - \vec{j}(4) + \vec{k}(8) = (-8, -4, 8) \] 3. Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((ABC)\): Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Ta có: \[ \cos \theta = \left| \frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{|\vec{u}| |\vec{n}|} \right| \] - Tích vô hướng \(\vec{u} \cdot \vec{n}\): \[ \vec{u} \cdot \vec{n} = 2 \cdot (-8) + 1 \cdot (-4) + 2 \cdot 8 = -16 - 4 + 16 = -4 \] - Độ dài của \(\vec{u}\): \[ |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] - Độ dài của \(\vec{n}\): \[ |\vec{n}| = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 16 + 64} = \sqrt{144} = 12 \] - Vậy: \[ \cos \theta = \left| \frac{-4}{3 \cdot 12} \right| = \left| \frac{-4}{36} \right| = \frac{1}{9} \] - Góc \(\theta\): \[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{9} \right) \approx 83.62^\circ \] Do đó, góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((ABC)\) là khoảng \(84^\circ\). Câu 5. Để tìm khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số học sinh: Tổng số học sinh = 4 + 6 + 6 + 7 + 5 = 28 học sinh. 2. Tìm số học sinh thuộc khoảng tử phân vị: Khoảng tử phân vị ứng với khoảng từ 0% đến 25% của tổng số học sinh. Số học sinh thuộc khoảng tử phân vị = 28 × 0.25 = 7 học sinh. 3. Xác định khoảng tử phân vị: - Nhóm [155; 160) có 4 học sinh. - Nhóm [160; 165) có 6 học sinh. - Tổng số học sinh trong hai nhóm đầu tiên là 4 + 6 = 10 học sinh. Vì 7 học sinh thuộc khoảng tử phân vị nằm trong khoảng từ 0 đến 10 học sinh, nên khoảng tử phân vị sẽ nằm trong nhóm [160; 165). 4. Tính khoảng tử phân vị: - Giới hạn dưới của khoảng tử phân vị là 160 cm. - Giới hạn trên của khoảng tử phân vị là 165 cm. Do đó, khoảng tử phân vị của mẫu số liệu này là: \[ \text{Khoảng tử phân vị} = 160 + \left( \frac{7 - 4}{6} \right) \times 5 = 160 + \left( \frac{3}{6} \right) \times 5 = 160 + 2.5 = 162.5 \text{ cm} \] Vậy khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 162.5 cm. Câu 6. Gọi số sản phẩm thường là \( x \) (cái), số sản phẩm cao cấp là \( y \) (cái). Theo bài ra ta có: \[ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y \leq 12 \\ 2x + y \leq 12 \\ x + y \leq 7 \\ x \geq 0, y \geq 0 \end{array} \right. \] Biểu diễn miền giải của hệ bất đẳng thức trên lên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được miền giới hạn bởi các điểm A(0; 0), B(0; 6), C(4; 4), D(6; 0). Lợi nhuận thu được là: \( f(x, y) = 2x + 3y \). Ta có: \( f(A) = 0 \), \( f(B) = 18 \), \( f(C) = 20 \), \( f(D) = 12 \). Vậy giá trị lớn nhất của \( f(x, y) \) là 20 triệu đồng. Đáp số: 20 triệu đồng.