Giúp mình với

Câu 1. Để tính bán kính của đường tròn tâm \( I(-2; 4) \) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta: \left\{\begin{array}{l}x = 2 + 3t \\ y = -2 - t\end{array}\right.\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình đường thẳng \(\Delta\) dưới dạng đại số: Ta có: \[ x = 2 + 3t \quad \text{và} \quad y = -2 - t \] Từ phương trình \( y = -2 - t \), ta có: \[ t = -y - 2 \] Thay vào phương trình \( x = 2 + 3t \): \[ x = 2 + 3(-y - 2) = 2 - 3y - 6 = -3y - 4 \] Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta\) là: \[ x + 3y + 4 = 0 \] 2. Tính khoảng cách từ điểm \( I(-2; 4) \) đến đường thẳng \(\Delta\): Khoảng cách \( d \) từ điểm \( (x_0, y_0) \) đến đường thẳng \( ax + by + c = 0 \) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = 3 \), \( c = 4 \), \( x_0 = -2 \), \( y_0 = 4 \). Thay vào công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot (-2) + 3 \cdot 4 + 4|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{|-2 + 12 + 4|}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{|14|}{\sqrt{10}} = \frac{14}{\sqrt{10}} = \frac{14}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{14\sqrt{10}}{10} = \frac{7\sqrt{10}}{5} \] 3. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười: \[ \frac{7\sqrt{10}}{5} \approx \frac{7 \times 3.162}{5} \approx \frac{22.134}{5} \approx 4.4268 \] Làm tròn đến hàng phần mười: \[ 4.4268 \approx 4.4 \] Vậy bán kính của đường tròn tâm \( I(-2; 4) \) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta\) là \( 4.4 \). Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đếm các trường hợp có thể xảy ra. Tổ I có 5 người, và mỗi người có hai lựa chọn: hoặc tham gia hoặc không tham gia. Do đó, tổng số cách chọn thành viên để tập kịch (bao gồm cả trường hợp không chọn ai) là: \[ 2^5 = 32 \] Tuy nhiên, theo yêu cầu của đề bài, tổ I phải chọn ít nhất một thành viên. Vì vậy, chúng ta cần trừ đi trường hợp không chọn ai: \[ 32 - 1 = 31 \] Vậy, tổ I có 31 cách chọn thành viên để tập kịch. Đáp số: 31 cách Câu 1. Trước hết, ta cần tính thời gian chú thỏ chạy trên mỗi đoạn đường. Gọi thời gian chú thỏ chạy trên đoạn AD là t1 (giây) và thời gian chạy trên đoạn BD là t2 (giây). Tổng thời gian chạy là: \[ t1 + t2 = 30 \text{ (giây)} \] Vận tốc trên đoạn AD là 13 mm/s, tức là 0,013 m/s. Vận tốc trên đoạn BD là 15 m/s. Ta có: \[ \text{Khoảng cách AD} = 0,013 \times t1 \] \[ \text{Khoảng cách BD} = 15 \times t2 \] Biết rằng tổng khoảng cách từ A đến B là 370 m, ta có: \[ 0,013 \times t1 + 15 \times t2 = 370 \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ t1 + t2 = 30 \] \[ 0,013 \times t1 + 15 \times t2 = 370 \] Giải hệ phương trình này: Từ phương trình đầu tiên, ta có: \[ t1 = 30 - t2 \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ 0,013 \times (30 - t2) + 15 \times t2 = 370 \] \[ 0,39 - 0,013 \times t2 + 15 \times t2 = 370 \] \[ 0,39 + 14,987 \times t2 = 370 \] \[ 14,987 \times t2 = 369,61 \] \[ t2 = \frac{369,61}{14,987} \approx 24,67 \text{ (giây)} \] Do đó: \[ t1 = 30 - 24,67 \approx 5,33 \text{ (giây)} \] Bây giờ, ta tính khoảng cách AD và BD: \[ \text{Khoảng cách AD} = 0,013 \times 5,33 \approx 0,06929 \text{ (m)} \] \[ \text{Khoảng cách BD} = 15 \times 24,67 \approx 370,05 \text{ (m)} \] Khoảng cách giữa hai vị trí C và D là: \[ CD = AC + AD \] \[ CD = 120 + 0,06929 \approx 120,06929 \text{ (m)} \] Vậy khoảng cách giữa hai vị trí C và D là khoảng 120,07 m. Câu 2. Để tìm tọa độ điểm \( M \) thuộc elip \((E): \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\) sao cho \( M \) nhìn hai tiêu điểm của \((E)\) dưới một góc \( 60^\circ \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tiêu điểm của elip: Elip có dạng chuẩn \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\), trong đó \(a^2 = 25\) và \(b^2 = 9\). Do đó, \(a = 5\) và \(b = 3\). Bán kính tiêu cự \(c\) được tính bằng công thức: \[ c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \] Tiêu điểm của elip nằm tại \((\pm c, 0)\), tức là \((\pm 4, 0)\). 2. Xét điều kiện góc nhìn: Điểm \(M(x, y)\) nhìn hai tiêu điểm \(F_1(-4, 0)\) và \(F_2(4, 0)\) dưới góc \(60^\circ\). Ta sẽ sử dụng tính chất hình học của tam giác và công thức tính diện tích tam giác. 3. Diện tích tam giác \(MF_1F_2\): Diện tích tam giác \(MF_1F_2\) có thể tính theo hai cách: - Cách 1: Dùng công thức diện tích tam giác với đáy và chiều cao: \[ S = \frac{1}{2} \times F_1F_2 \times |y| = \frac{1}{2} \times 8 \times |y| = 4|y| \] - Cách 2: Dùng công thức diện tích tam giác với hai cạnh và góc giữa chúng: \[ S = \frac{1}{2} \times MF_1 \times MF_2 \times \sin(60^\circ) \] Biết rằng \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), ta có: \[ S = \frac{1}{2} \times MF_1 \times MF_2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times MF_1 \times MF_2 \] 4. Bằng nhau hai diện tích: \[ 4|y| = \frac{\sqrt{3}}{4} \times MF_1 \times MF_2 \] \[ 16|y| = \sqrt{3} \times MF_1 \times MF_2 \] 5. Tính khoảng cách \(MF_1\) và \(MF_2\): \[ MF_1 = \sqrt{(x + 4)^2 + y^2} \] \[ MF_2 = \sqrt{(x - 4)^2 + y^2} \] 6. Thay vào phương trình diện tích: \[ 16|y| = \sqrt{3} \times \sqrt{(x + 4)^2 + y^2} \times \sqrt{(x - 4)^2 + y^2} \] 7. Sử dụng tính chất elip: Tổng khoảng cách từ bất kỳ điểm trên elip đến hai tiêu điểm là hằng số \(2a\): \[ MF_1 + MF_2 = 2a = 10 \] 8. Giải phương trình: Thay \(MF_1 + MF_2 = 10\) vào phương trình diện tích: \[ 16|y| = \sqrt{3} \times \sqrt{(x + 4)^2 + y^2} \times \sqrt{(x - 4)^2 + y^2} \] Ta có thể giải phương trình này bằng cách bình phương cả hai vế và sử dụng phương trình elip để tìm \(x\) và \(y\). 9. Kiểm tra lại điều kiện: Sau khi tìm được \(x\) và \(y\), kiểm tra lại để đảm bảo điểm \(M(x, y)\) thỏa mãn điều kiện ban đầu. Cuối cùng, ta sẽ có các tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Câu 3. Để tính xác suất lấy ra được một đôi giày hoàn chỉnh từ tủ có 4 đôi giày khác loại, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số cách lấy ra 2 chiếc giày từ 8 chiếc giày: - Số cách chọn 2 chiếc giày từ 8 chiếc giày là: \[ C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \] 2. Tìm số cách lấy ra được một đôi giày hoàn chỉnh: - Mỗi đôi giày có 2 chiếc, do đó có 4 đôi giày thì có 4 cách lấy ra một đôi giày hoàn chỉnh. 3. Tính xác suất: - Xác suất lấy ra được một đôi giày hoàn chỉnh là: \[ P = \frac{\text{Số cách lấy ra một đôi giày hoàn chỉnh}}{\text{Tổng số cách lấy ra 2 chiếc giày}} = \frac{4}{28} = \frac{1}{7} \] Vậy xác suất để lấy ra được một đôi giày hoàn chỉnh là $\frac{1}{7}$.