Giải giúp tôi ạ

Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của lũy thừa để biến đổi biểu thức \( P = a^{\frac{1}{3}} \sqrt{a} \). Bước 1: Biểu diễn căn bậc hai dưới dạng lũy thừa: \[ \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \] Bước 2: Thay vào biểu thức \( P \): \[ P = a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}} \] Bước 3: Áp dụng tính chất lũy thừa \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \[ P = a^{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)} \] Bước 4: Tính tổng các số mũ: \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \] Bước 5: Kết luận: \[ P = a^{\frac{5}{6}} \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~a^{\frac{5}{6}} \] Câu 2: Để giải phương trình $10^x = 5$, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của lôgarit. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Phương trình này không có điều kiện xác định cụ thể vì $10^x$ luôn luôn có nghĩa với mọi giá trị thực của $x$. Bước 2: Áp dụng tính chất của lôgarit - Ta có phương trình $10^x = 5$. Để giải phương trình này, ta áp dụng tính chất của lôgarit: \[ x = \log_{10} 5 \] Bước 3: Kết luận nghiệm - Vậy nghiệm của phương trình $10^x = 5$ là $x = \log_{10} 5$. Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~x = \log 5 \] Đáp số: $C.~x = \log 5$. Câu 3: Ta có: \[ \lim_{x \to 8} \frac{f(x) - f(8)}{x - 8} \] Theo định nghĩa của đạo hàm, ta biết rằng: \[ f'(8) = \lim_{x \to 8} \frac{f(x) - f(8)}{x - 8} \] Vì trong đề bài đã cho \( f'(8) = 5 \), nên ta có: \[ \lim_{x \to 8} \frac{f(x) - f(8)}{x - 8} = 5 \] Vậy giá trị của biểu thức là 5. Đáp án đúng là: B. 5. Câu 4: Để tìm góc giữa đường thẳng \( A'C \) và mặt phẳng \( (ABC) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: - Gọi \( H \) là hình chiếu của điểm \( C' \) lên mặt phẳng \( (ABC) \). - Ta có \( A'H \perp (ABC) \) vì \( AA' \perp (ABC) \). 2. Tính khoảng cách từ \( C' \) đến \( (ABC) \): - Vì \( AA' \perp (ABC) \), nên \( AA' \) chính là khoảng cách từ \( A' \) đến \( (ABC) \). - Do đó, \( A'H = AA' = \sqrt{15} \). 3. Tính độ dài đoạn thẳng \( A'C \): - Ta có \( A'C = \sqrt{A'A^2 + AC^2} \). - Trước tiên, tính \( AC \): \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{2 + 3} = \sqrt{5} \] - Tiếp theo, tính \( A'C \): \[ A'C = \sqrt{A'A^2 + AC^2} = \sqrt{(\sqrt{15})^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{15 + 5} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] 4. Tính góc giữa \( A'C \) và \( (ABC) \): - Gọi \( \theta \) là góc giữa \( A'C \) và \( (ABC) \). - Ta có: \[ \sin \theta = \frac{A'H}{A'C} = \frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] - Từ đây suy ra: \[ \theta = \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 60^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng \( A'C \) và mặt phẳng \( (ABC) \) là \( 60^\circ \). Đáp án đúng là: \( B.~60^\circ \). Câu 5: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = x^{\frac{-2}{3}} \), ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa \( y = x^n \): \[ y' = n \cdot x^{n-1} \] Trong trường hợp này, \( n = \frac{-2}{3} \). Áp dụng công thức trên, ta có: \[ y' = \left( \frac{-2}{3} \right) \cdot x^{\left( \frac{-2}{3} - 1 \right)} \] Tính toán phần mũ của \( x \): \[ \frac{-2}{3} - 1 = \frac{-2}{3} - \frac{3}{3} = \frac{-5}{3} \] Do đó, đạo hàm của hàm số là: \[ y' = \frac{-2}{3} \cdot x^{\frac{-5}{3}} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~y' = \frac{-2}{3} x^{\frac{-5}{3}} \] Câu 6: Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Do SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên SB vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Đặc biệt, SB vuông góc với BD. Mặt khác, vì ABCD là hình thoi, nên AC vuông góc với BD tại tâm O của hình thoi. Bây giờ, ta xét các mặt phẳng đã cho: - Mặt phẳng (SBC) chứa SB và BC. - Mặt phẳng (SAD) chứa SA và AD. - Mặt phẳng (SCD) chứa SC và CD. - Mặt phẳng (SAC) chứa SA và AC. Ta cần tìm mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng (SBD). Để làm điều này, ta cần kiểm tra xem có đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng đó và vuông góc với cả hai giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đang xét. Xét mặt phẳng (SAC): - Mặt phẳng (SBD) chứa SB và BD. - Mặt phẳng (SAC) chứa SA và AC. - Ta đã biết SB vuông góc với BD và AC vuông góc với BD. Do đó, AC nằm trong mặt phẳng (SAC) và vuông góc với BD. Vì SB cũng vuông góc với BD, nên BD vuông góc với cả hai đường thẳng SB và AC nằm trong mặt phẳng (SAC). Điều này chứng tỏ rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBD). Vậy mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (SBD) là mặt phẳng (SAC). Đáp án đúng là: D. (SAC). Câu 7: Để giải bất phương trình $\log_2(3x-2)+\log_{\frac12}(6-5x)>0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Điều kiện để các biểu thức logarit có nghĩa: 1. $3x - 2 > 0 \Rightarrow x > \frac{2}{3}$ 2. $6 - 5x > 0 \Rightarrow x < \frac{6}{5}$ Vậy ĐKXĐ là $\frac{2}{3} < x < \frac{6}{5}$. Bước 2: Chuyển đổi biểu thức logarit Ta biết rằng $\log_{\frac{1}{2}}(6-5x) = -\log_2(6-5x)$, do đó bất phương trình trở thành: \[ \log_2(3x-2) - \log_2(6-5x) > 0 \] Bước 3: Gộp các biểu thức logarit Áp dụng tính chất của logarit: \[ \log_2\left(\frac{3x-2}{6-5x}\right) > 0 \] Bước 4: Giải bất phương trình logarit Biểu thức $\log_2\left(\frac{3x-2}{6-5x}\right) > 0$ tương đương với: \[ \frac{3x-2}{6-5x} > 1 \] Bước 5: Giải bất phương trình đại số Chuyển vế và quy đồng: \[ \frac{3x-2}{6-5x} - 1 > 0 \Rightarrow \frac{3x-2 - (6-5x)}{6-5x} > 0 \Rightarrow \frac{3x-2 - 6 + 5x}{6-5x} > 0 \Rightarrow \frac{8x-8}{6-5x} > 0 \] Rút gọn phân thức: \[ \frac{8(x-1)}{6-5x} > 0 \] Bước 6: Xác định dấu của phân thức Phân tích các nhân tử: - Tử số: $8(x-1)$ - Mẫu số: $6-5x$ Tìm các điểm làm thay đổi dấu: - $x = 1$ - $x = \frac{6}{5}$ Lập bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, \frac{6}{5}) & \frac{6}{5} & (\frac{6}{5}, +\infty) \\ \hline 8(x-1) & - & 0 & + & + & + \\ 6-5x & + & + & + & 0 & - \\ \hline \frac{8(x-1)}{6-5x} & - & 0 & + & \text{không xác định} & - \\ \end{array} \] Bước 7: Kết luận tập nghiệm Theo bảng xét dấu, ta thấy $\frac{8(x-1)}{6-5x} > 0$ trong khoảng $(1, \frac{6}{5})$. Kết hợp với điều kiện xác định $\frac{2}{3} < x < \frac{6}{5}$, ta có: \[ S = (1, \frac{6}{5}) \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~S=(1;\frac65)} \] Câu 8: Để tính thể tích của khối chóp S.ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy ABC: - Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, do đó AB = AC = 2. - Diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 \] 2. Xác định chiều cao SA: - Chiều cao SA của khối chóp là 3. 3. Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: - Thể tích khối chóp S.ABC được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA \] - Thay các giá trị vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times 2 \times 3 = 2 \] Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là 2. Đáp án đúng là: B. 2. Câu 9: Để tính góc giữa mặt bên (SAB) và mặt phẳng đáy (ABC), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm M của đoạn thẳng BC: Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên trung điểm M của BC cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có: \[ BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{3a}{2} \] 2. Tính khoảng cách từ S đến M: Vì SA = SB = SC, nên S nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) đi qua M. Do đó, SM là khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC). Ta có: \[ SM = \sqrt{SC^2 - MC^2} = \sqrt{\left(\frac{3a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{3a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{27a^2}{4} - \frac{9a^2}{4}} = \sqrt{\frac{18a^2}{4}} = \frac{3a\sqrt{2}}{2} \] 3. Tính góc giữa mặt bên (SAB) và mặt phẳng đáy (ABC): Góc giữa mặt bên (SAB) và mặt phẳng đáy (ABC) chính là góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABC). Ta có: \[ \tan(\theta) = \frac{SM}{AM} \] Trong đó, AM là khoảng cách từ A đến M. Vì M là trung điểm của BC, ta có: \[ AM = \sqrt{AC^2 + CM^2} = \sqrt{(a\sqrt{6})^2 + \left(\frac{3a}{2}\right)^2} = \sqrt{6a^2 + \frac{9a^2}{4}} = \sqrt{\frac{24a^2 + 9a^2}{4}} = \sqrt{\frac{33a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{33}}{2} \] Vậy: \[ \tan(\theta) = \frac{\frac{3a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{33}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{33}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{33}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{33}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{33}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{33}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{33}} \] Ta thấy rằng: \[ \tan(\theta) = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{33}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{33}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{33}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{33}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{33}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{33}} \] Từ đây, ta suy ra: \[ \theta = 45^\circ \] Vậy góc giữa mặt bên (SAB) và mặt phẳng đáy (ABC) là \(45^\circ\). Đáp án đúng là: \(B.~45^0.\) Câu 10: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \cos^2(5x) \), chúng ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm lượng giác. Bước 1: Xác định hàm số con và hàm số ngoài. - Hàm số con là \( u = \cos(5x) \). - Hàm số ngoài là \( y = u^2 \). Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số con \( u = \cos(5x) \). - Đạo hàm của \( \cos(5x) \) là \( -\sin(5x) \times 5 = -5\sin(5x) \). Bước 3: Tìm đạo hàm của hàm số ngoài \( y = u^2 \). - Đạo hàm của \( u^2 \) là \( 2u \). Bước 4: Kết hợp các đạo hàm theo quy tắc đạo hàm của hàm hợp. - \( y' = 2u \times (-5\sin(5x)) \) - Thay \( u = \cos(5x) \) vào: \[ y' = 2 \cos(5x) \times (-5\sin(5x)) \] \[ y' = -10 \cos(5x) \sin(5x) \] Bước 5: Áp dụng công thức nhân đôi góc \( \sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A) \): - \( \cos(5x) \sin(5x) = \frac{1}{2} \sin(10x) \) Do đó: \[ y' = -10 \times \frac{1}{2} \sin(10x) = -5 \sin(10x) \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~y^\prime = -5\sin(10x). \] Câu 11: Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \( y = 9x + 7 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 6x \] 2. Xác định điều kiện để tiếp tuyến song song với đường thẳng \( y = 9x + 7 \): Tiếp tuyến song song với đường thẳng \( y = 9x + 7 \) khi hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9. Do đó: \[ y' = 9 \] Thay vào đạo hàm: \[ 3x^2 - 6x = 9 \] Giải phương trình này: \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \] 3. Tìm tọa độ điểm tiếp xúc: - Với \( x = 3 \): \[ y = 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 2 = 27 - 27 + 2 = 2 \] Điểm tiếp xúc là \( (3, 2) \). - Với \( x = -1 \): \[ y = (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2 \] Điểm tiếp xúc là \( (-1, -2) \). 4. Viết phương trình tiếp tuyến: - Tại điểm \( (3, 2) \): \[ y - 2 = 9(x - 3) \] \[ y = 9x - 27 + 2 \] \[ y = 9x - 25 \] - Tại điểm \( (-1, -2) \): \[ y + 2 = 9(x + 1) \] \[ y = 9x + 9 - 2 \] \[ y = 9x + 7 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) là: \[ y = 9x + 7 \quad \text{và} \quad y = 9x - 25 \] Đáp án đúng là: \( A.~y=9x+7;~y=9x-25 \). Câu 12: Để tính xác suất của biến cố A: "Hai viên bi cùng màu", chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Tính tổng số cách chọn 2 viên bi từ 40 viên bi: Số cách chọn 2 viên bi từ 40 viên bi là: \[ C_{40}^2 = \frac{40 \times 39}{2} = 780 \] 2. Tính số cách chọn 2 viên bi cùng màu từ mỗi loại màu: - Số cách chọn 2 viên bi đỏ từ 20 viên bi đỏ: \[ C_{20}^2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190 \] - Số cách chọn 2 viên bi xanh từ 10 viên bi xanh: \[ C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45 \] - Số cách chọn 2 viên bi vàng từ 6 viên bi vàng: \[ C_{6}^2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15 \] - Số cách chọn 2 viên bi trắng từ 4 viên bi trắng: \[ C_{4}^2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6 \] 3. Tổng số cách chọn 2 viên bi cùng màu: Tổng số cách chọn 2 viên bi cùng màu là: \[ 190 + 45 + 15 + 6 = 256 \] 4. Tính xác suất của biến cố A: Xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = \frac{\text{Số cách chọn 2 viên bi cùng màu}}{\text{Tổng số cách chọn 2 viên bi}} = \frac{256}{780} \] 5. Rút gọn phân số: Rút gọn phân số $\frac{256}{780}$: \[ \frac{256}{780} = \frac{64}{195} \] Vậy xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = \frac{64}{195} \] Đáp án đúng là: D. \( P(A) = \frac{64}{195} \) Câu 1: Để kiểm tra tính đúng sai của khẳng định \( SA \perp (ABCD) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điều kiện ban đầu: - Đáy ABCD là hình thoi với \( \angle BAD = 120^\circ \) và \( AB = a \). - Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy (ABCD). - M là trung điểm của BC. - \( \angle AMS = 60^\circ \). 2. Xác định vị trí của SA: - Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy (ABCD), nên SA phải vuông góc với cả AB và AD. - Do đó, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). 3. Kiểm tra điều kiện \( \angle AMS = 60^\circ \): - Vì M là trung điểm của BC, ta có BM = MC = \(\frac{a}{2}\). - Ta cần kiểm tra xem liệu điều kiện \( \angle AMS = 60^\circ \) có ảnh hưởng đến việc SA vuông góc với (ABCD) hay không. 4. Lập luận về tính đúng sai của khẳng định: - Nếu SA vuông góc với cả AB và AD, thì SA cũng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD), bao gồm cả AM. - Điều này có nghĩa là SA luôn vuông góc với (ABCD), bất kể giá trị của \( \angle AMS \). Do đó, khẳng định \( SA \perp (ABCD) \) là đúng. Kết luận: Khẳng định \( SA \perp (ABCD) \) là đúng.