Giúp mình với! PHẦN II (2 điểm). Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi,câu thí sinh chọn đúng hoặc sai.,Câu 1. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối. Gọi A là biến cố mặt xuất hiện có số chấm chẵn và B là biến,cố mặt xuất hiện có số chấm lớn hơn 3. A: 246 B = 456.,a) A và B là hai biến cố xung khắc. $5$ $b)~P(A)=\frac12,~P$,$c)~P(AB)=\frac13.$ $d)~P(A\cup B)=1.~S$,Câu 2. Cho hàm số $y=x^3-3x^2+1$ có đồ thị (C).,$a)~y^\prime=3x^2-6x.$,b) Phương trình $y^\prime=0$ có tập nghiệm $T=\{0;2\}.$,c) Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x_a=1$ bằng 3.,d) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x_0=1$ có phương trình là $y=-3x+2$,PHẦN III (2 điểm). Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.,Câu 1. Cho phương trình $2^{x^2}.3^{x+1}=2.$ Tổng các nghiệm của phương trình bằng ( Kết quả làm tròn đến một,chữ số thập phân).,Câu 2. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại $A,~AB=2,~AC=3.$ Đường thẳng SA vuông góc,với đáy, SB hợp với đáy góc $60^0.$ Tính thể tích của khối chóp S.ABC . ( Kết quả làm tròn đến một,chữ số thập phân).,Câu 3. Lớp 11A có 30 học sinh trong đó có 10 em học giỏi môn Toán, 7 em học giỏi môn Văn, 3 em học,giỏi cả hai môn Toán và Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Tính xác suất để học sinh được,chọn đó học giỏi môn Toán hoặc môn Văn. ( Kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân ).,Câu 4. Một viên bi được thả rơi tự do ở độ cao $h=1000~m$ có phương trình chuyển động rơi tự do,$h(t)=4,9t^2(m),$ với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của viên bi tại thời điểm $t=5(s).($,Đơn vị của vận tốc là m / s ).,PHẦN IV. Câu tự luận. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.,Câu 1. Kim tự tháp bằng kính tại bảo tàng Louvre ở Paris có dạng hình chóp tứ giác đều có chiều cao là 21,6,m và cạnh đáy dài 34 m . Tính độ dài cạnh bên và diện tích xung quanh của kim tự tháp.,Câu 2. Trong một lớp 11D có 50 học sinh. Khi đăng ký cho học phụ đạo thì có 38 học sinh đăng ký học Toán,,30 học sinh đăng ký học Lý, 25 học sinh đăng ký học cả Toán và Lý. Nếu chọ ngẫu nhiên 1 học sinh,của lớp đó thì xác suất để em này không đăng ký học phụ đạo môn nào cả là bao nhiêu.,Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, $SA=a\sqrt3.$ Tam giác ABC đều cạnh a . Tính khoảng,cách SB và CI với I là trung điểm của AB.,Câu 4. Có ba chiếc hộp: hộp I có 5 bi đỏ và 6 bi vàng; hộp II có 3 bi đỏ và 2 bi xanh, hộp III có 5 bi đỏ, 2 bi,xanh và 3 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra một hộp rồi lấy một viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để viên bi,lấy được có màu đỏ.

Question

Accepted Answer

Câu 1.
a) A và B là hai biến cố xung khắc:
- Biến cố A: Mặt xuất hiện có số chấm chẵn (2, 4, 6).
- Biến cố B: Mặt xuất hiện có số chấm lớn hơn 3 (4, 5, 6).

Ta thấy rằng cả hai biến cố đều có thể xảy ra cùng lúc nếu mặt xuất hiện là 4 hoặc 6. Do đó, A và B không phải là hai biến cố xung khắc.

b) Tính xác suất của biến cố A:
- Số kết quả có thể xảy ra khi gieo một con súc sắc là 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6).
- Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 3 (2, 4, 6).

Vậy xác suất của biến cố A là:
$$ P(A) = \frac{\text{số kết quả thuận lợi}}{\text{số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$

c) Tính xác suất của biến cố AB (cả A và B cùng xảy ra):
- Biến cố AB là mặt xuất hiện có số chấm chẵn và lớn hơn 3 (4, 6).

Số kết quả thuận lợi cho biến cố AB là 2 (4, 6).

Vậy xác suất của biến cố AB là:
$$ P(AB) = \frac{\text{số kết quả thuận lợi}}{\text{số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$

d) Tính xác suất của biến cố A ∪ B (A hoặc B xảy ra):
- Biến cố A ∪ B là mặt xuất hiện có số chấm chẵn hoặc lớn hơn 3 (2, 4, 5, 6).

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A ∪ B là 4 (2, 4, 5, 6).

Vậy xác suất của biến cố A ∪ B là:
$$ P(A \cup B) = \frac{\text{số kết quả thuận lợi}}{\text{số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$

Tóm lại:
a) A và B không phải là hai biến cố xung khắc.
b) $ P(A) = \frac{1}{2} $
c) $ P(AB) = \frac{1}{3} $
d) $ P(A \cup B) = \frac{2}{3} $

Câu 2.
Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

Phần a) Tính đạo hàm của hàm số $ y = x^3 - 3x^2 + 1 $

Ta có:
$$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 1) $$
Áp dụng công thức đạo hàm cơ bản:
$$ y' = 3x^2 - 6x $$

Phần b) Giải phương trình $ y' = 0 $

Ta có:
$$ 3x^2 - 6x = 0 $$
Factorize phương trình:
$$ 3x(x - 2) = 0 $$
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
$$ T = \{0, 2\} $$

Phần c) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $ x_a = 1 $

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $ x_a = 1 $ là giá trị của đạo hàm tại điểm đó:
$$ y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 $$

Phần d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $ x_0 = 1 $

Đầu tiên, ta tìm tọa độ của điểm trên đồ thị có hoành độ $ x_0 = 1 $:
$$ y(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 $$
Vậy điểm tiếp xúc là $ (1, -1) $.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $ (1, -1) $ với hệ số góc $ m = -3 $ là:
$$ y - (-1) = -3(x - 1) $$
$$ y + 1 = -3x + 3 $$
$$ y = -3x + 2 $$

Kết luận:
a) Đạo hàm của hàm số $ y = x^3 - 3x^2 + 1 $ là $ y' = 3x^2 - 6x $.
b) Tập nghiệm của phương trình $ y' = 0 $ là $ T = \{0, 2\} $.
c) Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $ x_a = 1 $ là $ -3 $.
d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $ x_0 = 1 $ là $ y = -3x + 2 $.

Câu 1.
Để giải phương trình $2^{x^2} \cdot 3^{x+1} = 2$, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- Phương trình đã cho không có điều kiện hạn chế nào khác ngoài việc $ x $ là số thực.

Bước 2: Biến đổi phương trình
- Ta viết lại phương trình dưới dạng:
$$ 2^{x^2} \cdot 3^{x+1} = 2 $$
- Chia cả hai vế cho 2:
$$ 2^{x^2 - 1} \cdot 3^{x+1} = 1 $$

Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình
- Để phương trình $ 2^{x^2 - 1} \cdot 3^{x+1} = 1 $ đúng, ta cần $ 2^{x^2 - 1} = 1 $ và $ 3^{x+1} = 1 $.

- Xét phương trình $ 2^{x^2 - 1} = 1 $:
$$ x^2 - 1 = 0 $$
$$ x^2 = 1 $$
$$ x = 1 \text{ hoặc } x = -1 $$

- Xét phương trình $ 3^{x+1} = 1 $:
$$ x + 1 = 0 $$
$$ x = -1 $$

Bước 4: Kiểm tra các nghiệm
- Thử nghiệm $ x = 1 $:
$$ 2^{1^2} \cdot 3^{1+1} = 2^1 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18 \neq 2 $$
Do đó, $ x = 1 $ không thỏa mãn phương trình.

- Thử nghiệm $ x = -1 $:
$$ 2^{(-1)^2} \cdot 3^{-1+1} = 2^1 \cdot 3^0 = 2 \cdot 1 = 2 $$
Do đó, $ x = -1 $ thỏa mãn phương trình.

Bước 5: Tính tổng các nghiệm
- Phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất là $ x = -1 $.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là:
$$ -1 $$

Đáp số: $-1$

Câu 2.
Trước tiên, ta cần tìm chiều cao SA của khối chóp S.ABC.

1. Xác định chiều cao SA:
- Vì SA vuông góc với đáy ABC, nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.
- Góc giữa SB và đáy là góc $\angle SBA = 60^\circ$.
- Ta có: $\tan(60^\circ) = \frac{SA}{AB}$
- Thay số vào, ta có: $\sqrt{3} = \frac{SA}{2}$
- Từ đó suy ra: $SA = 2\sqrt{3}$

2. Tính diện tích đáy ABC:
- Diện tích tam giác ABC là: 
$$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3 $$

3. Tính thể tích khối chóp S.ABC:
- Thể tích khối chóp được tính theo công thức: 
$$ V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA $$
- Thay số vào, ta có:
$$ V = \frac{1}{3} \times 3 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \approx 3.464 $$

Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân:
$$ V \approx 3.5 $$

Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là 3.5 đơn vị thể tích.

Câu 3.
Để tính xác suất để học sinh được chọn học giỏi môn Toán hoặc môn Văn, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm số học sinh giỏi môn Toán hoặc môn Văn:
   - Số học sinh giỏi môn Toán: 10 em.
   - Số học sinh giỏi môn Văn: 7 em.
   - Số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Văn: 3 em.

Theo công thức tính số phần tử của tập hợp hợp:
   $$
   |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|
   $$
   Ta có:
   $$
   |A \cup B| = 10 + 7 - 3 = 14 \text{ em}
   $$

2. Tính xác suất:
   - Tổng số học sinh trong lớp: 30 em.
   - Số học sinh giỏi môn Toán hoặc môn Văn: 14 em.

Xác suất để học sinh được chọn học giỏi môn Toán hoặc môn Văn là:
   $$
   P = \frac{|A \cup B|}{\text{Tổng số học sinh}} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15} \approx 0.47
   $$

Vậy xác suất để học sinh được chọn học giỏi môn Toán hoặc môn Văn là khoảng 0.47.

Câu 4.
Để tính vận tốc của viên bi tại thời điểm $ t = 5 $ giây, ta cần sử dụng phương trình chuyển động rơi tự do và đạo hàm của nó để tìm vận tốc tức thời.

Phương trình chuyển động rơi tự do của viên bi là:
$$ h(t) = 4,9t^2 $$

Vận tốc tức thời $ v(t) $ của viên bi tại thời điểm $ t $ là đạo hàm của phương trình chuyển động $ h(t) $:
$$ v(t) = \frac{d}{dt} h(t) $$

Ta tính đạo hàm của $ h(t) $:
$$ v(t) = \frac{d}{dt} (4,9t^2) = 4,9 \cdot 2t = 9,8t $$

Bây giờ, ta thay $ t = 5 $ vào phương trình vận tốc:
$$ v(5) = 9,8 \cdot 5 = 49 \text{ m/s} $$

Vậy vận tốc của viên bi tại thời điểm $ t = 5 $ giây là:
$$ \boxed{49 \text{ m/s}} $$

Câu 1.
Để tính độ dài cạnh bên và diện tích xung quanh của kim tự tháp, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các thông số đã biết
- Chiều cao của kim tự tháp: $ h = 21,6 $ m
- Cạnh đáy của kim tự tháp: $ a = 34 $ m

Bước 2: Tính độ dài cạnh bên của kim tự tháp
Cạnh bên của kim tự tháp là đoạn thẳng nối đỉnh chóp với một đỉnh của đáy. Ta sẽ sử dụng công thức tính cạnh bên của hình chóp đều.

Trước tiên, ta cần tìm chiều cao của mặt bên (đường cao hạ từ đỉnh chóp xuống cạnh đáy). Gọi chiều cao này là $ h' $.

Chiều cao của mặt bên $ h' $ là:
$$ h' = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} $$

Thay các giá trị vào:
$$ h' = \sqrt{(21,6)^2 + \left(\frac{34}{2}\right)^2} $$
$$ h' = \sqrt{(21,6)^2 + (17)^2} $$
$$ h' = \sqrt{466,56 + 289} $$
$$ h' = \sqrt{755,56} $$
$$ h' \approx 27,48 \text{ m} $$

Bước 3: Tính diện tích xung quanh của kim tự tháp
Diện tích xung quanh của kim tự tháp là tổng diện tích của các mặt bên. Mỗi mặt bên là một tam giác đều, diện tích của mỗi tam giác là:
$$ S_{\text{1 mặt}} = \frac{1}{2} \times a \times h' $$

Thay các giá trị vào:
$$ S_{\text{1 mặt}} = \frac{1}{2} \times 34 \times 27,48 $$
$$ S_{\text{1 mặt}} = 17 \times 27,48 $$
$$ S_{\text{1 mặt}} \approx 467,16 \text{ m}^2 $$

Vì kim tự tháp có 4 mặt bên, nên diện tích xung quanh là:
$$ S_{\text{xung quanh}} = 4 \times S_{\text{1 mặt}} $$
$$ S_{\text{xung quanh}} = 4 \times 467,16 $$
$$ S_{\text{xung quanh}} \approx 1868,64 \text{ m}^2 $$

Kết luận
- Độ dài cạnh bên của kim tự tháp là khoảng 27,48 m.
- Diện tích xung quanh của kim tự tháp là khoảng 1868,64 m².

Câu 2.
Để giải bài toán xác suất này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định tổng số học sinh trong lớp.
2. Xác định số học sinh đăng ký học Toán, Lý và cả hai môn.
3. Tính số học sinh không đăng ký học phụ đạo bất kỳ môn nào.
4. Tính xác suất của sự kiện này.

Bước 1: Tổng số học sinh trong lớp là 50 học sinh.

Bước 2: Số học sinh đăng ký học Toán là 38 học sinh, số học sinh đăng ký học Lý là 30 học sinh, và số học sinh đăng ký học cả Toán và Lý là 25 học sinh.

Bước 3: Ta tính số học sinh đăng ký ít nhất một môn học phụ đạo:
- Số học sinh đăng ký ít nhất một môn học phụ đạo là:
$$ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 38 + 30 - 25 = 43 $$

Bước 4: Số học sinh không đăng ký học phụ đạo bất kỳ môn nào là:
$$ 50 - 43 = 7 $$

Bước 5: Xác suất để chọn ngẫu nhiên một học sinh không đăng ký học phụ đạo bất kỳ môn nào là:
$$ P(\text{không đăng ký}) = \frac{\text{số học sinh không đăng ký}}{\text{tổng số học sinh}} = \frac{7}{50} $$

Vậy xác suất để em này không đăng ký học phụ đạo môn nào cả là $\frac{7}{50}$.

Câu 3.
Để tính khoảng cách giữa SB và CI trong hình chóp S.ABC, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các điểm và đường thẳng:
   - Hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy.
   - Tam giác ABC đều cạnh a.
   - I là trung điểm của AB.

2. Tìm tọa độ các điểm:
   - Gọi A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C($\frac{a}{2}$, $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, 0).
   - Vì SA vuông góc với đáy và SA = $a\sqrt{3}$, nên S(0, 0, $a\sqrt{3}$).

3. Tìm tọa độ của I:
   - I là trung điểm của AB, nên tọa độ của I là ($\frac{a}{2}$, 0, 0).

4. Tìm vectơ SB và CI:
   - Vectơ SB = B - S = (a, 0, 0) - (0, 0, $a\sqrt{3}$) = (a, 0, -$a\sqrt{3}$).
   - Vectơ CI = I - C = ($\frac{a}{2}$, 0, 0) - ($\frac{a}{2}$, $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, 0) = (0, -$\frac{a\sqrt{3}}{2}$, 0).

5. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa SB và CI:
   - Gọi vectơ pháp tuyến là n = (x, y, z).
   - Ta có: n . SB = 0 và n . CI = 0.
   - Từ n . SB = 0, ta có: ax + 0y - $a\sqrt{3}$z = 0.
   - Từ n . CI = 0, ta có: 0x - $\frac{a\sqrt{3}}{2}$y + 0z = 0.

6. Giải hệ phương trình:
   - Từ n . CI = 0, ta có: y = 0.
   - Thay y = 0 vào n . SB = 0, ta có: ax - $a\sqrt{3}$z = 0.
   - Chọn x = $\sqrt{3}$, z = 1, ta có vectơ pháp tuyến n = ($\sqrt{3}$, 0, 1).

7. Tìm khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CI:
   - Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng chứa CI.
   - Khoảng cách từ S đến CI là SH.
   - SH = |(S - C) . n| / |n|.
   - S - C = (-$\frac{a}{2}$, -$\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $a\sqrt{3}$).
   - (S - C) . n = (-$\frac{a}{2}$)($\sqrt{3}$) + (-$\frac{a\sqrt{3}}{2}$)(0) + ($a\sqrt{3}$)(1) = -$\frac{a\sqrt{3}}{2}$ + $a\sqrt{3}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
   - |n| = $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 0^2 + 1^2}$ = $\sqrt{3 + 1}$ = 2.
   - SH = |$\frac{a\sqrt{3}}{2}$| / 2 = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$.

Vậy khoảng cách giữa SB và CI là $\frac{a\sqrt{3}}{4}$.

Câu 4.
Để tính xác suất để viên bi lấy được có màu đỏ, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính xác suất để chọn mỗi hộp:
   - Xác suất để chọn hộp I là $\frac{1}{3}$.
   - Xác suất để chọn hộp II là $\frac{1}{3}$.
   - Xác suất để chọn hộp III là $\frac{1}{3}$.

2. Tính xác suất để lấy được viên bi đỏ từ mỗi hộp:
   - Hộp I có 5 bi đỏ và 6 bi vàng, tổng cộng 11 bi. Xác suất để lấy được viên bi đỏ từ hộp I là $\frac{5}{11}$.
   - Hộp II có 3 bi đỏ và 2 bi xanh, tổng cộng 5 bi. Xác suất để lấy được viên bi đỏ từ hộp II là $\frac{3}{5}$.
   - Hộp III có 5 bi đỏ, 2 bi xanh và 3 bi vàng, tổng cộng 10 bi. Xác suất để lấy được viên bi đỏ từ hộp III là $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

3. Áp dụng công thức xác suất tổng:
   Xác suất để lấy được viên bi đỏ từ bất kỳ hộp nào là:
   $$
   P(\text{bi đỏ}) = P(\text{hộp I}) \times P(\text{bi đỏ | hộp I}) + P(\text{hộp II}) \times P(\text{bi đỏ | hộp II}) + P(\text{hộp III}) \times P(\text{bi đỏ | hộp III})
   $$
   Thay các giá trị đã tính vào:
   $$
   P(\text{bi đỏ}) = \frac{1}{3} \times \frac{5}{11} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}
   $$

4. Tính toán cụ thể:
   $$
   P(\text{bi đỏ}) = \frac{1}{3} \times \frac{5}{11} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}
   $$
   $$
   P(\text{bi đỏ}) = \frac{5}{33} + \frac{3}{15} + \frac{1}{6}
   $$
   Chuyển tất cả các phân số về cùng mẫu số chung (33):
   $$
   P(\text{bi đỏ}) = \frac{5}{33} + \frac{9}{33} + \frac{11}{33} = \frac{25}{33}
   $$

Vậy xác suất để viên bi lấy được có màu đỏ là $\frac{25}{33}$.