aaaaaaaffffffgggghjjj

Câu 1: Để tính góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mái nhà, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và vectơ: - Điểm \( D \) là đỉnh chung của hai mái nhà. - Mặt phẳng \( (ABCD) \) chứa mái trước. - Mặt phẳng \( (ABMN) \) chứa mái sau. - Ta cần tìm góc giữa hai mặt phẳng này. 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng: - Mặt phẳng \( (ABCD) \) có vectơ pháp tuyến \( \vec{n_1} \). - Mặt phẳng \( (ABMN) \) có vectơ pháp tuyến \( \vec{n_2} \). 3. Tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến: - Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. 4. Áp dụng công thức tính góc giữa hai vectơ: - Gọi \( \theta \) là góc giữa hai vectơ pháp tuyến \( \vec{n_1} \) và \( \vec{n_2} \). - Công thức: \( \cos(\theta) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \) 5. Tính toán chi tiết: - Ta có \( AD = 4 \, m \), \( AN = 3 \, m \), \( DN = 5 \, m \). - Mặt phẳng \( (ABCD) \) có vectơ pháp tuyến \( \vec{n_1} = (0, 0, 1) \) (do nó vuông góc với mặt đất). - Mặt phẳng \( (ABMN) \) có vectơ pháp tuyến \( \vec{n_2} \) cần tìm. 6. Tìm vectơ pháp tuyến \( \vec{n_2} \): - Ta có \( \vec{DA} = (-4, 0, 0) \) và \( \vec{DN} = (0, 3, -4) \). - Vectơ pháp tuyến \( \vec{n_2} \) của mặt phẳng \( (ABMN) \) là tích vector của \( \vec{DA} \) và \( \vec{DN} \): \[ \vec{n_2} = \vec{DA} \times \vec{DN} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -4 \end{vmatrix} = (0, 16, 12) \] 7. Tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến: - \( \vec{n_1} = (0, 0, 1) \) - \( \vec{n_2} = (0, 16, 12) \) - \( |\vec{n_1}| = 1 \) - \( |\vec{n_2}| = \sqrt{0^2 + 16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20 \) - \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 16 + 1 \cdot 12 = 12 \) - \( \cos(\theta) = \frac{12}{1 \cdot 20} = \frac{12}{20} = 0.6 \) - \( \theta = \cos^{-1}(0.6) \approx 53.13^\circ \) Vậy góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mái nhà là khoảng \( 53.13^\circ \). Câu 2: Số cách chọn 2 quả cầu từ 20 quả cầu là: \[ C_{20}^2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190 \] Số cách chọn 2 quả cầu trắng từ 8 quả cầu trắng là: \[ C_8^2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \] Số cách chọn 2 quả cầu đen từ 12 quả cầu đen là: \[ C_{12}^2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66 \] Tổng số cách chọn 2 quả cầu cùng màu là: \[ 28 + 66 = 94 \] Xác suất để lấy được 2 quả cầu cùng màu là: \[ P = \frac{94}{190} \approx 0,49 \] Đáp số: 0,49 Câu 3: Xác suất của biến cố "Cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng nặng" là: 0,2 × 0,9 = 0,18 Đáp số: 0,18 Câu 4: Số tiền người đó được lĩnh sau n tháng là: \[ 100 \times (1 + 0,006)^n \] Ta cần tìm n sao cho: \[ 100 \times (1 + 0,006)^n \geq 110 \] \[ (1 + 0,006)^n \geq 1,1 \] Lấy logarit cả hai vế: \[ \log((1 + 0,006)^n) \geq \log(1,1) \] \[ n \cdot \log(1,006) \geq \log(1,1) \] Tính giá trị của \(\log(1,006)\) và \(\log(1,1)\): \[ \log(1,006) \approx 0,0026 \] \[ \log(1,1) \approx 0,0414 \] Thay vào phương trình: \[ n \cdot 0,0026 \geq 0,0414 \] \[ n \geq \frac{0,0414}{0,0026} \] \[ n \geq 15,92 \] Vì n phải là số nguyên dương, nên ta chọn n = 16. Vậy sau ít nhất 16 tháng, người đó được lĩnh số tiền không ít hơn 110 triệu đồng. Câu 5: Để tìm quãng đường vật đi được khi vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc của vật: Vận tốc của vật là đạo hàm của quãng đường theo thời gian \( t \). Do đó: \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 3t^2 + 5t + 10) = 3t^2 - 6t + 5 \] 2. Tìm thời điểm vận tốc đạt giá trị nhỏ nhất: Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( v(t) \), chúng ta cần tìm đạo hàm của \( v(t) \) và đặt nó bằng 0: \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 6t + 5) = 6t - 6 \] Đặt \( v'(t) = 0 \): \[ 6t - 6 = 0 \implies t = 1 \] 3. Kiểm tra tính chất của đạo hàm để xác định giá trị nhỏ nhất: Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai của \( v(t) \): \[ v''(t) = \frac{d}{dt}(6t - 6) = 6 \] Vì \( v''(t) > 0 \), nên \( v(t) \) đạt giá trị nhỏ nhất tại \( t = 1 \). 4. Tính quãng đường vật đi được tại thời điểm \( t = 1 \): Thay \( t = 1 \) vào phương trình quãng đường \( s(t) \): \[ s(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 + 10 = 1 - 3 + 5 + 10 = 13 \] Vậy, tại thời điểm vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì quãng đường vật đi được là 13 mét. Câu 6: Để tính gia tốc của hạt tại thời điểm \( t = 5 \) giây, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc tức thời \( v(t) \): - Vận tốc tức thời \( v(t) \) là đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \). \[ s(t) = 10 + 0,5 \sin \left( 2\pi t + \frac{\pi}{5} \right) \] - Đạo hàm của \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = 0,5 \cdot 2\pi \cos \left( 2\pi t + \frac{\pi}{5} \right) \] \[ v(t) = \pi \cos \left( 2\pi t + \frac{\pi}{5} \right) \] 2. Tìm gia tốc tức thời \( a(t) \): - Gia tốc tức thời \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc tức thời \( v(t) \). \[ v(t) = \pi \cos \left( 2\pi t + \frac{\pi}{5} \right) \] - Đạo hàm của \( v(t) \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \pi \cdot (-\sin \left( 2\pi t + \frac{\pi}{5} \right)) \cdot 2\pi \] \[ a(t) = -2\pi^2 \sin \left( 2\pi t + \frac{\pi}{5} \right) \] 3. Tính gia tốc tại thời điểm \( t = 5 \) giây: - Thay \( t = 5 \) vào phương trình gia tốc: \[ a(5) = -2\pi^2 \sin \left( 2\pi \cdot 5 + \frac{\pi}{5} \right) \] \[ a(5) = -2\pi^2 \sin \left( 10\pi + \frac{\pi}{5} \right) \] - Vì \( \sin(10\pi + \theta) = \sin(\theta) \): \[ a(5) = -2\pi^2 \sin \left( \frac{\pi}{5} \right) \] - Tính giá trị của \( \sin \left( \frac{\pi}{5} \right) \): \[ \sin \left( \frac{\pi}{5} \right) \approx 0,5878 \] - Thay vào: \[ a(5) = -2\pi^2 \cdot 0,5878 \] \[ a(5) \approx -2 \cdot (3,1416)^2 \cdot 0,5878 \] \[ a(5) \approx -2 \cdot 9,8696 \cdot 0,5878 \] \[ a(5) \approx -11,59 \text{ cm/s}^2 \] Vậy gia tốc của hạt tại thời điểm \( t = 5 \) giây là khoảng \(-11,6\) cm/s² (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).