Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Câu 56. Cho hình chóp đều là S ABCD và O ll giao điểm của hai đường chéo, biết $SA=8,6(cm).$,$AB=5,1~cm.$ Tính khoảng cách từ O đến mặt (SCD),Câu 57. Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng,cách là 400m. Độ dốc của mặt cầu không vượt quá 10` (độ dốc tại một điểm được xác định bởi,góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến,mặt đường (làm tròn kết quả đến chũ số thập phân thứ nhất).

Question

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5401678,"userName":"luulilongmau"}

a.

Ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 2 \ 5 & -3 & 3 \ -1 & 0 & -2 \end{bmatrix}$

* Đa thức đặc trưng:

$\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 2-\lambda & -1 & 2 \ 5 & -3-\lambda & 3 \ -1 & 0 & -2-\lambda \end{bmatrix} = (2-\lambda)\begin{vmatrix} -3-\lambda & 3 \ 0 & -2-\lambda \end{vmatrix} - (-1)\begin{vmatrix} 5 & 3 \ -1 & -2-\lambda \end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix} 5 & -3-\lambda \ -1 & 0 \end{vmatrix}$

$= (2-\lambda)(-3-\lambda)(-2-\lambda) + (5(-2-\lambda) - (-1)(3)) + 2(0 - (-1)(-3-\lambda))$

$= (2-\lambda)(\lambda^2 + 5\lambda + 6) + (-10 - 5\lambda + 3) + 2(3+\lambda)$

$= (2-\lambda)(\lambda^2 + 5\lambda + 6) + (-7 - 5\lambda) + (6 + 2\lambda)$

$= 2\lambda^2 + 10\lambda + 12 - \lambda^3 - 5\lambda^2 - 6\lambda - 7 - 5\lambda + 6 + 2\lambda$

$= -\lambda^3 - 3\lambda^2 + \lambda + 11 $

Giải phương trình đặc trưng $-\lambda^3 - 3\lambda^2 + \lambda + 11 = 0$, ta được các nghiệm gần đúng là

$\lambda_1 \approx 1.89, \lambda_2 \approx -2.23, \lambda_3 \approx -2.66$

* Tìm không gian riêng: (tính gần đúng cho $\lambda_1 = 1.89$)

$\begin{bmatrix} 2-1.89 & -1 & 2 \ 5 & -3-1.89 & 3 \ -1 & 0 & -2-1.89 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0.11 & -1 & 2 \ 5 & -4.89 & 3 \ -1 & 0 & -3.89 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$

Từ dòng 3, ta có $x = -3.89z$. Thay vào dòng 1, ta được $0.11(-3.89z) - y + 2z = 0$ suy ra $y = 1.573z$.

Vector riêng là $v_1 = \begin{bmatrix} -3.89 \ 1.573 \ 1 \end{bmatrix}$

b.

Ma trận $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \ -4 & 4 & 0 \ -2 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

* Đa thức đặc trưng:

$\det(B - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} -\lambda & 1 & 0 \ -4 & 4-\lambda & 0 \ -2 & 1 & 2-\lambda \end{bmatrix} = (2-\lambda)\begin{vmatrix} -\lambda & 1 \ -4 & 4-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)(-\lambda(4-\lambda) - (-4)) = (2-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 4) = (2-\lambda)(\lambda - 2)^2 = -(\lambda-2)^3$

Vậy $\lambda = 2$ là trị riêng duy nhất (bội 3).

* Tìm không gian riêng:

$\begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 \ -4 & 2 & 0 \ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$

$-2x + y = 0$ suy ra $y = 2x$. $z$ tự do.

Vector riêng có dạng $v = \begin{bmatrix} x \ 2x \ z \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 0 \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$

Cơ sở của không gian riêng là $\begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 0 \end{bmatrix}$ và $\begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$

c.

Ma trận $C = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 \ -2 & -6 & 13 \ -1 & -4 & 8 \end{bmatrix}$

* Đa thức đặc trưng:

$\det(C - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 1-\lambda & -3 & 3 \ -2 & -6-\lambda & 13 \ -1 & -4 & 8-\lambda \end{bmatrix}$

$=(1-\lambda)((-6-\lambda)(8-\lambda) - 13(-4)) - (-3)(-2(8-\lambda) - 13(-1)) + 3(-2(-4) - (-6-\lambda)(-1))$

$=(1-\lambda)(-48 + 6\lambda - 8\lambda + \lambda^2 + 52) + 3(-16 + 2\lambda + 13) + 3(8 - 6 - \lambda)$

$=(1-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda + 4) + 3(2\lambda - 3) + 3(2 - \lambda)$

$=\lambda^2 - 2\lambda + 4 - \lambda^3 + 2\lambda^2 - 4\lambda + 6\lambda - 9 + 6 - 3\lambda$

$=-\lambda^3 + 3\lambda^2 - 3\lambda + 1 = -(\lambda-1)^3$

Vậy $\lambda = 1$ là trị riêng duy nhất (bội 3).

* Tìm không gian riêng:

$\begin{bmatrix} 0 & -3 & 3 \ -2 & -7 & 13 \ -1 & -4 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$

Từ dòng 1, ta có $y = z$. Thay vào dòng 3, ta có $-x - 4y + 7y = 0$ suy ra $x = 3y$.

Vậy vector riêng có dạng $v = \begin{bmatrix} 3y \ y \ y \end{bmatrix} = y\begin{bmatrix} 3 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$.

Cơ sở của không gian riêng là $\begin{bmatrix} 3 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$

d.

Ma trận $D = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 4 \ 4 & -7 & 8 \ 6 & -7 & 7 \end{bmatrix}$

* Đa thức đặc trưng:

$\det(D - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 1-\lambda & -3 & 4 \ 4 & -7-\lambda & 8 \ 6 & -7 & 7-\lambda \end{bmatrix}$

$=(1-\lambda)((-7-\lambda)(7-\lambda) - 8(-7)) - (-3)(4(7-\lambda) - 8(6)) + 4(4(-7) - (-7-\lambda)(6))$

$=(1-\lambda)(-49 + 7\lambda - 7\lambda + \lambda^2 + 56) + 3(28 - 4\lambda - 48) + 4(-28 + 42 + 6\lambda)$

$=(1-\lambda)(\lambda^2 + 7) + 3(-4\lambda - 20) + 4(14 + 6\lambda)$

$=\lambda^2 + 7 - \lambda^3 - 7\lambda - 12\lambda - 60 + 56 + 24\lambda$

$=-\lambda^3 + \lambda^2 + 5\lambda + 3 $

$=(-\lambda -1)(\lambda-3)(\lambda + 1)$.

Trị riêng: $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = -1$.

* Tìm không gian riêng ứng với $\lambda = 3$:

$\begin{bmatrix} -2 & -3 & 4 \ 4 & -10 & 8 \ 6 & -7 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$

$-2x - 3y + 4z = 0$

$4x - 10y + 8z = 0$

$6x - 7y + 4z = 0$

$2x + y=0$, $z = -2x - 3y/4= -7/2x$

$2x + 7 y = -7$

Timi · Answer

Câu 56.
Để tính khoảng cách từ O đến mặt (SCD), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm diện tích đáy (SCD):
   - Ta biết rằng SABCD là hình chóp đều, do đó đáy ABCD là hình vuông.
   - Diện tích đáy ABCD là:
     $$
     S_{ABCD} = AB^2 = 5,1^2 = 26,01 \text{ cm}^2
     $$
   - Diện tích tam giác SCD là một phần tư diện tích toàn bộ đáy ABCD:
     $$
     S_{SCD} = \frac{1}{4} \times 26,01 = 6,5025 \text{ cm}^2
     $$

2. Tính chiều cao SO của hình chóp:
   - Vì SABCD là hình chóp đều, SO là đường cao hạ từ đỉnh S xuống tâm O của đáy ABCD.
   - Ta có:
     $$
     SO = \sqrt{SA^2 - OA^2}
     $$
   - Trong đó, OA là bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD, tức là:
     $$
     OA = \frac{AC}{2} = \frac{AB\sqrt{2}}{2} = \frac{5,1\sqrt{2}}{2} = 3,609 \text{ cm}
     $$
   - Do đó:
     $$
     SO = \sqrt{8,6^2 - 3,609^2} = \sqrt{73,96 - 13,02} = \sqrt{60,94} \approx 7,8 \text{ cm}
     $$

3. Tính thể tích hình chóp SABCD:
   - Thể tích hình chóp SABCD là:
     $$
     V_{SABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SO = \frac{1}{3} \times 26,01 \times 7,8 \approx 67,626 \text{ cm}^3
     $$

4. Tính thể tích hình chóp SBCD:
   - Vì SBCD là một phần tư của SABCD, nên thể tích của nó là:
     $$
     V_{SBCD} = \frac{1}{4} \times V_{SABCD} = \frac{1}{4} \times 67,626 \approx 16,9065 \text{ cm}^3
     $$

5. Tính khoảng cách từ O đến mặt (SCD):
   - Gọi khoảng cách từ O đến mặt (SCD) là h.
   - Thể tích hình chóp SBCD cũng có thể được tính qua diện tích đáy SCD và khoảng cách từ O đến mặt (SCD):
     $$
     V_{SBCD} = \frac{1}{3} \times S_{SCD} \times h
     $$
   - Do đó:
     $$
     16,9065 = \frac{1}{3} \times 6,5025 \times h
     $$
   - Giải ra h:
     $$
     h = \frac{16,9065 \times 3}{6,5025} \approx 8 \text{ cm}
     $$

Vậy khoảng cách từ O đến mặt (SCD) là 8 cm.

Câu 57.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình parabol:
   Ta giả sử rằng đỉnh của parabol nằm ở điểm $(0, h)$ và hai điểm đầu cầu nằm ở $(\pm 200, 0)$. Phương trình parabol có dạng:
   $$
   y = ax^2 + h
   $$
   Vì hai điểm đầu cầu là $(\pm 200, 0)$, ta thay vào phương trình:
   $$
   0 = a(200)^2 + h \implies 0 = 40000a + h \implies h = -40000a
   $$

2. Tìm đạo hàm để xác định độ dốc:
   Độ dốc của parabol tại bất kỳ điểm nào trên đó được xác định bởi đạo hàm của phương trình parabol:
   $$
   y&#x27; = 2ax
   $$
   Độ dốc tại điểm $(x, y)$ là $2ax$. Theo đề bài, độ dốc không vượt quá 10&#x27;, tức là:
   $$
   |2ax| \leq \tan(10&#x27;) = \tan\left(\frac{\pi}{108}\right)
   $$
   Ta biết rằng $\tan(10&#x27;)$ rất nhỏ, gần bằng 0.002908882. Do đó:
   $$
   |2ax| \leq 0.002908882
   $$
   Tại điểm xa nhất từ đỉnh cầu, $x = 200$, ta có:
   $$
   |2a \cdot 200| \leq 0.002908882 \implies |400a| \leq 0.002908882 \implies |a| \leq \frac{0.002908882}{400} \approx 0.000007272
   $$

3. Tính chiều cao giới hạn:
   Ta đã có $h = -40000a$. Thay giá trị của $a$ vào:
   $$
   h = -40000 \times (-0.000007272) \approx 0.29088
   $$
   Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất:
   $$
   h \approx 0.3 \text{ m}
   $$

Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là 0.3 m.