toán toán toán đề 1

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit. Ta có: \[ \log_3(3x) \] Áp dụng tính chất logarit \(\log_b(mn) = \log_b m + \log_b n\), ta có: \[ \log_3(3x) = \log_3 3 + \log_3 x \] Biết rằng \(\log_3 3 = 1\) (vì \(3^1 = 3\)), ta thay vào: \[ \log_3(3x) = 1 + \log_3 x \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~1 + \log_3 x \] Câu 2. Để giải phương trình $2^{x+1} = 4$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình với cùng cơ số: Ta nhận thấy rằng $4$ có thể viết dưới dạng lũy thừa của $2$: \[ 4 = 2^2 \] Do đó, phương trình trở thành: \[ 2^{x+1} = 2^2 \] 2. So sánh các mũ trong phương trình: Vì hai vế đều có cùng cơ số là $2$, ta có thể so sánh các mũ: \[ x + 1 = 2 \] 3. Giải phương trình bậc nhất: Ta giải phương trình $x + 1 = 2$ để tìm giá trị của $x$: \[ x = 2 - 1 \] \[ x = 1 \] 4. Kiểm tra điều kiện xác định: Phương trình này không yêu cầu bất kỳ điều kiện xác định nào vì nó là phương trình lũy thừa cơ bản. 5. Kết luận tập nghiệm: Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[ S = \{1\} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~S=\{1\}. \] Câu 3. Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O và SA = SC, SB = SD. - Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên O là trung điểm của cả AC và BD. - Ta có SA = SC và SB = SD, do đó tam giác SAC và SBD đều là tam giác cân tại S. Xét tam giác SAC: - O là trung điểm của AC, và SA = SC nên SO là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy AC. Do đó, SO ⊥ AC. Xét tam giác SBD: - O là trung điểm của BD, và SB = SD nên SO là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy BD. Do đó, SO ⊥ BD. Từ hai kết quả trên, ta thấy SO ⊥ AC và SO ⊥ BD. Vì AC và BD là hai đường chéo của hình bình hành ABCD và chúng cắt nhau tại O, nên SO ⊥ (ABCD). Do đó, mệnh đề đúng là: \[ A.~SO\bot(ABCD). \] Đáp án: A. SO ⊥ (ABCD). Câu 4. Hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (NN'P'P) là điểm N'. Lập luận từng bước: - Mặt phẳng (NN'P'P) là một mặt của hình lập phương MNPQ.M'N'P'Q'. - Điểm M nằm trên cạnh MN của hình lập phương. - Khi hạ đường thẳng vuông góc từ điểm M xuống mặt phẳng (NN'P'P), đường thẳng này sẽ cắt mặt phẳng tại điểm N', vì N' là đỉnh chung của hai mặt phẳng (MNPQ) và (NN'P'P). Do đó, hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (NN'P'P) là điểm N'. Đáp án đúng là: A. N'. Câu 5. Trước tiên, ta cần hiểu rằng khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD) chính là chiều cao hạ từ đỉnh S vuông góc xuống đáy ABCD. Do SA vuông góc với đáy ABCD, nên đoạn thẳng SA chính là khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD). Vậy đáp án đúng là: A. SA Lập luận từng bước: 1. Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy ABCD. 2. Khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng hạ từ S vuông góc xuống đáy ABCD. 3. Vì SA vuông góc với đáy ABCD, nên SA chính là khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD). Đáp án: A. SA Câu 6. Để xác định biến cố xung khắc với biến cố A, ta cần hiểu rằng biến cố xung khắc là biến cố mà nếu xảy ra thì biến cố kia không thể xảy ra và ngược lại. Biến cố A là "Tích số chấm xuất hiện là số lẻ". Điều này chỉ xảy ra khi cả hai con xúc xắc đều xuất hiện số chấm lẻ. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng biến cố: A. "Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm": - Nếu cả hai mặt có cùng số chấm, cả hai mặt đều phải là số lẻ hoặc cả hai mặt đều phải là số chẵn. Vì vậy, nếu cả hai mặt đều là số lẻ thì tích số chấm sẽ là số lẻ, tức là biến cố A xảy ra. Do đó, biến cố này không xung khắc với biến cố A. B. "Tổng số chấm xuất hiện là số lẻ": - Tổng số chấm xuất hiện là số lẻ chỉ xảy ra khi một mặt có số chấm lẻ và mặt còn lại có số chấm chẵn. Điều này có nghĩa là tích số chấm sẽ là số chẵn, tức là biến cố A không xảy ra. Do đó, biến cố này xung khắc với biến cố A. C. "Xuất hiện ít nhất một mặt có số chấm là số lẻ": - Nếu ít nhất một mặt có số chấm là số lẻ, thì vẫn có khả năng cả hai mặt đều là số lẻ, dẫn đến tích số chấm là số lẻ. Do đó, biến cố này không xung khắc với biến cố A. D. "Xuất hiện hai mặt có số chấm khác nhau": - Nếu hai mặt có số chấm khác nhau, có thể một mặt là số lẻ và mặt còn lại là số chẵn, hoặc cả hai mặt đều là số lẻ nhưng khác nhau. Trong trường hợp cả hai mặt đều là số lẻ khác nhau, tích số chấm sẽ là số lẻ, tức là biến cố A xảy ra. Do đó, biến cố này không xung khắc với biến cố A. Vậy, biến cố xung khắc với biến cố A là: B. "Tổng số chấm xuất hiện là số lẻ". Đáp án: B. "Tổng số chấm xuất hiện là số lẻ". Câu 7. Để xác định mệnh đề đúng trong các lựa chọn đã cho, chúng ta cần dựa vào công thức tính xác suất của sự kiện tổng hợp (sự kiện A hoặc B xảy ra). Công thức xác suất của sự kiện tổng hợp \( P(A \cup B) \) được cho bởi: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Trong đó: - \( P(A) \) là xác suất của sự kiện A. - \( P(B) \) là xác suất của sự kiện B. - \( P(A \cap B) \) là xác suất của sự kiện cả A và B cùng xảy ra. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \) - Mệnh đề này sai vì nó bỏ qua xác suất của sự kiện cả A và B cùng xảy ra (\( P(A \cap B) \)). B. \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) - Mệnh đề này đúng theo công thức xác suất của sự kiện tổng hợp đã nêu trên. C. \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) + P(A \cap B) \) - Mệnh đề này sai vì nó cộng thêm xác suất của sự kiện cả A và B cùng xảy ra (\( P(A \cap B) \)), thay vì trừ đi. D. \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \) - Mệnh đề này chỉ đúng nếu A và B là hai sự kiện độc lập. Nếu không, nó không phải lúc nào cũng đúng. Do đó, mệnh đề đúng là: \[ B.~P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Câu 8. Để tính xác suất của biến cố \( AB \) (tức là cả hai biến cố \( A \) và \( B \) cùng xảy ra), ta sử dụng công thức xác suất của biến cố đồng thời khi hai biến cố độc lập: \[ P(AB) = P(A) \times P(B) \] Trong đó: - \( P(A) = \frac{1}{3} \) - \( P(B) = \frac{1}{6} \) Áp dụng công thức trên: \[ P(AB) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1 \times 1}{3 \times 6} = \frac{1}{18} \] Vậy, xác suất của biến cố \( AB \) là \( \frac{1}{18} \). Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~\frac{1}{18} \] Câu 9. Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề về đạo hàm của hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( x_0 \), chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề theo định nghĩa của đạo hàm. Đạo hàm của hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( x_0 \) được định nghĩa là: \[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. \( f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \) - Đây chính là định nghĩa của đạo hàm tại điểm \( x_0 \). Mệnh đề này đúng. B. \( f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \) - Đây cũng là một dạng khác của định nghĩa đạo hàm, trong đó \( \Delta x \) là khoảng cách giữa \( x \) và \( x_0 \). Mệnh đề này đúng. C. \( f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \) - Đây là một dạng khác của định nghĩa đạo hàm, trong đó \( h \) thay thế cho \( \Delta x \). Mệnh đề này đúng. D. \( f'(x_0) = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x + x_0) - f(x_0)}{x - x_0} \) - Mệnh đề này không đúng vì nó không tuân theo định nghĩa của đạo hàm. Đạo hàm tại điểm \( x_0 \) liên quan đến giới hạn khi \( x \) tiến gần đến \( x_0 \), không phải khi \( x \) tiến đến vô cùng. Vậy, mệnh đề sai là: \[ D.~f'(x_0) = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x + x_0) - f(x_0)}{x - x_0} \] Câu 10. Để kiểm tra xem công thức đạo hàm nào trong các lựa chọn sai, chúng ta sẽ lần lượt tính đạo hàm của mỗi biểu thức. A. $(x)' = 1$ - Đạo hàm của hàm số \( f(x) = x \) là 1. Công thức này đúng. B. $(C)' = 0$ - Đạo hàm của một hằng số \( C \) là 0. Công thức này đúng. C. $(\sqrt{x})' = \frac{1}{\sqrt{x}}$ - Ta viết lại $\sqrt{x}$ dưới dạng $x^{1/2}$. - Áp dụng công thức đạo hàm của hàm lũy thừa: $(x^n)' = nx^{n-1}$. - Do đó, $(x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. - Vậy công thức $(\sqrt{x})' = \frac{1}{\sqrt{x}}$ là sai. D. $(x^2)' = 2x$ - Áp dụng công thức đạo hàm của hàm lũy thừa: $(x^n)' = nx^{n-1}$. - Do đó, $(x^2)' = 2x$. Công thức này đúng. Như vậy, công thức đạo hàm sai là: C. $(\sqrt{x})' = \frac{1}{\sqrt{x}}$ Câu 11. Để tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2 - 3x + 1}{x + 1} \), ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số. Công thức đạo hàm của thương hai hàm số \( y = \frac{u(x)}{v(x)} \) là: \[ y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \] Trong đó: - \( u(x) = x^2 - 3x + 1 \) - \( v(x) = x + 1 \) Bước 1: Tính đạo hàm của \( u(x) \): \[ u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 3x + 1) = 2x - 3 \] Bước 2: Tính đạo hàm của \( v(x) \): \[ v'(x) = \frac{d}{dx}(x + 1) = 1 \] Bước 3: Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(2x - 3)(x + 1) - (x^2 - 3x + 1)(1)}{(x + 1)^2} \] Bước 4: Thực hiện phép nhân và trừ: \[ y' = \frac{(2x - 3)(x + 1) - (x^2 - 3x + 1)}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 2x - 3x - 3 - x^2 + 3x - 1}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - x^2 + 2x - 3x + 3x - 3 - 1}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 2x - 4}{(x + 1)^2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~y' = \frac{x^2 + 2x - 4}{(x + 1)^2} \] Câu 12. Để tính \( f^(2) \), ta cần biết rằng \( f^(x) \) thường là ký hiệu cho đạo hàm của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) = (x+1)^4 \). Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa: \[ f'(x) = 4(x+1)^3 \cdot \frac{d}{dx}(x+1) = 4(x+1)^3 \cdot 1 = 4(x+1)^3 \] Bước 2: Thay \( x = 2 \) vào đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(2) = 4(2+1)^3 = 4 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108 \] Vậy \( f^(2) = 108 \). Đáp án đúng là: D. 108. Câu 1. a) Biến cố A là mặt xuất hiện có số chấm chẵn, tức là các kết quả có thể là 2, 4, 6. Biến cố B là mặt xuất hiện có số chấm lớn hơn 3, tức là các kết quả có thể là 4, 5, 6. Như vậy, A và B không xung khắc vì có thể xuất hiện cùng lúc các kết quả 4 và 6. b) Số kết quả có thể xảy ra khi gieo một con súc sắc là 6. Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 3 (2, 4, 6). Do đó: \[ P(A) = \frac{\text{số kết quả thuận lợi cho } A}{\text{số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] c) Các kết quả thuận lợi cho cả A và B là 4 và 6. Do đó: \[ P(AB) = \frac{\text{số kết quả thuận lợi cho } AB}{\text{số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] d) Các kết quả thuận lợi cho A hoặc B là 2, 4, 5, 6. Do đó: \[ P(A \cup B) = \frac{\text{số kết quả thuận lợi cho } A \cup B}{\text{số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] Kết luận: a) A và B không xung khắc. b) \( P(A) = \frac{1}{2} \) c) \( P(AB) = \frac{1}{3} \) d) \( P(A \cup B) = \frac{2}{3} \) Đáp số: a) Không xung khắc. b) \( P(A) = \frac{1}{2} \) c) \( P(AB) = \frac{1}{3} \) d) \( P(A \cup B) = \frac{2}{3} \) Câu 2. a) Ta có $y' = 3x^2 - 6x.$ b) Phương trình $y' = 0$: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Vậy tập nghiệm $T = \{0, 2\}.$ c) Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$: \[ y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 \] d) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$: - Tọa độ điểm trên đồ thị (C) có hoành độ $x_0 = 1$: \[ y(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \] Vậy điểm là $(1, -1)$. - Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(1, -1)$ với hệ số góc $-3$: \[ y - (-1) = -3(x - 1) \] \[ y + 1 = -3x + 3 \] \[ y = -3x + 2 \] Đáp án: a) $y' = 3x^2 - 6x.$ b) Tập nghiệm $T = \{0, 2\}.$ c) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$ là $-3.$ d) Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$ là $y = -3x + 2.$