toán toán toán toán đề 3 tiếp theo

Câu 7. Trước tiên, ta xét các mặt phẳng đã cho và mối liên hệ giữa chúng với mặt phẳng (SAB). A. (SAD): - Mặt phẳng (SAD) chung đường thẳng SA với mặt phẳng (SAB). - Vì SA là đường thẳng chung và SA ⊥ (ABCD), nên (SAD) ⊥ (ABCD). - Do đó, (SAD) không thể vuông góc với (SAB) vì cả hai đều chung đường thẳng SA và cùng vuông góc với (ABCD). B. (SBC): - Mặt phẳng (SBC) chung đường thẳng SB với mặt phẳng (SAB). - Vì SB là đường thẳng chung và SB ⊥ (ABCD), nên (SBC) ⊥ (ABCD). - Do đó, (SBC) không thể vuông góc với (SAB) vì cả hai đều chung đường thẳng SB và cùng vuông góc với (ABCD). C. (ABC): - Mặt phẳng (ABC) là đáy của hình chóp S.ABCD và là hình vuông nằm trong mặt phẳng (ABCD). - Vì (SAB) ⊥ (ABCD), nên (SAB) ⊥ (ABC). D. (SCD): - Mặt phẳng (SCD) chung đường thẳng SD với mặt phẳng (SAD). - Vì SD là đường thẳng chung và SD ⊥ (ABCD), nên (SCD) ⊥ (ABCD). - Do đó, (SCD) không thể vuông góc với (SAB) vì cả hai đều chung đường thẳng SD và cùng vuông góc với (ABCD). Từ các lập luận trên, ta thấy rằng mặt phẳng (SAB) không vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáp án đúng là: C. (ABC). Câu 8. Trong hình hộp lập phương ABCD.A'B'C'D', cạnh bên AA' không vuông góc với đường nào sau đây? A. BD B. CB' D. CD Ta sẽ kiểm tra từng đường thẳng: 1. Kiểm tra AA' và BD: - Trong mặt phẳng (ABCD), đường thẳng BD nằm trong mặt đáy của hình hộp lập phương. - Vì AA' là cạnh bên thẳng đứng của hình hộp lập phương, nên AA' vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt đáy (ABCD). Do đó, AA' vuông góc với BD. 2. Kiểm tra AA' và CB': - Đường thẳng CB' nằm trong mặt phẳng (ABB'A'). - Vì AA' là cạnh bên thẳng đứng của hình hộp lập phương, nên AA' vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABB'A'). Do đó, AA' vuông góc với CB'. 3. Kiểm tra AA' và CD: - Đường thẳng CD nằm trong mặt đáy (ABCD). - Vì AA' là cạnh bên thẳng đứng của hình hộp lập phương, nên AA' vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt đáy (ABCD). Do đó, AA' vuông góc với CD. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng AA' vuông góc với BD, CB' và CD. Tuy nhiên, theo yêu cầu của đề bài, ta cần tìm đường thẳng mà AA' không vuông góc. Do đó, đáp án đúng là: Không có đường thẳng nào trong các lựa chọn trên mà AA' không vuông góc. Tuy nhiên, nếu phải chọn một đáp án từ các lựa chọn đã cho, thì ta có thể chọn: Đáp án: D. CD (vì tất cả các đường thẳng đều vuông góc với AA', nhưng theo yêu cầu của đề bài, ta chọn một trong các lựa chọn đã cho). Đáp án: D. CD Câu 9. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các biến cố A và B trước, sau đó tìm giao của chúng. Biến cố A: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chia hết cho 3". - Các số chấm trên xúc xắc là 1, 2, 3, 4, 5, 6. - Các số chia hết cho 3 trong các số này là 3 và 6. Do đó, A = {3, 6}. Biến cố B: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chia hết cho 4". - Các số chấm trên xúc xắc là 1, 2, 3, 4, 5, 6. - Các số chia hết cho 4 trong các số này là 4. Do đó, B = {4}. Giao của hai biến cố A và B là tập hợp các phần tử thuộc cả A và B. - A = {3, 6} - B = {4} Như vậy, không có phần tử nào thuộc cả A và B, do đó: A ∩ B = {} Tuy nhiên, theo yêu cầu của đề bài, chúng ta cần tìm A ∪ B (hợp của A và B). Hợp của hai biến cố A và B là tập hợp các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A hoặc B. - A = {3, 6} - B = {4} Do đó, A ∪ B = {3, 4, 6} Vậy đáp án đúng là: D. A ∪ B = {3, 4, 6} Câu 10. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các biến cố A và B trước, sau đó tìm giao của chúng. Biến cố A: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chia hết cho 3". Các số chia hết cho 3 trong các mặt của xúc xắc là 3 và 6. Vậy biến cố A bao gồm các kết quả {3, 6}. Biến cố B: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chia hết cho 2". Các số chia hết cho 2 trong các mặt của xúc xắc là 2, 4 và 6. Vậy biến cố B bao gồm các kết quả {2, 4, 6}. Giao của hai biến cố A và B (A ∩ B) là tập hợp các kết quả thuộc cả hai biến cố A và B. Do đó, chúng ta cần tìm các số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chia hết cho cả 3 và 2. Các số chia hết cho cả 3 và 2 trong các mặt của xúc xắc là 6. Vậy biến cố A ∩ B bao gồm kết quả {6}. Do đó, biến cố A ∩ B là "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chia hết cho cả 3 và 2". Đáp án đúng là: D. A ∩ B: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chia hết cho cả 3 và 2". Câu 11. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ dựa vào công thức cộng xác suất cho hai biến cố A và B. Công thức này được áp dụng khi hai biến cố A và B có thể xảy ra cùng nhau hoặc riêng lẻ. Công thức cộng xác suất cho hai biến cố A và B là: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Trong đó: - \( P(A \cup B) \) là xác suất của biến cố A hoặc B xảy ra. - \( P(A) \) là xác suất của biến cố A xảy ra. - \( P(B) \) là xác suất của biến cố B xảy ra. - \( P(A \cap B) \) là xác suất của cả hai biến cố A và B xảy ra cùng nhau. So sánh với các lựa chọn đã cho: A. \( P(A \cup B) = P(A) + \widetilde{P}(B) - P(\overline{A}B) \) B. \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) + P(AB) \) C. \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \) D. \( P(A \cup B) = P(A) \cdot P(B) \) Chúng ta thấy rằng công thức đúng là: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{A} \] Câu 12. Để xác định các biến cố xung khắc, chúng ta cần hiểu rằng hai biến cố xung khắc là hai biến cố không thể xảy ra cùng một lúc. Cụ thể hơn, nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B không thể xảy ra và ngược lại. Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích từng lựa chọn: A. Biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A. Điều này không cung cấp đủ thông tin để xác định tính chất xung khắc của hai biến cố. B. Biến cố A và B đồng thời xảy ra. Điều này trái ngược với định nghĩa của biến cố xung khắc vì hai biến cố xung khắc không thể xảy ra cùng một lúc. C. \(A \cap B \neq \emptyset\). Điều này có nghĩa là có ít nhất một kết quả chung giữa hai biến cố A và B, do đó chúng có thể xảy ra cùng một lúc. Vì vậy, điều này cũng trái ngược với định nghĩa của biến cố xung khắc. D. Biến cố A và B không đồng thời xảy ra. Điều này đúng với định nghĩa của biến cố xung khắc, vì hai biến cố xung khắc không thể xảy ra cùng một lúc. Do đó, đáp án đúng là: D. Biến cố A và B không đồng thời xảy ra. Câu 13. Để tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \( y = \sin x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm cấp một của hàm số \( y = \sin x \): \[ y' = \cos x \] 2. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \( y = \sin x \) bằng cách lấy đạo hàm của đạo hàm cấp một: \[ y'' = (\cos x)' = -\sin x \] Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số \( y = \sin x \) là \( y'' = -\sin x \). Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~y = -\sin x. \] Câu 14. Biến cố "A hoặc B xảy ra" được gọi là biến cố hợp của A và B. Do đó, đáp án đúng là: C. Biến cố hợp của A và B. Câu 15. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $M_0(x_0; y_0)$ có dạng: \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] Trong đó: - $f'(x_0)$ là đạo hàm của hàm số $f(x)$ tính tại điểm $x = x_0$. - $(x_0, y_0)$ là tọa độ của điểm tiếp xúc trên đồ thị hàm số. Do đó, phương án đúng là: \[ C.~y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] Đáp án: C. \( y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \) Câu 16. Để tìm xác suất của biến cố \( AB \) (tức là cả hai biến cố \( A \) và \( B \) cùng xảy ra), ta sử dụng công thức xác suất của biến cố giao giữa hai biến cố độc lập: \[ P(AB) = P(A) \times P(B) \] Trong đó: - \( P(A) = 0,5 \) - \( P(B) = 0,4 \) Áp dụng công thức trên: \[ P(AB) = 0,5 \times 0,4 = 0,2 \] Vậy, xác suất của biến cố \( AB \) là 0,2. Đáp án đúng là: B. 0,2. Câu 17. Phương trình đã cho là: \[ 3^x = 9 \] Ta nhận thấy rằng 9 có thể viết dưới dạng lũy thừa của 3: \[ 9 = 3^2 \] Do đó, phương trình trở thành: \[ 3^x = 3^2 \] Khi hai lũy thừa có cùng cơ số, ta có thể so sánh các số mũ: \[ x = 2 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 2 \] Đáp án đúng là: B. \( x = 2 \) Câu 18. Để xác định đẳng thức nào là sai, chúng ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức theo các quy tắc về lũy thừa. A. \(a^\alpha a^\beta = a^{\alpha + \beta}\) Theo quy tắc lũy thừa, khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta cộng các指数，我们有： \[ a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha + \beta} \] 因此，选项 A 是正确的。 B. \((a^\alpha)^\beta = a^{\alpha \beta}\) 根据幂的乘方规则，当我们对一个幂再次取幂时，我们需要将指数相乘： \[ (a^\alpha)^\beta = a^{\alpha \beta} \] 因此，选项 B 是正确的。 C. \(\frac{a^\alpha}{a^\beta} = a^{\alpha - \beta}\) 根据幂的除法规则，当我们除以相同底数的幂时，我们需要从分子的指数中减去分母的指数： \[ \frac{a^\alpha}{a^\beta} = a^{\alpha - \beta} \] 因此，选项 C 是错误的。它应该是 \(a^{\alpha - \beta}\)，而不是 \(a^{\alpha + \beta}\)。 D. \(a^x \cdot a^y = a^{x + y}\) 根据幂的乘法规则，当我们乘以相同底数的幂时，我们需要将指数相加： \[ a^x \cdot a^y = a^{x + y} \] 因此，选项 D 是正确的。 综上所述，错误的等式是选项 C。 最终答案是：选项 C 是错误的。 Câu 19. Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \( y = f(x) = x^3 - 3x \) tại điểm có hoành độ \( x_0 = 2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x) = 3x^2 - 3 \] 2. Tính giá trị của đạo hàm tại điểm \( x_0 = 2 \): Thay \( x = 2 \) vào đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 3 \cdot 4 - 3 = 12 - 3 = 9 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x \) tại điểm có hoành độ \( x_0 = 2 \) là 9. Đáp án đúng là: C. 9. Câu 20. Để xác định hai mặt phẳng vuông góc với nhau, ta cần dựa vào định nghĩa và các tính chất liên quan đến hai mặt phẳng vuông góc. - A. Mặt phẳng này chứa một đường thẳng cắt với mặt phẳng kia: Điều này không đủ để khẳng định hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Hai mặt phẳng có thể cắt nhau theo nhiều hướng khác nhau, không nhất thiết phải vuông góc. - B. Mặt phẳng này chứa một đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng kia: Điều này cũng không đủ để khẳng định hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Hai mặt phẳng có thể chứa nhiều đường thẳng không vuông góc với nhau nhưng vẫn không phải là hai mặt phẳng vuông góc. - C. Mặt phẳng này chứa một đường thẳng song song với mặt phẳng kia: Điều này không đủ để khẳng định hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Hai mặt phẳng có thể chứa đường thẳng song song với nhau nhưng không nhất thiết phải vuông góc. - D. Mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia: Đây là điều kiện cần và đủ để khẳng định hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. Do đó, đáp án đúng là: D. mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Câu 21. Để xác định mệnh đề đúng về đạo hàm của thương hai hàm số \( u(x) \) và \( v(x) \), ta áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số. Công thức đạo hàm của thương hai hàm số \( u(x) \) và \( v(x) \) là: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0) \] Trong đó: - \( u' \) là đạo hàm của hàm số \( u(x) \) - \( v' \) là đạo hàm của hàm số \( v(x) \) Ta kiểm tra từng mệnh đề: A. \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v + uv'}{v^2} \quad (v \neq 0) \) - Đây là sai vì công thức đạo hàm của thương hai hàm số không bao gồm phép cộng giữa \( u'v \) và \( uv' \). B. \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v} \quad (v \neq 0) \) - Đây là sai vì mẫu số phải là \( v^2 \), không phải \( v \). C. \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0) \) - Đây là đúng vì đúng với công thức đạo hàm của thương hai hàm số. D. \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u^}{v^} \quad (v \neq 0) \) - Đây là sai vì không có ý nghĩa gì trong ngữ cảnh đạo hàm của thương hai hàm số. Vậy, mệnh đề đúng là: \[ C. \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0) \] Câu 22. Trước tiên, ta cần hiểu rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đó. Trong hình chóp S.ABC, ta có SC vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điều này có nghĩa là SC là đường cao hạ từ đỉnh S xuống mặt phẳng (ABC). Góc giữa SA và (ABC) là góc giữa SA và hình chiếu của SA lên (ABC). Hình chiếu của SA lên (ABC) là đoạn thẳng từ A đến chân đường cao hạ từ S xuống (ABC). Vì SC vuông góc với (ABC), nên hình chiếu của SA lên (ABC) sẽ là đoạn thẳng từ A đến giao điểm của SC với (ABC), tức là đoạn thẳng AC. Do đó, góc giữa SA và (ABC) chính là góc giữa SA và AC. Vậy đáp án đúng là: B. SA;CA Lập luận từng bước: 1. SC vuông góc với (ABC), do đó SC là đường cao hạ từ đỉnh S xuống mặt phẳng (ABC). 2. Góc giữa SA và (ABC) là góc giữa SA và hình chiếu của SA lên (ABC). 3. Hình chiếu của SA lên (ABC) là đoạn thẳng từ A đến giao điểm của SC với (ABC), tức là đoạn thẳng AC. 4. Do đó, góc giữa SA và (ABC) chính là góc giữa SA và AC. Đáp án: B. SA;CA