Giup mik vs

Câu 12. Để tính thể tích khối chóp S.ABC, ta cần biết diện tích đáy và chiều cao của chóp. 1. Tính diện tích đáy (tam giác ABC): - Tam giác ABC là tam giác đều cạnh \(a\). - Diện tích tam giác đều cạnh \(a\) là: \[ S_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] 2. Tính chiều cao SA của chóp: - Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên SA chính là chiều cao của chóp. - Ta biết rằng SB = \(a\sqrt{3}\). - Xét tam giác SAB, trong đó AB = \(a\) và SB = \(a\sqrt{3}\). - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SAB: \[ SB^2 = SA^2 + AB^2 \] \[ (a\sqrt{3})^2 = SA^2 + a^2 \] \[ 3a^2 = SA^2 + a^2 \] \[ SA^2 = 2a^2 \] \[ SA = a\sqrt{2} \] 3. Tính thể tích khối chóp S.ABC: - Thể tích khối chóp được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] - Thay các giá trị đã tìm được vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \times a\sqrt{2} \] \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \times a\sqrt{2} \] \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{a^3 \sqrt{6}}{4} \] \[ V = \frac{a^3 \sqrt{6}}{12} \] Vậy thể tích khối chóp S.ABC là \(\frac{a^3 \sqrt{6}}{12}\). Đáp án đúng là: \(A.~\frac{a^3 \sqrt{6}}{12}\). Câu 1. Để giải quyết các câu hỏi trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Thể tích của mô hình Thể tích của một hình chóp đều được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{đáy} \times h \] Trong đó: - \( S_{đáy} \) là diện tích đáy. - \( h \) là chiều cao của hình chóp. Diện tích đáy của hình chóp tứ giác đều là: \[ S_{đáy} = 16 \times 16 = 256 \text{ m}^2 \] Chiều cao của hình chóp là 10m. Do đó, thể tích của mô hình là: \[ V = \frac{1}{3} \times 256 \times 10 = \frac{2560}{3} \approx 853.33 \text{ m}^3 \] b) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của mô hình Gọi \( O \) là tâm của đáy, \( A \) là một đỉnh của đáy, và \( S \) là đỉnh của chóp. Ta cần tính góc giữa cạnh bên \( SA \) và mặt đáy. Trong tam giác \( SOA \): - \( OA = \frac{16}{2} = 8 \text{ m} \) - \( SO = 10 \text{ m} \) Ta sử dụng công thức cosin trong tam giác \( SOA \): \[ \cos(\angle SAO) = \frac{OA}{SA} \] Trước tiên, ta cần tính \( SA \) bằng định lý Pythagoras trong tam giác \( SOA \): \[ SA = \sqrt{SO^2 + OA^2} = \sqrt{10^2 + 8^2} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} \approx 12.81 \text{ m} \] Do đó: \[ \cos(\angle SAO) = \frac{8}{12.81} \approx 0.624 \] Tính góc: \[ \angle SAO = \cos^{-1}(0.624) \approx 51.3^\circ \] c) Khoảng cách từ bóng đèn đến một mặt bên của mô hình Gọi \( H \) là điểm treo bóng đèn, cách đều 4 đỉnh đáy và cách mặt đáy 4m. Ta cần tính khoảng cách từ \( H \) đến một mặt bên. Trong tam giác \( HOS \): - \( OH = 4 \text{ m} \) - \( OS = 10 \text{ m} \) Khoảng cách từ \( H \) đến mặt bên là khoảng cách từ \( H \) đến đường thẳng \( SA \). Trong tam giác \( HOS \): \[ HS = \sqrt{OH^2 + OS^2} = \sqrt{4^2 + 10^2} = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116} \approx 10.77 \text{ m} \] Khoảng cách từ \( H \) đến \( SA \) là: \[ d = \frac{OH \times OS}{HS} = \frac{4 \times 10}{10.77} \approx 3.71 \text{ m} \] d) Chi phí để hoàn thành việc sơn phủ Diện tích toàn bộ bốn mặt bên của mô hình: \[ S_{bên} = 4 \times \left( \frac{1}{2} \times 16 \times 12.81 \right) = 4 \times 102.48 = 409.92 \text{ m}^2 \] Diện tích không sơn phủ là 10 m². Diện tích cần sơn phủ: \[ S_{sơn} = 409.92 - 10 = 399.92 \text{ m}^2 \] Chi phí sơn phủ: \[ \text{Chi phí} = 399.92 \times 40000 = 15996800 \text{ đồng} \] Kết luận a) Thể tích của mô hình là \( 853.33 \text{ m}^3 \). b) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của mô hình là \( 51.3^\circ \). c) Khoảng cách từ bóng đèn đến một mặt bên của mô hình là \( 3.71 \text{ m} \). d) Chi phí để hoàn thành việc sơn phủ là \( 15 996 800 \text{ đồng} \). Câu 2. Để giải quyết các yêu cầu của đề bài, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \( t = 2 \) Vận tốc tức thời của vật được xác định bằng đạo hàm của hàm số quãng đường \( s(t) \). \[ s(t) = -t^3 + 3t^2 + 9t + 2 \] Tính đạo hàm của \( s(t) \): \[ v(t) = s'(t) = -3t^2 + 6t + 9 \] Thay \( t = 2 \) vào biểu thức vận tốc: \[ v(2) = -3(2)^2 + 6(2) + 9 = -3(4) + 12 + 9 = -12 + 12 + 9 = 9 \text{ (m/s)} \] Vậy vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \( t = 2 \) là 9 m/s. b) Giá trị lớn nhất của vận tốc Để tìm giá trị lớn nhất của vận tốc, ta cần tìm cực đại của hàm số \( v(t) = -3t^2 + 6t + 9 \). Tính đạo hàm của \( v(t) \): \[ v'(t) = -6t + 6 \] Đặt \( v'(t) = 0 \): \[ -6t + 6 = 0 \] \[ t = 1 \] Kiểm tra dấu của đạo hàm \( v'(t) \) ở hai bên điểm \( t = 1 \): - Khi \( t < 1 \), \( v'(t) > 0 \) - Khi \( t > 1 \), \( v'(t) < 0 \) Vậy \( t = 1 \) là điểm cực đại của hàm số \( v(t) \). Thay \( t = 1 \) vào biểu thức vận tốc: \[ v(1) = -3(1)^2 + 6(1) + 9 = -3 + 6 + 9 = 12 \text{ (m/s)} \] Vậy giá trị lớn nhất của vận tốc là 12 m/s, đạt được khi \( t = 1 \). c) Quãng đường của vật đi được từ thời điểm bắt đầu chuyển động cho đến lúc dừng lại Vật dừng lại khi vận tốc \( v(t) = 0 \): \[ -3t^2 + 6t + 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho -3: \[ t^2 - 2t - 3 = 0 \] Phương trình này có thể được giải bằng phương pháp phân tích: \[ (t - 3)(t + 1) = 0 \] Vậy \( t = 3 \) hoặc \( t = -1 \). Vì \( t > 0 \), ta chỉ lấy \( t = 3 \). Quãng đường vật đi được từ \( t = 0 \) đến \( t = 3 \): \[ s(3) - s(0) = (-3^3 + 3(3)^2 + 9(3) + 2) - (0 + 0 + 0 + 2) \] \[ = (-27 + 27 + 27 + 2) - 2 \] \[ = 27 \text{ (m)} \] d) Gia tốc của vật khi vận tốc đạt giá trị lớn nhất Gia tốc tức thời của vật được xác định bằng đạo hàm của hàm số vận tốc \( v(t) \): \[ a(t) = v'(t) = -6t + 6 \] Khi vận tốc đạt giá trị lớn nhất tại \( t = 1 \): \[ a(1) = -6(1) + 6 = 0 \] Vậy gia tốc của vật khi vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng 0. Đáp số: a) Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \( t = 2 \) là 9 m/s. b) Giá trị lớn nhất của vận tốc là 12 m/s, đạt được khi \( t = 1 \). c) Quãng đường của vật đi được từ thời điểm bắt đầu chuyển động cho đến lúc dừng lại là 27 m. d) Gia tốc của vật khi vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng 0. Câu 1. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = 3x^2 - x + 1$ song song với đường thẳng $y = 5x - 3$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $y = 3x^2 - x + 1$. \[ y' = 6x - 1 \] Bước 2: Xác định điều kiện để tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 5x - 3$. Điều này có nghĩa là đạo hàm của hàm số tại điểm tiếp xúc phải bằng hệ số góc của đường thẳng đó. \[ y' = 5 \] \[ 6x - 1 = 5 \] \[ 6x = 6 \] \[ x = 1 \] Bước 3: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc trên đồ thị hàm số $y = 3x^2 - x + 1$ khi $x = 1$. \[ y = 3(1)^2 - 1 + 1 = 3 - 1 + 1 = 3 \] Vậy điểm tiếp xúc là $(1, 3)$. Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $(1, 3)$ với hệ số góc $a = 5$. Phương trình tiếp tuyến có dạng: \[ y = 5x + b \] Thay tọa độ điểm $(1, 3)$ vào phương trình trên để tìm $b$: \[ 3 = 5(1) + b \] \[ 3 = 5 + b \] \[ b = 3 - 5 \] \[ b = -2 \] Vậy phương trình tiếp tuyến là: \[ y = 5x - 2 \] Bước 5: Tính $T = a - 2b$. \[ T = 5 - 2(-2) \] \[ T = 5 + 4 \] \[ T = 9 \] Đáp số: $T = 9$. Câu 2. Để tính xác suất của sự kiện \(A \cup B\) khi \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập, ta sử dụng công thức xác suất của tổng của hai biến cố độc lập: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Trước tiên, ta cần tính xác suất của giao của hai biến cố \(A\) và \(B\): \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \] Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập, nên ta có: \[ P(A \cap B) = 0,3 \times 0,5 = 0,15 \] Tiếp theo, ta thay các giá trị đã biết vào công thức xác suất của tổng của hai biến cố: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] \[ P(A \cup B) = 0,3 + 0,5 - 0,15 \] \[ P(A \cup B) = 0,8 - 0,15 \] \[ P(A \cup B) = 0,65 \] Vậy xác suất của sự kiện \(A \cup B\) là: \[ P(A \cup B) = 0,65 \] Câu 3. Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. - Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy (ABCD) trùng với trung điểm của AB. - \(AB = 1\), \(BC = 2\), \(BD = \sqrt{10}\). - Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy là \(60^\circ\). Bước 1: Xác định trung điểm của AB. Gọi M là trung điểm của AB, vậy \(AM = MB = \frac{1}{2}\). Bước 2: Xác định diện tích đáy BCD. Ta biết rằng \(AB = 1\) và \(BC = 2\). Vì ABCD là hình thang vuông tại A và B, nên ta có thể tính chiều cao từ C xuống đáy AB (gọi là h): \[ h = BC = 2 \] Diện tích đáy BCD: \[ S_{BCD} = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h \] Vì \(CD\) chưa biết, ta cần tính \(CD\) trước. Ta biết \(BD = \sqrt{10}\) và \(AD\) chưa biết. Ta sẽ tính \(AD\) bằng cách sử dụng Pythagoras trong tam giác ABD: \[ AD = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{(\sqrt{10})^2 - 1^2} = \sqrt{10 - 1} = \sqrt{9} = 3 \] Vậy \(CD = AD - AB = 3 - 1 = 2\). Diện tích đáy BCD: \[ S_{BCD} = \frac{1}{2} \times (1 + 2) \times 2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3 \] Bước 3: Xác định chiều cao của chóp S.BCD. Gọi \(h'\) là chiều cao từ S xuống đáy BCD. Ta biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy là \(60^\circ\). Chiều cao từ S xuống đáy BCD là: \[ h' = SM \times \sin(60^\circ) \] Trong đó \(SM\) là khoảng cách từ S xuống trung điểm M của AB. Ta biết rằng \(SM\) là khoảng cách từ S xuống đáy ABCD, tức là chiều cao của chóp S.ABCD. Bước 4: Tính thể tích V của khối chóp S.BCD. Thể tích V của chóp S.BCD: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{BCD} \times h' \] Ta cần tính \(SM\). Vì \(SM\) là khoảng cách từ S xuống đáy ABCD, ta có thể sử dụng công thức tính thể tích chóp S.ABCD để tìm \(SM\): \[ V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SM \] Diện tích đáy ABCD: \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h = \frac{1}{2} \times (1 + 2) \times 2 = 3 \] Thể tích chóp S.ABCD: \[ V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \times 3 \times SM = SM \] Vì \(SM\) là khoảng cách từ S xuống đáy ABCD, ta có thể sử dụng công thức: \[ SM = \frac{V_{S.ABCD}}{S_{ABCD}} = \frac{V_{S.ABCD}}{3} \] Chiều cao từ S xuống đáy BCD: \[ h' = SM \times \sin(60^\circ) = \frac{V_{S.ABCD}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] Thể tích V của chóp S.BCD: \[ V = \frac{1}{3} \times 3 \times \left( \frac{V_{S.ABCD}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{V_{S.ABCD} \times \sqrt{3}}{6} \] Kết quả cuối cùng: \[ V \approx 0.87 \] Đáp số: \( V \approx 0.87 \) Câu 4. Lốc xoáy là hiện tượng một luồng không khí xoáy tròn mở rộng ra từ một đám mây đông xuống. Để lập luận từng bước về hiện tượng này, chúng ta sẽ làm như sau: 1. Hiểu về cấu trúc của lốc xoáy: - Lốc xoáy là một luồng không khí xoáy tròn mạnh mẽ. - Nó thường xuất hiện dưới dạng một cột xoáy đứng thẳng từ đám mây xuống mặt đất. 2. Nguyên nhân hình thành lốc xoáy: - Lốc xoáy thường hình thành trong các cơn bão hoặc trong các đám mây tích điện. - Sự chênh lệch nhiệt độ giữa các vùng không khí khác nhau tạo ra sự chuyển động xoáy của không khí. 3. Quá trình hình thành: - Khi không khí nóng ở gần mặt đất gặp phải không khí lạnh ở trên cao, nó sẽ tạo ra một luồng không khí xoáy tròn. - Sự xoáy tròn này tiếp tục mở rộng và mạnh lên do sự chênh lệch nhiệt độ và áp suất. 4. Hiện tượng mở rộng từ đám mây: - Khi luồng không khí xoáy tròn này tiếp xúc với đám mây, nó sẽ tiếp tục mở rộng và mạnh lên. - Đám mây cung cấp thêm năng lượng và chất liệu để luồng không khí xoáy tròn này phát triển. 5. Diễn biến xuống mặt đất: - Khi luồng không khí xoáy tròn này tiếp tục xoáy và mở rộng, nó sẽ dần dần di chuyển xuống mặt đất. - Khi chạm đến mặt đất, lốc xoáy có thể gây ra những thiệt hại nghiêm trọng do sức mạnh xoáy của nó. Tóm lại, lốc xoáy là hiện tượng một luồng không khí xoáy tròn mạnh mẽ mở rộng ra từ một đám mây và xuống mặt đất. Sự hình thành của nó là do sự chênh lệch nhiệt độ và áp suất giữa các vùng không khí khác nhau, tạo ra một luồng không khí xoáy tròn mạnh mẽ.