helppppppppppp

Câu 1. Phương trình $\cos x = -\frac{1}{2}$ có nghiệm là các giá trị của $x$ sao cho $\cos x$ bằng $-\frac{1}{2}$. Ta biết rằng $\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$. Do đó, $\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ và $\cos \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$. Vậy phương trình $\cos x = -\frac{1}{2}$ có nghiệm là: \[ x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi \] Tổng hợp lại, ta có: \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi \] Câu 2. Để tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của một tam giác trong không gian. Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC với các đỉnh A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3), thì tọa độ của G sẽ là: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) \] Áp dụng vào bài toán này, ta có: - A(1, 2, -1) - B(2, -1, 3) - C(-3, 5, 1) Tọa độ của trọng tâm G sẽ là: \[ G\left(\frac{1 + 2 - 3}{3}, \frac{2 - 1 + 5}{3}, \frac{-1 + 3 + 1}{3}\right) \] Ta thực hiện các phép tính: \[ G\left(\frac{0}{3}, \frac{6}{3}, \frac{3}{3}\right) \] \[ G(0, 2, 1) \] Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là \( (0, 2, 1) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~(0;2;1) \] Câu 3. Để tìm giá trị cực đại của hàm số \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3ax^2 + 2bx + c \] 2. Xác định điểm cực đại: - Từ đồ thị, ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm \( x = -1 \). 3. Thay \( x = -1 \) vào đạo hàm để tìm giá trị của các hệ số: \[ y'(-1) = 3a(-1)^2 + 2b(-1) + c = 0 \] \[ 3a - 2b + c = 0 \quad \text{(1)} \] 4. Xác định giá trị của hàm số tại điểm cực đại: - Từ đồ thị, ta thấy khi \( x = -1 \), giá trị của hàm số là 3. \[ y(-1) = a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d = 3 \] \[ -a + b - c + d = 3 \quad \text{(2)} \] 5. Xác định giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu: - Từ đồ thị, ta thấy khi \( x = 1 \), giá trị của hàm số là -1. \[ y(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = -1 \] \[ a + b + c + d = -1 \quad \text{(3)} \] 6. Xác định đạo hàm tại điểm cực tiểu: - Từ đồ thị, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm \( x = 1 \). \[ y'(1) = 3a(1)^2 + 2b(1) + c = 0 \] \[ 3a + 2b + c = 0 \quad \text{(4)} \] 7. Giải hệ phương trình: Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 3a - 2b + c = 0 & \text{(1)} \\ -a + b - c + d = 3 & \text{(2)} \\ a + b + c + d = -1 & \text{(3)} \\ 3a + 2b + c = 0 & \text{(4)} \end{cases} \] Trừ phương trình (1) từ phương trình (4): \[ (3a + 2b + c) - (3a - 2b + c) = 0 \] \[ 4b = 0 \] \[ b = 0 \] Thay \( b = 0 \) vào phương trình (1): \[ 3a + c = 0 \] \[ c = -3a \] Thay \( b = 0 \) và \( c = -3a \) vào phương trình (2): \[ -a + (-3a) + d = 3 \] \[ -4a + d = 3 \quad \text{(5)} \] Thay \( b = 0 \) và \( c = -3a \) vào phương trình (3): \[ a + (-3a) + d = -1 \] \[ -2a + d = -1 \quad \text{(6)} \] Giải hệ phương trình (5) và (6): \[ \begin{cases} -4a + d = 3 \\ -2a + d = -1 \end{cases} \] Trừ phương trình (6) từ phương trình (5): \[ (-4a + d) - (-2a + d) = 3 - (-1) \] \[ -2a = 4 \] \[ a = -2 \] Thay \( a = -2 \) vào phương trình (6): \[ -2(-2) + d = -1 \] \[ 4 + d = -1 \] \[ d = -5 \] Vậy ta có \( a = -2 \), \( b = 0 \), \( c = 6 \), \( d = -5 \). 8. Kiểm tra lại giá trị cực đại: \[ y(-1) = -2(-1)^3 + 0(-1)^2 + 6(-1) - 5 = 2 - 6 - 5 = 3 \] Do đó, giá trị cực đại của hàm số là 3. Đáp án: B. 3 Câu 4. Để tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{-x + 1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của hàm số khi \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \): - Ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{x + 2}{-x + 1} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x + 2}{-x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{-1 + \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to \infty \), các phân số \(\frac{2}{x}\) và \(\frac{1}{x}\) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{1 + 0}{-1 + 0} = \frac{1}{-1} = -1 \] - Ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{x + 2}{-x + 1} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x + 2}{-x + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{-1 + \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to -\infty \), các phân số \(\frac{2}{x}\) và \(\frac{1}{x}\) cũng tiến đến 0: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{1 + 0}{-1 + 0} = \frac{1}{-1} = -1 \] 2. Kết luận: - Vì cả hai giới hạn khi \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \) đều bằng -1, nên đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \( y = -1 \). Vậy phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x + 2}{-x + 1} \) là \( y = -1 \). Đáp án đúng là D. Câu 5. Để tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu: - Nhóm đầu tiên là [8;11), có giá trị nhỏ nhất là 8. - Nhóm cuối cùng là [20;23), có giá trị lớn nhất là 23. 2. Tính khoảng biến thiên: - Khoảng biến thiên = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất - Khoảng biến thiên = 23 - 8 = 15 Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 15. Đáp án đúng là: C. 15. Câu 6. Để xác định đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho. Hàm số A: \( y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \) - Ta thấy rằng khi \( x = 1 \), mẫu số \( x - 1 = 0 \), do đó hàm số này không xác định tại \( x = 1 \). Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số này sẽ có đường thẳng \( x = 1 \) là đường tiệm cận đứng. Tuy nhiên, từ hình vẽ, ta thấy đồ thị không có đường thẳng \( x = 1 \) là đường tiệm cận đứng, nên hàm số này không đúng. Hàm số B: \( y = \frac{2x - 1}{x - 1} \) - Ta thấy rằng khi \( x = 1 \), mẫu số \( x - 1 = 0 \), do đó hàm số này không xác định tại \( x = 1 \). Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số này sẽ có đường thẳng \( x = 1 \) là đường tiệm cận đứng. Tuy nhiên, từ hình vẽ, ta thấy đồ thị không có đường thẳng \( x = 1 \) là đường tiệm cận đứng, nên hàm số này không đúng. Hàm số C: \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \) - Ta thấy rằng khi \( x = 1 \), mẫu số \( x - 1 = 0 \), do đó hàm số này không xác định tại \( x = 1 \). Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số này sẽ có đường thẳng \( x = 1 \) là đường tiệm cận đứng. Tuy nhiên, từ hình vẽ, ta thấy đồ thị không có đường thẳng \( x = 1 \) là đường tiệm cận đứng, nên hàm số này không đúng. Hàm số D: \( y = x^3 - 3x - 1 \) - Hàm số này là một hàm đa thức bậc ba, không có điểm bất kỳ làm cho mẫu số bằng 0, do đó nó xác định trên toàn bộ tập số thực. Đồ thị của hàm số này có dạng uốn lượn và có thể phù hợp với đường cong trong hình vẽ. Do đó, đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số \( y = x^3 - 3x - 1 \). Đáp án đúng là: D. \( y = x^3 - 3x - 1 \)