Giải chi tiết

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cho trước a) Tính giá trị của hàm số \( f(x) = -x^2 + 2 \ln x \) tại \( x = 1 \) và \( x = e \). - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = -(1)^2 + 2 \ln(1) = -1 + 2 \cdot 0 = -1 \] - Tại \( x = e \): \[ f(e) = -(e)^2 + 2 \ln(e) = -e^2 + 2 \cdot 1 = -e^2 + 2 \] Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số b) Đạo hàm của hàm số \( f(x) = -x^2 + 2 \ln x \) là: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2) + \frac{d}{dx}(2 \ln x) = -2x + \frac{2}{x} \] Bước 3: Xác định các điểm cực trị c) Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ f'(x) = -2x + \frac{2}{x} = 0 \] \[ -2x + \frac{2}{x} = 0 \] \[ \frac{-2x^2 + 2}{x} = 0 \] \[ -2x^2 + 2 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = 1 \quad \text{(vì } x > 0 \text{)} \] Bước 4: Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ \frac{1}{e}, e \right]\) d) Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \(\left[ \frac{1}{e}, e \right]\), chúng ta so sánh giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị. - Tại \( x = \frac{1}{e} \): \[ f\left( \frac{1}{e} \right) = -\left( \frac{1}{e} \right)^2 + 2 \ln \left( \frac{1}{e} \right) = -\frac{1}{e^2} + 2 \cdot (-1) = -\frac{1}{e^2} - 2 \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = -1 \] - Tại \( x = e \): \[ f(e) = -e^2 + 2 \] So sánh các giá trị: \[ f\left( \frac{1}{e} \right) = -\frac{1}{e^2} - 2 \approx -2.135 \] \[ f(1) = -1 \] \[ f(e) = -e^2 + 2 \approx -5.389 \] Trong các giá trị trên, giá trị nhỏ nhất là \( f(e) = -e^2 + 2 \). Kết luận Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = -x^2 + 2 \ln x \) trên đoạn \(\left[ \frac{1}{e}, e \right]\) là \( -e^2 + 2 \), đạt được khi \( x = e \).