Giúp mình với!

Câu 3: Để tìm góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$: Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số: \[ \frac{x+2}{1} = \frac{y-5}{2} = \frac{z}{-2} \] Từ đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \vec{u} = (1, 2, -2) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$: Mặt phẳng $(P)$ có phương trình: \[ 12y + 5z + 1 = 0 \] Từ đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là: \[ \vec{n} = (0, 12, 5) \] 3. Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$: Gọi $\theta$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$. Ta có: \[ \sin(\theta) = \cos(\alpha) \] trong đó $\alpha$ là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Ta tính $\cos(\alpha)$ bằng công thức: \[ \cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{|\vec{u}| |\vec{n}|} \] Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{n}$: \[ \vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 12 + (-2) \cdot 5 = 0 + 24 - 10 = 14 \] Tính độ dài của vectơ $\vec{u}$: \[ |\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] Tính độ dài của vectơ $\vec{n}$: \[ |\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 12^2 + 5^2} = \sqrt{0 + 144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \] Vậy: \[ \cos(\alpha) = \frac{14}{3 \cdot 13} = \frac{14}{39} \] Do đó: \[ \sin(\theta) = \cos(\alpha) = \frac{14}{39} \] Tính $\theta$: \[ \theta = \arcsin\left(\frac{14}{39}\right) \] Sử dụng máy tính để tìm giá trị của $\theta$: \[ \theta \approx 22^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ là khoảng 22 độ. Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm J. 2. Tìm tọa độ của điểm M. 3. Tính khoảng cách JM. Bước 1: Xác định tọa độ của điểm J. Điểm J là hình chiếu vuông góc của điểm I (20, 30, 10) lên mặt phẳng (P): z = 0. Do đó, tọa độ của điểm J là (20, 30, 0). Bước 2: Tìm tọa độ của điểm M. Điểm M nằm trên mặt cầu (S) và mặt phẳng (P). Mặt cầu (S) có phương trình: \[ (x - 20)^2 + (y - 30)^2 + (z - 10)^2 = 400 \] Mặt phẳng (P) có phương trình: \[ z = 0 \] Thay \(z = 0\) vào phương trình của mặt cầu (S): \[ (x - 20)^2 + (y - 30)^2 + (0 - 10)^2 = 400 \] \[ (x - 20)^2 + (y - 30)^2 + 100 = 400 \] \[ (x - 20)^2 + (y - 30)^2 = 300 \] Phương trình này mô tả một đường tròn tâm (20, 30) và bán kính \(r = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}\). Bước 3: Tính khoảng cách JM. Điểm M nằm trên đường tròn này, do đó khoảng cách từ J (20, 30, 0) đến M là bán kính của đường tròn này: \[ JM = 10\sqrt{3} \] Tính toán giá trị số: \[ 10\sqrt{3} \approx 10 \times 1.732 = 17.32 \] Vậy, độ dài đoạn thẳng JM là 17.32 mét. Đáp số: 17.32 mét. Câu 5: Để tính bán kính của mặt cầu (S), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (P): Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó, tâm mặt cầu \( I(1;1;0) \) và phương trình mặt phẳng \( (P): x + y + z + 1 = 0 \). Thay vào công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|1 + 1 + 0 + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \] 2. Áp dụng công thức liên quan đến bán kính của mặt cầu và bán kính của đường tròn giao tuyến: Bán kính của mặt cầu là \( R \). Bán kính của đường tròn giao tuyến là \( r = 1 \). Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là \( d = \sqrt{3} \). Theo công thức: \[ R^2 = d^2 + r^2 \] Thay các giá trị đã biết: \[ R^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4 \] Do đó: \[ R = \sqrt{4} = 2 \] Vậy bán kính của mặt cầu (S) là \( 2 \). Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của đường parabol biểu thị vận tốc của xe ô tô theo thời gian. 2. Tính quãng đường xe đã đi được trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 phút (khi xe tăng tốc). 3. Tính quãng đường xe đã đi được trong khoảng thời gian từ 5 đến 6 phút (khi xe chuyển động đều với vận tốc tối đa). 4. Tính tổng quãng đường xe đã đi được trong khoảng thời gian 10 phút đầu tiên. Bước 1: Xác định phương trình của đường parabol Biết rằng sau 5 phút xe đạt đến vận tốc cao nhất 1000 m/phút và bắt đầu giảm vận tốc, ta có thể giả sử phương trình vận tốc \( v(t) \) theo thời gian \( t \) có dạng: \[ v(t) = at^2 + bt + c \] Ta biết rằng: - Khi \( t = 0 \), \( v(0) = 0 \) (xe bắt đầu chuyển động từ nghỉ). - Khi \( t = 5 \), \( v(5) = 1000 \) m/phút. - Khi \( t = 6 \), \( v(6) = 1000 \) m/phút (xe chuyển động đều). Từ đó, ta có ba phương trình: 1. \( v(0) = c = 0 \) 2. \( v(5) = 25a + 5b + c = 1000 \) 3. \( v(6) = 36a + 6b + c = 1000 \) Thay \( c = 0 \) vào hai phương trình còn lại: \[ 25a + 5b = 1000 \] \[ 36a + 6b = 1000 \] Chia cả hai phương trình cho 5: \[ 5a + b = 200 \] \[ 6a + b = \frac{1000}{6} = 166.67 \] Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất: \[ (6a + b) - (5a + b) = 166.67 - 200 \] \[ a = -33.33 \] Thay \( a = -33.33 \) vào phương trình \( 5a + b = 200 \): \[ 5(-33.33) + b = 200 \] \[ -166.65 + b = 200 \] \[ b = 366.65 \] Vậy phương trình vận tốc là: \[ v(t) = -33.33t^2 + 366.65t \] Bước 2: Tính quãng đường xe đã đi được trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 phút Quãng đường \( s_1 \) xe đã đi được trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 phút là: \[ s_1 = \int_{0}^{5} v(t) \, dt = \int_{0}^{5} (-33.33t^2 + 366.65t) \, dt \] Tính tích phân: \[ s_1 = \left[ -\frac{33.33}{3}t^3 + \frac{366.65}{2}t^2 \right]_{0}^{5} \] \[ s_1 = \left[ -11.11t^3 + 183.325t^2 \right]_{0}^{5} \] \[ s_1 = \left( -11.11(5)^3 + 183.325(5)^2 \right) - \left( -11.11(0)^3 + 183.325(0)^2 \right) \] \[ s_1 = \left( -11.11 \times 125 + 183.325 \times 25 \right) \] \[ s_1 = \left( -1388.75 + 4583.125 \right) \] \[ s_1 = 3194.375 \text{ mét} \] Bước 3: Tính quãng đường xe đã đi được trong khoảng thời gian từ 5 đến 6 phút Quãng đường \( s_2 \) xe đã đi được trong khoảng thời gian từ 5 đến 6 phút là: \[ s_2 = v(5) \times (6 - 5) = 1000 \times 1 = 1000 \text{ mét} \] Bước 4: Tính tổng quãng đường xe đã đi được trong khoảng thời gian 10 phút đầu tiên Tổng quãng đường xe đã đi được trong khoảng thời gian 10 phút đầu tiên là: \[ s = s_1 + s_2 = 3194.375 + 1000 = 4194.375 \text{ mét} \] Vậy quãng đường xe đã đi được trong khoảng 10 phút đầu tiên là: \[ \boxed{4194.375 \text{ mét}} \]