Giải giúp mình câu 7 với câu 9

Bài tập 7: Để tìm quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến thời điểm vật đạt được vận tốc lớn nhất, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc của vật: Vận tốc \( v \) của vật là đạo hàm của quãng đường \( s \) theo thời gian \( t \): \[ v = \frac{ds}{dt} = -\frac{3}{2}t^2 + 6t \] 2. Tìm thời điểm vật đạt vận tốc lớn nhất: Để tìm thời điểm vật đạt vận tốc lớn nhất, chúng ta cần tìm đạo hàm của vận tốc \( v \) theo thời gian \( t \) và đặt nó bằng 0: \[ \frac{dv}{dt} = -3t + 6 \] Đặt \(\frac{dv}{dt} = 0\): \[ -3t + 6 = 0 \implies t = 2 \text{ (giây)} \] 3. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ 0 đến 2 giây: Thay \( t = 0 \) và \( t = 2 \) vào phương trình quãng đường \( s \): \[ s(0) = -\frac{1}{2}(0)^3 + 3(0)^2 + 20 = 20 \text{ (mét)} \] \[ s(2) = -\frac{1}{2}(2)^3 + 3(2)^2 + 20 = -\frac{1}{2}(8) + 3(4) + 20 = -4 + 12 + 20 = 28 \text{ (mét)} \] Quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến thời điểm vật đạt vận tốc lớn nhất là: \[ s(2) - s(0) = 28 - 20 = 8 \text{ (mét)} \] Vậy, quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động tới thời điểm vật đạt được vận tốc lớn nhất là 8 mét. Bài tập 8: Để tìm tốc độ tăng của chi phí sau 5 tháng, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm chi phí \( H(x) \) theo thời gian \( t \). Bước 1: Xác định hàm số \( H(x) \) và \( x(t) \): \[ H(x) = \sqrt{5x^2 + 60} \] \[ x(t) = 20t + 40 \] Bước 2: Thay \( x(t) \) vào \( H(x) \): \[ H(t) = \sqrt{5(20t + 40)^2 + 60} \] Bước 3: Tính đạo hàm của \( H(t) \) theo \( t \): \[ H'(t) = \frac{d}{dt} \left( \sqrt{5(20t + 40)^2 + 60} \right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp: \[ H'(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5(20t + 40)^2 + 60}} \cdot \frac{d}{dt} \left( 5(20t + 40)^2 + 60 \right) \] Tính đạo hàm của \( 5(20t + 40)^2 + 60 \): \[ \frac{d}{dt} \left( 5(20t + 40)^2 + 60 \right) = 5 \cdot 2 \cdot (20t + 40) \cdot 20 = 200 \cdot (20t + 40) \] Do đó: \[ H'(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5(20t + 40)^2 + 60}} \cdot 200 \cdot (20t + 40) \] \[ H'(t) = \frac{100 \cdot (20t + 40)}{\sqrt{5(20t + 40)^2 + 60}} \] Bước 4: Tính giá trị của \( H'(t) \) tại \( t = 5 \): \[ x(5) = 20 \cdot 5 + 40 = 140 \] \[ H'(5) = \frac{100 \cdot 140}{\sqrt{5 \cdot 140^2 + 60}} \] \[ H'(5) = \frac{14000}{\sqrt{5 \cdot 19600 + 60}} \] \[ H'(5) = \frac{14000}{\sqrt{98000 + 60}} \] \[ H'(5) = \frac{14000}{\sqrt{98060}} \] \[ H'(5) \approx \frac{14000}{313.14} \] \[ H'(5) \approx 44.71 \] Vậy tốc độ tăng của chi phí sau 5 tháng là khoảng 44.7 nghìn đô-la/tháng. Bài tập 9: Để xác định giá trị của tham số \( m \) biết rằng tại thời điểm \( t = 3 \) thì vận tốc tức thời của vật là 4,5 m/s, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc tức thời: - Vận tốc tức thời của vật là đạo hàm của quãng đường \( s(t) \) theo thời gian \( t \). - Ta có: \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 + mt + 10) \] - Tính đạo hàm: \[ v(t) = 2t + m \] 2. Thay thời điểm \( t = 3 \) vào công thức vận tốc tức thời: - Tại thời điểm \( t = 3 \), vận tốc tức thời là: \[ v(3) = 2 \cdot 3 + m = 6 + m \] 3. Biết rằng vận tốc tức thời tại thời điểm \( t = 3 \) là 4,5 m/s: - Ta có phương trình: \[ 6 + m = 4,5 \] 4. Giải phương trình để tìm giá trị của \( m \): - Trừ 6 từ cả hai vế: \[ m = 4,5 - 6 \] - Kết quả: \[ m = -1,5 \] Vậy giá trị của tham số \( m \) là \(-1,5\). Đáp số: \( m = -1,5 \)