Toán lớp 11

Câu 10. Trước tiên, ta xác định cạnh của hình lập phương. Biết rằng đường chéo mặt của hình lập phương là $AC = \sqrt{3}$, ta có thể suy ra cạnh của hình lập phương. Gọi cạnh của hình lập phương là $a$. Đường chéo mặt của hình lập phương là $a\sqrt{2}$. Do đó: \[ a\sqrt{2} = \sqrt{3} \] \[ a = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \] Tiếp theo, ta xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BC'. Ta nhận thấy rằng AB' và BC' là hai đường thẳng chéo nhau trong hình lập phương. Để tìm khoảng cách giữa chúng, ta có thể sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB' và BC' có thể được tính bằng cách sử dụng công thức: \[ d = \frac{|(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}|}{|\vec{u} \times \vec{v}|} \] Trong đó: - $\vec{u}$ là vectơ chỉ hướng của đường thẳng AB'. - $\vec{v}$ là vectơ chỉ hướng của đường thẳng BC'. - $\vec{w}$ là vectơ nối một điểm trên đường thẳng AB' với một điểm trên đường thẳng BC'. Ta chọn các điểm A, B', C' và B như sau: - $\vec{AB'} = (0, a, a)$ - $\vec{BC'} = (-a, 0, a)$ - $\vec{BA} = (a, 0, 0)$ Tính tích vector $\vec{u} \times \vec{v}$: \[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & a \\ -a & 0 & a \end{vmatrix} = (a^2, a^2, a^2) \] Tính độ dài của $\vec{u} \times \vec{v}$: \[ |\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(a^2)^2 + (a^2)^2 + (a^2)^2} = \sqrt{3a^4} = a^2\sqrt{3} \] Tính $\vec{w} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$: \[ \vec{w} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (a, 0, 0) \cdot (a^2, a^2, a^2) = a \cdot a^2 = a^3 \] Cuối cùng, ta tính khoảng cách: \[ d = \frac{|a^3|}{a^2\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BC' là $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Đáp án đúng là: $\textcircled{B.}\frac{\sqrt{3}}{3}$. Câu 11. a) $\frac{1}{3^{x}}=4$ $\Rightarrow 3^{x}=\frac{1}{4}$ $\Rightarrow x=\log _{3}\left(\frac{1}{4}\right)$ b) $2^{x-3x}=4$ $\Rightarrow 2^{-2x}=2^{2}$ $\Rightarrow -2x=2$ $\Rightarrow x=-1$ c) $\log _{4}(x+1)+\log _{4}(x-3)=3$ Điều kiện: $x+1>0$ và $x-3>0 \Rightarrow x>3$ $\log _{4}[(x+1)(x-3)]=3$ $(x+1)(x-3)=4^{3}$ $x^{2}-2x-3=64$ $x^{2}-2x-67=0$ Giải phương trình này ta được hai nghiệm: $x_{1}=1+\sqrt{68}$ và $x_{2}=1-\sqrt{68}$ Tuy nhiên, chỉ có $x=1+\sqrt{68}$ thỏa mãn điều kiện $x>3$, nên đó là nghiệm duy nhất của phương trình. d) $(\frac{1}{5})^{x-25}\geq \frac{1}{125}$ $\Rightarrow (\frac{1}{5})^{x-25}\geq (\frac{1}{5})^{3}$ $\Rightarrow x-25\leq 3$ $\Rightarrow x\leq 28$ e) $(2-\sqrt{3})^{x}\leq (2+\sqrt{3})^{-2}$ $\Rightarrow (2-\sqrt{3})^{x}\leq \frac{1}{(2+\sqrt{3})^{2}}$ $\Rightarrow (2-\sqrt{3})^{x}\leq \frac{1}{7+4\sqrt{3}}$ $\Rightarrow (2-\sqrt{3})^{x}\leq (2-\sqrt{3})^{2}$ $\Rightarrow x\geq 2$ f) $\log (3x^{2}+1)>\log (4x)$ Điều kiện: $3x^{2}+1>0$ và $4x>0 \Rightarrow x>0$ $\log (3x^{2}+1)>\log (4x)$ $\Rightarrow 3x^{2}+1>4x$ $\Rightarrow 3x^{2}-4x+1>0$ Giải bất phương trình này ta được hai khoảng: $x< \frac{1}{3}$ hoặc $x>1$ Tuy nhiên, chỉ có $x>1$ thỏa mãn điều kiện $x>0$, nên đó là tập nghiệm của bất phương trình. Câu 12. a) Tính độ pH của một dung dịch có nồng độ ion hydrogen là 0,1 mol/lit. Độ pH của dung dịch được tính theo công thức: \[ pH = -\log[H^+] \] Trong đó, [H^+] là nồng độ của ion hydrogen. Thay giá trị nồng độ ion hydrogen vào công thức: \[ pH = -\log(0,1) \] \[ pH = -(-1) \] \[ pH = 1 \] Vậy độ pH của dung dịch là 1. b) Độ pH sẽ biến đổi như thế nào nếu nồng độ ion hydrogen giảm? Nếu nồng độ ion hydrogen giảm, thì giá trị của \(\log[H^+]\) cũng sẽ giảm. Do đó, giá trị của \(-\log[H^+]\) sẽ tăng lên. Kết quả là độ pH của dung dịch sẽ tăng lên. c) Xác định nồng độ ion hydrogen trong bia biết độ pH của bia là khoảng 4,5. Ta có công thức: \[ pH = -\log[H^+] \] Thay giá trị độ pH của bia vào công thức: \[ 4,5 = -\log[H^+] \] Để tìm [H^+], ta thực hiện phép tính: \[ \log[H^+] = -4,5 \] \[ [H^+] = 10^{-4,5} \] Tính giá trị của \(10^{-4,5}\): \[ [H^+] = 10^{-4,5} = 10^{-4} \times 10^{-0,5} = 0,0001 \times \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0,0001 \times 0,3162 \approx 0,00003162 \] Vậy nồng độ ion hydrogen trong bia là khoảng \(0,00003162\) mol/lit. Đáp số: a) Độ pH của dung dịch là 1. b) Độ pH sẽ tăng lên nếu nồng độ ion hydrogen giảm. c) Nồng độ ion hydrogen trong bia là khoảng \(0,00003162\) mol/lit. Câu 13. a) Ta có $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Lại có $ABCD$ là hình thoi nên $AC\perp BD$. Do đó $BD\perp (SAC)$ suy ra $BD\perp SC$. b) Gọi $O=AC\cap BD$. Vì $BD\perp (SAC)$ nên khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$ bằng khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$. Diện tích tam giác $SBD=\frac{1}{2}BD.SA=\frac{1}{2}.a.a=\frac{a^2}{2}$. Diện tích tam giác $SBC=\frac{1}{2}BC.S_{B}=\frac{1}{2}.a.\sqrt{3}a=\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$. Gọi $d$ là khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$. Thể tích khối chóp $SBCD=\frac{1}{3}.S_{SBD}.d=\frac{1}{3}.S_{SBC}.SA$. Suy ra $d=\frac{S_{SBC}.SA}{S_{SBD}}=\frac{\frac{\sqrt{3}a^2}{2}.a}{\frac{a^2}{2}}=\sqrt{3}a$. Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$ là $\sqrt{3}a$. Câu 14. a) Ta có $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp BD.$ Mặt khác, ABCD là hình chữ nhật nên $AC\perp BD.$ Do đó $BD\perp (SAC).$ Mà $SM\subset (SAC)$ nên $BD\perp SM.$ Lại có M là trung điểm của CD nên $DM=CM=\frac{a}{2}.$ Ta có $SD^{2}=SA^{2}+AD^{2}=4a^{2},$ $SM^{2}=SA^{2}+AM^{2}=3a^{2}.$ Do đó $SD^{2}=SM^{2}+DM^{2}\Rightarrow \angle SMD=90^{\circ}\Rightarrow SM\perp MD.$ Mà $BD\cap DM=D$ nên $SM\perp (BDM).$ b) Diện tích tam giác ABM là $\frac{1}{2}\times AB\times DM=\frac{1}{2}\times a\sqrt{2}\times \frac{a}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{2}}{4}.$ Thể tích khối chóp S.ABMD là $\frac{1}{3}\times SA\times S_{ABM}=\frac{1}{3}\times a\sqrt{3}\times \frac{a^{2}\sqrt{2}}{4}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{12}.$ Câu 1. Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = x^3 + x - 2 \) tại điểm \( x_1 = -2 \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( y = x^3 + x - 2 \). Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và công thức đạo hàm của lũy thừa: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(2) \] \[ y' = 3x^2 + 1 \] Bước 2: Thay \( x = -2 \) vào biểu thức đạo hàm \( y' \): \[ y'(-2) = 3(-2)^2 + 1 \] \[ y'(-2) = 3 \cdot 4 + 1 \] \[ y'(-2) = 12 + 1 \] \[ y'(-2) = 13 \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = x^3 + x - 2 \) tại điểm \( x_1 = -2 \) là 13. Đáp án đúng là: A. 13. Câu 2. Để tìm đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{2x + 1}$ tại điểm $x = 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta có $y = \sqrt{2x + 1}$. Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số căn bậc hai: \[ y' = \frac{d}{dx}(\sqrt{2x + 1}) = \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}} \cdot \frac{d}{dx}(2x + 1) \] Ta biết rằng $\frac{d}{dx}(2x + 1) = 2$, do đó: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \] 2. Thay giá trị $x = 1$ vào đạo hàm: Thay $x = 1$ vào biểu thức đạo hàm đã tìm được: \[ y'(1) = \frac{1}{\sqrt{2(1) + 1}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] 3. Kiểm tra đáp án: Đáp án đúng là $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, đáp án này không xuất hiện. Do đó, ta cần kiểm tra lại các lựa chọn đã cho để đảm bảo không có lỗi nào. Như vậy, đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{2x + 1}$ tại điểm $x = 1$ là $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, đáp án này không xuất hiện. Câu 3. Để tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) = ax + b \), ta áp dụng công thức đạo hàm của tổng và hằng số nhân với biến. 1. Đạo hàm của \( ax \): \[ \frac{d}{dx}(ax) = a \] 2. Đạo hàm của hằng số \( b \): \[ \frac{d}{dx}(b) = 0 \] Do đó, đạo hàm của hàm số \( f(x) = ax + b \) là: \[ f'(x) = a + 0 = a \] Vậy đáp án đúng là: \[ \Delta.~f^\prime(x) = a \] Đáp án: \(\Delta.~f^\prime(x) = a\) Câu 4. Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x - 1} \), ta sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số. Công thức đạo hàm của thương hai hàm số \( f(x) \) và \( g(x) \) là: \[ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \] Trong đó: - \( f(x) = 2x + 1 \) - \( g(x) = x - 1 \) Tính đạo hàm của \( f(x) \) và \( g(x) \): - \( f'(x) = 2 \) - \( g'(x) = 1 \) Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(2)(x - 1) - (2x + 1)(1)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x - 2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-3}{(x - 1)^2} \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x - 1} \) là: \[ y' = -\frac{3}{(x - 1)^2} \] Đáp án đúng là: \( C.~y' = -\frac{3}{(x - 1)^2} \). Câu 5. Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2 + x}{x - 2} \) tại điểm \( x = 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2 + x}{x - 2} \). Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \): - Gọi \( u = x^2 + x \) và \( v = x - 2 \). - Tính đạo hàm của \( u \) và \( v \): \[ u' = (x^2 + x)' = 2x + 1 \] \[ v' = (x - 2)' = 1 \] - Áp dụng công thức đạo hàm của thương: \[ y' = \left( \frac{x^2 + x}{x - 2} \right)' = \frac{(2x + 1)(x - 2) - (x^2 + x)(1)}{(x - 2)^2} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức đạo hàm. \[ y' = \frac{(2x + 1)(x - 2) - (x^2 + x)}{(x - 2)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 4x + x - 2 - x^2 - x}{(x - 2)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - x^2 - 4x + x - x - 2}{(x - 2)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 4x - 2}{(x - 2)^2} \] Bước 3: Thay \( x = 1 \) vào biểu thức đạo hàm để tìm giá trị đạo hàm tại điểm đó. \[ y'(1) = \frac{1^2 - 4 \cdot 1 - 2}{(1 - 2)^2} \] \[ y'(1) = \frac{1 - 4 - 2}{(-1)^2} \] \[ y'(1) = \frac{-5}{1} \] \[ y'(1) = -5 \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2 + x}{x - 2} \) tại điểm \( x = 1 \) là \(-5\).