ùodoodososppdldkjdj

Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x + y = 4 \\ 3x - y = 11\end{array}\right.$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định phương pháp giải. Ta sẽ sử dụng phương pháp cộng trừ để giải hệ phương trình này. Bước 2: Cộng hai phương trình lại với nhau để loại bỏ biến $y$. \[ (2x + y) + (3x - y) = 4 + 11 \] \[ 2x + 3x + y - y = 15 \] \[ 5x = 15 \] Bước 3: Giải phương trình $5x = 15$ để tìm giá trị của $x$. \[ x = \frac{15}{5} \] \[ x = 3 \] Bước 4: Thay giá trị của $x$ vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm giá trị của $y$. Ta chọn phương trình $2x + y = 4$. \[ 2(3) + y = 4 \] \[ 6 + y = 4 \] \[ y = 4 - 6 \] \[ y = -2 \] Bước 5: Kiểm tra lại kết quả bằng cách thay giá trị của $x$ và $y$ vào phương trình còn lại. Thay $x = 3$ và $y = -2$ vào phương trình $3x - y = 11$: \[ 3(3) - (-2) = 11 \] \[ 9 + 2 = 11 \] \[ 11 = 11 \] Phương trình đúng, vậy kết quả đã tìm được là đúng. Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (3, -2)$. Đáp số: $(x, y) = (3, -2)$. Câu 2 a) Thay $m=-3$ vào phương trình (1), ta được: \[ x^2 - 2(-3 + 1)x + 6(-3) - 3 = 0 \] \[ x^2 + 4x - 18 - 3 = 0 \] \[ x^2 + 4x - 21 = 0 \] Phương trình này có dạng $ax^2 + bx + c = 0$, với $a = 1$, $b = 4$, $c = -21$. Ta tính $\Delta$: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \] Vì $\Delta > 0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 10}{2} \] Do đó: \[ x_1 = \frac{-4 + 10}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-4 - 10}{2} = -7 \] Vậy nghiệm của phương trình là $x = 3$ hoặc $x = -7$. b) Để phương trình $x^2 - 2(m+1)x + 6m - 3 = 0$ có nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $(x_1 - 1)(x_2 - 1) = 19$, ta thực hiện các bước sau: Theo định lý Vi-et, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2(m + 1) \] \[ x_1 x_2 = 6m - 3 \] Ta cần tìm $m$ sao cho: \[ (x_1 - 1)(x_2 - 1) = 19 \] Mở rộng biểu thức: \[ (x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1 x_2 - (x_1 + x_2) + 1 \] Thay các giá trị theo định lý Vi-et: \[ 6m - 3 - 2(m + 1) + 1 = 19 \] \[ 6m - 3 - 2m - 2 + 1 = 19 \] \[ 4m - 4 = 19 \] \[ 4m = 23 \] \[ m = \frac{23}{4} \] Vậy giá trị của $m$ là $\frac{23}{4}$. Câu 3 Điều kiện xác định: \( x > 0; x \neq 1 \). a) Rút gọn biểu thức \( A \): \[ A = \left( \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)^2} \] Chúng ta sẽ thực hiện phép cộng các phân thức trong ngoặc trước: \[ \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \] Quy đồng mẫu số chung: \[ = \frac{\sqrt{x} - 1 + x - \sqrt{x}}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} = \frac{x - 1}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} \] Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện phép chia: \[ A = \frac{x - 1}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} \times \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{\sqrt{x} + 1} \] Rút gọn biểu thức: \[ = \frac{x - 1}{(x - \sqrt{x})} \times \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \] \[ = \frac{(x - 1)(\sqrt{x} - 1)}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{(x - 1)(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x}(x - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{\sqrt{x} - 1}{x + \sqrt{x}} \] b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = A - 9\sqrt{x} \): \[ P = \frac{\sqrt{x} - 1}{x + \sqrt{x}} - 9\sqrt{x} \] Chúng ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của \( P \) bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ \frac{\sqrt{x} - 1}{x + \sqrt{x}} \leq \frac{1}{4} \] Do đó: \[ P \leq \frac{1}{4} - 9\sqrt{x} \] Giá trị lớn nhất của \( P \) đạt được khi \( \sqrt{x} = \frac{1}{2} \): \[ P_{max} = \frac{1}{4} - 9 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{9}{2} = \frac{1}{4} - \frac{18}{4} = -\frac{17}{4} \] Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( P \) là \( -\frac{17}{4} \), đạt được khi \( x = \frac{1}{4} \). Đáp số: \( P_{max} = -\frac{17}{4} \) khi \( x = \frac{1}{4} \). Câu 4 a) Biểu thức tổng chi phí thuê pin hàng tháng theo số km trung bình mỗi ngày x cho từng phương án: - Phương án 1: \( y_1 = 1500000 \) (đồng) - Phương án 2: \( y_2 = 500000 + 800 \times 30 \times x = 500000 + 24000x \) (đồng) b) Nếu anh Nam đi trung bình 70 km/ngày, ta thay \( x = 70 \) vào các biểu thức trên: - Chi phí cho phương án 1: \( y_1 = 1500000 \) (đồng) - Chi phí cho phương án 2: \( y_2 = 500000 + 24000 \times 70 = 500000 + 1680000 = 2180000 \) (đồng) So sánh hai chi phí: - \( y_1 = 1500000 \) (đồng) - \( y_2 = 2180000 \) (đồng) Vì \( 1500000 < 2180000 \), nên anh Nam nên chọn phương án 1 để tiết kiệm chi phí. Đáp số: Anh Nam nên chọn phương án 1. Câu 5 a) Ta có $\widehat{CID}=\widehat{CIE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CE) Mà $\widehat{CID}=\widehat{OED}$ (cùng phụ với $\widehat{COD})$ Nên $\widehat{CIE}=\widehat{OED}$ Suy ra O, I, E, D cùng thuộc một đường tròn. b) Ta có $\widehat{AEB}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\widehat{EAD}=\widehat{ECD}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung ED) Mà $\widehat{ECD}=\widehat{OED}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung OE) Nên $\widehat{EAD}=\widehat{OED}$ Từ đó ta có $\triangle AHE \sim \triangle DOE$ (g.g) Suy ra $\frac{AH}{DO}=\frac{AE}{DE}$ Hay $AH.DE=DO.AE$ Mà DO = R, DE = 2R Nên $AH.2R=R.AE$ Hay $AH.AE=2R^2$ Ta có $\widehat{AHE}=\widehat{ODE}=90^{\circ}$ Nên $\frac{OH}{OD}=\frac{HE}{DE}$ Mà HE = DE - DH Nên $\frac{OH}{OD}=\frac{DE-DH}{DE}$ Hay $\frac{OH}{OD}=1-\frac{DH}{DE}$ Mà $\triangle AHE \sim \triangle DOE$ Nên $\frac{DH}{DE}=\frac{AH}{DO}$ Hay $\frac{DH}{DE}=\frac{2R^2}{DO^2}$ Thay vào ta được: $\frac{OH}{OD}=1-\frac{2R^2}{DO^2}$ Hay $\frac{OH}{OD}=\frac{DO^2-2R^2}{DO^2}$ Mà DO = R Nên $\frac{OH}{OD}=\frac{R^2-2R^2}{R^2}$ Hay $\frac{OH}{OD}=\frac{-R^2}{R^2}$ Hay $\frac{OH}{OD}=\frac{1}{3}$ Suy ra $OA=3.OH$ c) Ta có $\widehat{QBD}=\widehat{QAD}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung QD) Mà $\widehat{QAD}=\widehat{QBD}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BD) Nên $\widehat{QBD}=\widehat{QBD}$ Suy ra Q, K, I thẳng hàng. Câu 6 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp biến đổi hình học và sử dụng các kiến thức về tam giác và tỉ lệ. Bước 1: Xác định các đại lượng đã biết và cần tìm. - Vận tốc của ô tô: 10 m/s. - Khoảng cách từ B đến đường: BH = 50 m. - Khoảng cách ban đầu giữa người và ô tô: AB = 200 m. - Cần tìm vận tốc tối thiểu của người và góc hướng chạy của người. Bước 2: Biến đổi hình học. - Khi người bắt đầu chạy, ô tô vẫn tiếp tục di chuyển với vận tốc 10 m/s. - Để người có thể đón được ô tô, khoảng cách giữa người và ô tô phải giảm dần và cuối cùng bằng không. Bước 3: Xây dựng mô hình toán học. - Giả sử người chạy với vận tốc v và hướng chạy tạo với AB một góc $\alpha$. - Khi người bắt đầu chạy, ô tô cũng tiếp tục di chuyển. Ta giả sử sau một khoảng thời gian t, người và ô tô gặp nhau tại điểm D trên đường thẳng AC. - Khoảng cách người chạy được trong thời gian t là vt. - Khoảng cách ô tô chạy được trong thời gian t là 10t. Bước 4: Áp dụng định lý Pythagoras. - Trong tam giác ABD, ta có: \[ AD^2 = AB^2 + BD^2 \] - Trong tam giác BHD, ta có: \[ BD^2 = BH^2 + HD^2 \] Bước 5: Kết hợp các phương trình. - Vì người và ô tô gặp nhau tại điểm D, nên: \[ AD = 10t \] \[ BD = vt \] - Thay vào phương trình Pythagoras: \[ (10t)^2 = 200^2 + (vt)^2 \] \[ 100t^2 = 40000 + v^2t^2 \] \[ 100t^2 - v^2t^2 = 40000 \] \[ t^2(100 - v^2) = 40000 \] \[ t^2 = \frac{40000}{100 - v^2} \] Bước 6: Xác định vận tốc tối thiểu của người. - Để người có thể đón được ô tô, khoảng cách người chạy được phải đủ lớn để bù đắp khoảng cách ô tô chạy được. - Do đó, vận tốc tối thiểu của người phải thỏa mãn: \[ v \geq 10 \text{ m/s} \] Bước 7: Xác định góc hướng chạy của người. - Góc hướng chạy của người tạo với AB là góc $\alpha$. - Ta có: \[ \sin \alpha = \frac{BH}{AB} = \frac{50}{200} = \frac{1}{4} \] \[ \alpha = \arcsin \left( \frac{1}{4} \right) \] Kết luận: - Vận tốc tối thiểu của người là 10 m/s. - Hướng chạy của người tạo với AB góc $\alpha = \arcsin \left( \frac{1}{4} \right)$. Đáp số: Vận tốc tối thiểu của người là 10 m/s và hướng chạy của người tạo với AB góc $\alpha = \arcsin \left( \frac{1}{4} \right)$. Câu 1. Để tìm điều kiện xác định của biểu thức \( P(x) = \frac{1}{\sqrt{x} - 2025} \), chúng ta cần đảm bảo rằng: 1. Phần tử dưới dấu căn phải lớn hơn hoặc bằng 0. 2. Biểu thức ở mẫu số phải khác 0. Bước 1: Xác định điều kiện để phần tử dưới dấu căn lớn hơn hoặc bằng 0. \[ x \geq 0 \] Bước 2: Xác định điều kiện để mẫu số khác 0. \[ \sqrt{x} - 2025 \neq 0 \] \[ \sqrt{x} \neq 2025 \] \[ x \neq 2025^2 \] \[ x \neq 4100625 \] Tuy nhiên, do \( x \geq 0 \), nên \( x \neq 4100625 \) không ảnh hưởng đến điều kiện \( x \geq 0 \). Do đó, điều kiện xác định của biểu thức \( P(x) \) là: \[ x > 2025 \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~x > 2025 \]