Cứu e với ạ

Câu 2. Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên các tính chất và phương pháp đã học. Khẳng định a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-3x+2$ và $y=x-1$ là $\int^3_0(-x^2+4x-3)dx$. Phương pháp: - Tìm giao điểm của hai đồ thị để xác định khoảng tích phân. - Tính diện tích bằng cách lấy tích phân của hiệu giữa hai hàm số từ giao điểm này đến giao điểm khác. Bước 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị: \[ x^2 - 3x + 2 = x - 1 \] \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] \[ (x-1)(x-3) = 0 \] Giao điểm là $x = 1$ và $x = 3$. Bước 2: Tính diện tích: \[ S = \int_{1}^{3} [(x-1) - (x^2 - 3x + 2)] \, dx \] \[ S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx \] Do đó, khẳng định a) là đúng. Khẳng định b) $S_1 = \frac{5}{3}$ Phương pháp: - Tính diện tích $S_1$ bằng cách lấy tích phân từ $x = 0$ đến $x = 1$. Bước 1: Tính diện tích $S_1$: \[ S_1 = \int_{0}^{1} [(x-1) - (x^2 - 3x + 2)] \, dx \] \[ S_1 = \int_{0}^{1} (-x^2 + 4x - 3) \, dx \] \[ S_1 = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{0}^{1} \] \[ S_1 = \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) - (0) \] \[ S_1 = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3} \] Do đó, khẳng định b) là sai. Khẳng định c) $S_1 = S_2$ Phương pháp: - Tính diện tích $S_2$ bằng cách lấy tích phân từ $x = 1$ đến $x = 3$. Bước 1: Tính diện tích $S_2$: \[ S_2 = \int_{1}^{3} [(x-1) - (x^2 - 3x + 2)] \, dx \] \[ S_2 = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx \] \[ S_2 = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{1}^{3} \] \[ S_2 = \left( -\frac{27}{3} + 18 - 9 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) \] \[ S_2 = (0) - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} \] Do đó, khẳng định c) là sai vì $S_1 \neq S_2$. Khẳng định d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-3x+2$, $y=x-1$, $x=0$, $x=3$ bằng $\frac{8}{3}$. Phương pháp: - Tính tổng diện tích từ $x = 0$ đến $x = 3$. Bước 1: Tính tổng diện tích: \[ S = \int_{0}^{3} [(x-1) - (x^2 - 3x + 2)] \, dx \] \[ S = \int_{0}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx \] \[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{0}^{3} \] \[ S = \left( -\frac{27}{3} + 18 - 9 \right) - (0) \] \[ S = 0 \] Do đó, khẳng định d) là sai. Kết luận - Khẳng định a) là đúng. - Khẳng định b) là sai. - Khẳng định c) là sai. - Khẳng định d) là sai. Câu 1. Để tìm khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng phát ra từ các điểm $I_1$ và $I_2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tâm và bán kính của mỗi mặt cầu: - Mặt cầu $(S_1)$ có phương trình $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 = 9$. - Tâm của $(S_1)$ là $I_1(1, 2, -1)$. - Bán kính của $(S_1)$ là $r_1 = \sqrt{9} = 3$ km. - Mặt cầu $(S_2)$ có phương trình $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z + 10 = 0$. - Ta viết lại phương trình dưới dạng chuẩn: \[ (x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + (z^2 - 6z) + 10 = 0 \] \[ (x-1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 + (z-3)^2 - 9 + 10 = 0 \] \[ (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 - 4 = 0 \] \[ (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 4 \] - Tâm của $(S_2)$ là $I_2(1, 2, 3)$. - Bán kính của $(S_2)$ là $r_2 = \sqrt{4} = 2$ km. 2. Tính khoảng cách giữa hai tâm $I_1$ và $I_2$: - Khoảng cách giữa hai tâm $I_1(1, 2, -1)$ và $I_2(1, 2, 3)$ là: \[ d(I_1, I_2) = \sqrt{(1-1)^2 + (2-2)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{0 + 0 + 4^2} = \sqrt{16} = 4 \text{ km} \] 3. Tìm khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng: - Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là tổng của khoảng cách giữa hai tâm và hai bán kính: \[ d_{\text{xa nhất}} = d(I_1, I_2) + r_1 + r_2 = 4 + 3 + 2 = 9 \text{ km} \] Vậy khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng phát ra từ các điểm $I_1$ và $I_2$ là $\boxed{9}$ km. Câu 2. Khi gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất, ta biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm. Ta cần tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7. Bước 1: Xác định các trường hợp có thể xảy ra khi con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm. - Con xúc xắc thứ nhất đã xác định là 4 chấm, do đó con xúc xắc thứ hai có thể xuất hiện các mặt từ 1 đến 6 chấm. Bước 2: Xác định các trường hợp thuận lợi để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7. - Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7, tức là: 4 + 3 = 7 Bước 3: Tính xác suất. - Số trường hợp có thể xảy ra là 6 (vì con xúc xắc thứ hai có thể xuất hiện các mặt từ 1 đến 6 chấm). - Số trường hợp thuận lợi là 1 (vì chỉ có trường hợp 4 + 3 = 7). Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 là: \[ P = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{số trường hợp có thể xảy ra}} = \frac{1}{6} \approx 0,17 \] Vậy xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 là khoảng 0,17 hoặc 17%. Câu 1. Để tính góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn, ta cần tìm góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng Oxy. Bước 1: Tìm vector $\overrightarrow{AB}$ $\overrightarrow{AB} = B - A = (5-1, 6-2, -2+1) = (4, 4, -1)$ Bước 2: Xác định vector pháp tuyến của mặt phẳng Oxy Mặt phẳng Oxy có vector pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (0, 0, 1)$ Bước 3: Tính cosin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng Oxy Gọi $\theta$ là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng Oxy, thì góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{n}$ sẽ là $90^\circ - \theta$. Ta có: \[ \cos(90^\circ - \theta) = \sin(\theta) = \frac{\left| \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} \right|}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{n}|} \] Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}$: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} = (4, 4, -1) \cdot (0, 0, 1) = 4 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = -1 \] Tính độ dài của $\overrightarrow{AB}$: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 16 + 1} = \sqrt{33} \] Tính độ dài của $\overrightarrow{n}$: \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \] Do đó: \[ \sin(\theta) = \frac{|-1|}{\sqrt{33} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{33}} \] Bước 4: Tính góc $\theta$ \[ \theta = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{33}}\right) \] Vậy góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn là $\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{33}}\right)$. Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính số người cao tuổi nam bị bệnh tiểu đường. 2. Tính số người cao tuổi nữ bị bệnh tiểu đường. 3. Tính tổng số người cao tuổi bị bệnh tiểu đường. 4. Tính số người cao tuổi không bị bệnh tiểu đường. 5. Tính xác suất để chọn được một người không bị bệnh tiểu đường. Bước 1: Tính số người cao tuổi nam bị bệnh tiểu đường. Số người cao tuổi nam bị bệnh tiểu đường là: \[ 260 \times \frac{40}{100} = 104 \text{ người} \] Bước 2: Tính số người cao tuổi nữ bị bệnh tiểu đường. Số người cao tuổi nữ bị bệnh tiểu đường là: \[ 240 \times \frac{55}{100} = 132 \text{ người} \] Bước 3: Tính tổng số người cao tuổi bị bệnh tiểu đường. Tổng số người cao tuổi bị bệnh tiểu đường là: \[ 104 + 132 = 236 \text{ người} \] Bước 4: Tính số người cao tuổi không bị bệnh tiểu đường. Số người cao tuổi không bị bệnh tiểu đường là: \[ 500 - 236 = 264 \text{ người} \] Bước 5: Tính xác suất để chọn được một người không bị bệnh tiểu đường. Xác suất để chọn được một người không bị bệnh tiểu đường là: \[ \frac{264}{500} = \frac{132}{250} = \frac{66}{125} \] Vậy xác suất để chọn được một người không bị bệnh tiểu đường là $\frac{66}{125}$. Câu 3. Để tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt{x^2 + 1}$, trục hoành và các đường thẳng $x = 0$, $x = 1$ quanh trục hoành, ta sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ - Giới hạn tích phân từ $a = 0$ đến $b = 1$ Bước 1: Xác định hàm số và khoảng tích phân \[ f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \] \[ a = 0, \quad b = 1 \] Bước 2: Tính bình phương của hàm số \[ [f(x)]^2 = (\sqrt{x^2 + 1})^2 = x^2 + 1 \] Bước 3: Tính tích phân \[ V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 + 1) \, dx \] Bước 4: Thực hiện phép tích phân \[ \int_{0}^{1} (x^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{1} \] Bước 5: Đánh giá tích phân tại các giới hạn \[ \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) = \left( \frac{1}{3} + 1 \right) - 0 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \] Bước 6: Nhân với $\pi$ để tìm thể tích \[ V = \pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{4\pi}{3} \] Vậy thể tích V của khối tròn xoay là: \[ V = \frac{4\pi}{3} \]