giải giúp mình

Câu 1. Để tính giá trị của biểu thức $\log_3 1125$, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Phân tích cấu trúc của biểu thức: Ta có: \[ 1125 = 3^3 \times 5^3 \] 2. Áp dụng công thức tính logarit: \[ \log_3 1125 = \log_3 (3^3 \times 5^3) \] Theo tính chất của logarit: \[ \log_3 (3^3 \times 5^3) = \log_3 3^3 + \log_3 5^3 \] \[ = 3 \log_3 3 + 3 \log_3 5 \] 3. Thay giá trị đã biết vào biểu thức: Ta biết rằng $\log_3 3 = 1$. Do đó: \[ \log_3 1125 = 3 \times 1 + 3 \log_3 5 \] \[ = 3 + 3 \log_3 5 \] 4. Tìm giá trị của $\log_3 5$: Ta biết rằng $a = \log_3 5$. Do đó: \[ \log_3 1125 = 3 + 3a \] 5. So sánh với các đáp án: Các đáp án được đưa ra là: - A. $\log_9 1125 = 1 + \frac{3}{2a}$ - B. $\log_0 1125 = 2 + \frac{2}{3a}$ - C. $\log_3 1125 = 2 + \frac{3}{a}$ - D. $\log_3 1125 = 1 + \frac{3}{a}$ Đáp án đúng là: \[ \log_3 1125 = 3 + 3a \] Nhưng trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng với kết quả trên. Vì vậy, có thể có lỗi trong việc so sánh hoặc trong các đáp án đã cho. Tuy nhiên, dựa trên các bước tính toán, đáp án đúng là: \[ \log_3 1125 = 3 + 3a \] Đáp án: $\boxed{3 + 3a}$ Câu 2. Để tính xác suất hai bạn đi xem phim không bị dính mưa, ta cần tính xác suất trời không mưa và Nhi đồng ý đi xem phim. Bước 1: Xác định xác suất trời không mưa. - Xác suất trời mưa là 70%, vậy xác suất trời không mưa là: \[ P(\text{không mưa}) = 1 - P(\text{mưa}) = 1 - 0,7 = 0,3 \] Bước 2: Xác định xác suất Nhi đồng ý đi xem phim. - Xác suất Nhi đồng ý đi xem phim là 80%, tức là: \[ P(\text{Nhi đồng ý}) = 0,8 \] Bước 3: Tính xác suất cả hai sự kiện xảy ra cùng lúc (trời không mưa và Nhi đồng ý đi xem phim). - Vì hai sự kiện này độc lập với nhau, ta nhân xác suất của chúng lại: \[ P(\text{không mưa và Nhi đồng ý}) = P(\text{không mưa}) \times P(\text{Nhi đồng ý}) = 0,3 \times 0,8 = 0,24 \] Vậy xác suất hai bạn đi xem phim không bị dính mưa là 0,24. Đáp án đúng là: B. 0,24 Câu 3. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = -2x^3 + 6x^2 - 5$ tại điểm M có hoành độ bằng 3, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ của điểm M Thay $x = 3$ vào phương trình hàm số: \[ y = -2(3)^3 + 6(3)^2 - 5 = -2(27) + 6(9) - 5 = -54 + 54 - 5 = -5 \] Vậy tọa độ của điểm M là $(3, -5)$. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số \[ y' = (-2x^3 + 6x^2 - 5)' = -6x^2 + 12x \] Bước 3: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm M Thay $x = 3$ vào đạo hàm: \[ y'(3) = -6(3)^2 + 12(3) = -6(9) + 36 = -54 + 36 = -18 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M là $-18$. Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $k$ là: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] Thay $(x_0, y_0) = (3, -5)$ và $k = -18$ vào phương trình trên: \[ y - (-5) = -18(x - 3) \] \[ y + 5 = -18x + 54 \] \[ y = -18x + 49 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là $y = -18x + 49$. Đáp án đúng là: \[ A.~y = -18x + 49 \] Câu 4. Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2}{3} - x^2 + 2x - 2025 \) tại điểm \( x_0 = -1 \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta tính đạo hàm từng hạng tử của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x^2}{3} \right)' - (x^2)' + (2x)' - (2025)' \] Áp dụng công thức đạo hàm cơ bản: \[ y' = \frac{2x}{3} - 2x + 2 - 0 \] Rút gọn biểu thức: \[ y' = \frac{2x}{3} - 2x + 2 \] 2. Thay \( x = -1 \) vào đạo hàm vừa tìm được: \[ y'(-1) = \frac{2(-1)}{3} - 2(-1) + 2 \] Tính toán từng phần: \[ y'(-1) = \frac{-2}{3} + 2 + 2 \] Rút gọn: \[ y'(-1) = \frac{-2}{3} + 4 = \frac{-2}{3} + \frac{12}{3} = \frac{10}{3} \] Như vậy, đạo hàm của hàm số tại điểm \( x_0 = -1 \) là \( \frac{10}{3} \). Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~y^\prime(-1)=\frac{10}{3} \] Câu 5. A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. - Đây là mệnh đề đúng. Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song, thì nó cũng sẽ vuông góc với đường thẳng còn lại do tính chất của đường thẳng song song. B. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại. - Đây là mệnh đề sai. Hai đường thẳng vuông góc với nhau không có nghĩa là đường thẳng thứ ba vuông góc với một trong hai đường thẳng đó sẽ song song với đường thẳng còn lại. Ví dụ, trong không gian, ta có thể có nhiều trường hợp khác nhau. C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. - Đây là mệnh đề sai. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba không nhất thiết phải song song với nhau. Chúng có thể cắt nhau hoặc nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. - Đây là mệnh đề sai. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba không nhất thiết phải vuông góc với nhau. Chúng có thể song song hoặc nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Vậy, mệnh đề đúng là: A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. Câu 6. Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = 3^{x+1} \), ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm mũ \( a^u \): \[ \left( a^u \right)' = a^u \cdot u' \cdot \ln(a) \] Trong đó: - \( a = 3 \) - \( u = x + 1 \) Bước 1: Tính đạo hàm của \( u \): \[ u' = (x + 1)' = 1 \] Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm: \[ y' = 3^{x+1} \cdot 1 \cdot \ln(3) \] \[ y' = 3^{x+1} \cdot \ln(3) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~y' = 3^{x+1} \cdot \ln(3) \] Câu 7. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ Venn để dễ dàng hơn trong việc xác định số người vừa thích kim chi vừa thích cơm trộn. Bước 1: Xác định tổng số thành viên và số người không thích cả hai món ăn. - Tổng số thành viên: 30 người. - Số người không thích cả hai món ăn: 5 người. Bước 2: Tính số người thích ít nhất một trong hai món ăn. - Số người thích ít nhất một trong hai món ăn = Tổng số thành viên - Số người không thích cả hai món ăn - Số người thích ít nhất một trong hai món ăn = 30 - 5 = 25 người. Bước 3: Xác định số người thích mỗi món ăn. - Số người thích kim chi: 16 người. - Số người thích cơm trộn: 20 người. Bước 4: Áp dụng công thức tính số người thích ít nhất một trong hai món ăn. - Số người thích ít nhất một trong hai món ăn = Số người thích kim chi + Số người thích cơm trộn - Số người vừa thích kim chi vừa thích cơm trộn - 25 = 16 + 20 - Số người vừa thích kim chi vừa thích cơm trộn Bước 5: Giải phương trình để tìm số người vừa thích kim chi vừa thích cơm trộn. - 25 = 36 - Số người vừa thích kim chi vừa thích cơm trộn - Số người vừa thích kim chi vừa thích cơm trộn = 36 - 25 - Số người vừa thích kim chi vừa thích cơm trộn = 11 người. Vậy, số người vừa thích kim chi vừa thích cơm trộn là 11 người. Đáp án đúng là B. 11 người. Câu 8. Điều kiện xác định: \( x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \). Phương trình \(\log_1(x-1) = -2\) không thể đúng vì cơ số của logarit phải lớn hơn 0 và khác 1. Do đó, phương trình này vô nghiệm. Tuy nhiên, nếu ta giả sử rằng có một lỗi trong đề bài và cơ số của logarit là 10 (thường gặp trong các bài toán logarit), thì phương trình sẽ là: \[ \log_{10}(x-1) = -2 \] Ta có: \[ x - 1 = 10^{-2} = \frac{1}{100} \] \[ x = \frac{1}{100} + 1 = \frac{101}{100} = 1.01 \] Nhưng vì \( x = 1.01 \) không thỏa mãn điều kiện \( x > 1 \), nên phương trình này cũng vô nghiệm. Do đó, phương trình \(\log_1(x-1) = -2\) không có nghiệm nào trong các đáp án đã cho. Đáp án: Phương trình vô nghiệm. Câu 9. Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào là sai. A. mp (ACC'A') ⊥ mp (BB'D'D) - mp (ACC'A') là mặt phẳng đi qua các đỉnh A, C, C', A'. - mp (BB'D'D) là mặt phẳng đi qua các đỉnh B, B', D, D'. - Vì hai mặt phẳng này cắt nhau theo đường thẳng CC' và AA', và chúng tạo thành góc vuông với nhau, nên khẳng định này đúng. B. mp (AA'C'C) ⊥ mp (ABCD) - mp (AA'C'C) là mặt phẳng đi qua các đỉnh A, A', C', C. - mp (ABCD) là mặt phẳng đáy của hình lập phương. - Vì mp (AA'C'C) là mặt phẳng đứng thẳng và vuông góc với mặt đáy mp (ABCD), nên khẳng định này đúng. C. mp (ABB'A') ⊥ mp (BDD'B') - mp (ABB'A') là mặt phẳng đi qua các đỉnh A, B, B', A'. - mp (BDD'B') là mặt phẳng đi qua các đỉnh B, D, D', B'. - Vì hai mặt phẳng này cắt nhau theo đường thẳng BB' và AA', và chúng tạo thành góc vuông với nhau, nên khẳng định này đúng. D. mp (ABB'A') ⊥ mp (A'B'C'D') - mp (ABB'A') là mặt phẳng đi qua các đỉnh A, B, B', A'. - mp (A'B'C'D') là mặt phẳng đáy trên của hình lập phương. - Vì mp (ABB'A') là mặt phẳng đứng thẳng và vuông góc với mặt đáy mp (A'B'C'D'), nên khẳng định này đúng. Tuy nhiên, khi kiểm tra kỹ lại, ta thấy rằng khẳng định D là sai vì mp (ABB'A') không vuông góc với mp (A'B'C'D'). mp (ABB'A') chỉ vuông góc với mp (ABCD). Vậy khẳng định sai là: D. mp (ABB'A') ⊥ mp (A'B'C'D') Đáp án: D. Câu 10. Để tìm số phần tử của biến cố hợp \(A \cup B\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tất cả các kết quả có thể xảy ra khi tung đồng xu 3 lần: - Mỗi lần tung đồng xu có 2 kết quả có thể xảy ra: sấp (S) hoặc ngửa (N). - Vậy khi tung đồng xu 3 lần, tổng số kết quả có thể xảy ra là: \[ 2^3 = 8 \] Các kết quả cụ thể là: SSS, SSN, SNS, NSS, NNS, NSN, NNN. 2. Xác định các kết quả thuộc biến cố A: - Biến cố A là "Có ít nhất hai lần xuất hiện mặt sấp". - Các kết quả thuộc biến cố A là: SSS, SSN, SNS, NSS. - Số phần tử của biến cố A là 4. 3. Xác định các kết quả thuộc biến cố B: - Biến cố B là "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa". - Các kết quả thuộc biến cố B là: SSN, SNS, NSS, NNS, NSN, NNN. - Số phần tử của biến cố B là 6. 4. Xác định các kết quả thuộc biến cố giao \(A \cap B\): - Biến cố giao \(A \cap B\) là "Có ít nhất hai lần xuất hiện mặt sấp và có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa". - Các kết quả thuộc biến cố \(A \cap B\) là: SSN, SNS, NSS. - Số phần tử của biến cố \(A \cap B\) là 3. 5. Áp dụng công thức tính số phần tử của biến cố hợp \(A \cup B\): \[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \] Thay các giá trị đã tìm được vào công thức: \[ |A \cup B| = 4 + 6 - 3 = 7 \] Vậy số phần tử của biến cố hợp \(A \cup B\) là 7. Đáp án đúng là: C. 7 Câu 11. Để rút gọn biểu thức \( P = x^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{x} \) với \( x > 0 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Viết lại căn bậc hai dưới dạng lũy thừa: \[ \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \] 2. Thay vào biểu thức ban đầu: \[ P = x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{2}} \] 3. Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: \[ x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)} \] 4. Tính tổng các số mũ: \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \] 5. Viết kết quả cuối cùng: \[ P = x^{\frac{5}{6}} \] Vậy biểu thức \( P = x^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{x} \) được rút gọn thành \( x^{\frac{5}{6}} \). Đáp án đúng là: \( x^{\frac{5}{6}} \) Do đó, trong các lựa chọn đã cho, đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~x^{\frac{5}{6}}} \]