Ndbdbdbdhd

Câu 9. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', các cạnh đều bằng nhau và vuông góc với nhau. Ta sẽ tìm góc giữa hai đường thẳng CC' và B'D'. 1. Xác định các điểm: - C' là đỉnh đối diện với C trên mặt A'B'C'D'. - B' là đỉnh đối diện với B trên mặt A'B'C'D'. - D' là đỉnh đối diện với D trên mặt A'B'C'D'. 2. Xác định các vectơ: - Vectơ $\overrightarrow{CC'}$ là vectơ chỉ từ C lên C'. - Vectơ $\overrightarrow{B'D'}$ là vectơ chỉ từ B' đến D'. 3. Xác định góc giữa hai vectơ: - Ta nhận thấy rằng trong hình lập phương, các cạnh đều bằng nhau và vuông góc với nhau. Do đó, ta có thể sử dụng tính chất của hình lập phương để xác định góc giữa hai vectơ. 4. Xác định góc giữa hai đường thẳng: - Ta vẽ hình và nhận thấy rằng góc giữa hai đường thẳng CC' và B'D' là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{CC'}$ và $\overrightarrow{B'D'}$. - Ta nhận thấy rằng trong hình lập phương, góc giữa hai đường thẳng CC' và B'D' là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{CC'}$ và $\overrightarrow{B'D'}$, và góc này là 45°. Vậy góc giữa hai đường thẳng CC' và B'D' là 45°. Đáp án đúng là: $A.~45^0$. Câu 10. Ta biết rằng $\sqrt{a^2}$ là căn bậc hai của $a^2$. Theo tính chất căn bậc hai, ta có: \[ \sqrt{a^2} = |a| \] Vì $a$ là số thực dương tùy ý, nên $|a| = a$. Do đó: \[ \sqrt{a^2} = a \] Tuy nhiên, trong các đáp án được đưa ra, không có đáp án nào đúng là $a$. Ta cần kiểm tra lại các đáp án đã cho: - Đáp án A: $a^6$ - Đáp án B: $a^{\frac{2}{3}}$ - Đáp án C: $a^2$ - Đáp án D: $a^{\frac{3}{2}}$ Như vậy, theo tính chất căn bậc hai và điều kiện $a$ là số thực dương, ta thấy rằng $\sqrt{a^2} = a$, nhưng trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng là $a$. Do đó, có thể có sự nhầm lẫn hoặc sai sót trong các đáp án đã cho. Đáp án đúng là: $\boxed{a}$ Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng là $a$. Câu 11. Để tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC, ta cần xác định góc giữa đường thẳng SC và hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng ABC. Trước tiên, ta nhận thấy rằng SA vuông góc với mặt phẳng ABC, do đó SA cũng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ABC, bao gồm cả đường thẳng AC. Hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng ABC là điểm A, vì SA vuông góc với ABC. Do đó, hình chiếu của đường thẳng SC lên mặt phẳng ABC là đường thẳng AC. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC chính là góc giữa đường thẳng SC và đường thẳng AC, tức là góc $\widehat{ASC}$. Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\widehat{ASC}. \] Câu 12. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần kiểm tra tính chất đồng biến của từng hàm số đã cho. 1. Hàm số \( y = 0,1^x \): - Đây là hàm số mũ với cơ số \( 0 < 0,1 < 1 \). Các hàm số mũ với cơ số nằm trong khoảng này là nghịch biến trên \( \mathbb{R} \). 2. Hàm số \( y = \log_{\frac{1}{2}} x \): - Đây là hàm số logarit với cơ số \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \). Các hàm số logarit với cơ số nằm trong khoảng này là nghịch biến trên miền xác định của nó (ở đây là \( x > 0 \)). 3. Hàm số \( y = \left( \frac{2024}{2025} \right)^x \): - Đây là hàm số mũ với cơ số \( 0 < \frac{2024}{2025} < 1 \). Các hàm số mũ với cơ số nằm trong khoảng này là nghịch biến trên \( \mathbb{R} \). 4. Hàm số \( y = 2025^x \): - Đây là hàm số mũ với cơ số \( 2025 > 1 \). Các hàm số mũ với cơ số lớn hơn 1 là đồng biến trên \( \mathbb{R} \). Từ đó, chúng ta thấy rằng chỉ có hàm số \( y = 2025^x \) là đồng biến trên \( \mathbb{R} \). Vậy đáp án đúng là: \[ D.~y = 2025^x \] Đáp án: \( D.~y = 2025^x \) Lập luận từng bước: - Kiểm tra tính chất đồng biến/nghịch biến của từng hàm số dựa vào cơ số của hàm số mũ và logarit. - Kết luận chỉ có hàm số \( y = 2025^x \) là đồng biến trên \( \mathbb{R} \). Câu 13. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên công thức chuyển động ban đầu và các quy tắc về vận tốc và gia tốc. Công thức chuyển động của vật là: \[ s(t) = t^3 - 3t^2 + 7t - 2 \] a) Gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng $16~m/s$ là $10(m/s^2).$ Bước 1: Tính vận tốc của vật Vận tốc của vật là đạo hàm của hàm chuyển động \( s(t) \): \[ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 3t^2 + 7t - 2) = 3t^2 - 6t + 7 \] Bước 2: Tìm thời điểm mà vận tốc bằng $16~m/s$ \[ 3t^2 - 6t + 7 = 16 \] \[ 3t^2 - 6t - 9 = 0 \] \[ t^2 - 2t - 3 = 0 \] \[ (t - 3)(t + 1) = 0 \] \[ t = 3 \text{ hoặc } t = -1 \] Vì \( t > 0 \), ta có \( t = 3 \). Bước 3: Tính gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 3 \) Gia tốc của vật là đạo hàm của hàm vận tốc \( v(t) \): \[ a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 6t + 7) = 6t - 6 \] Tại \( t = 3 \): \[ a(3) = 6 \cdot 3 - 6 = 18 - 6 = 12 \] Vậy gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng $16~m/s$ là $12(m/s^2)$, không phải $10(m/s^2)$. Mệnh đề này là sai. b) Gia tốc của vật tại thời điểm $t=2$ là $6(m/s^2).$ Bước 1: Tính gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 2 \) \[ a(t) = 6t - 6 \] Tại \( t = 2 \): \[ a(2) = 6 \cdot 2 - 6 = 12 - 6 = 6 \] Vậy gia tốc của vật tại thời điểm $t=2$ là $6(m/s^2)$. Mệnh đề này là đúng. c) Công thức tính vận tốc của vật tại thời điểm t là $v(t)=3t^2-6t+7.$ Bước 1: Kiểm tra lại công thức vận tốc Vận tốc của vật là đạo hàm của hàm chuyển động \( s(t) \): \[ v(t) = s'(t) = 3t^2 - 6t + 7 \] Công thức này đúng. Mệnh đề này là đúng. d) Thời điểm $t=1$ (giây) tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất. Bước 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm vận tốc Hàm vận tốc là: \[ v(t) = 3t^2 - 6t + 7 \] Đạo hàm của hàm vận tốc: \[ v'(t) = 6t - 6 \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị: \[ 6t - 6 = 0 \] \[ t = 1 \] Kiểm tra đạo hàm thứ hai: \[ v''(t) = 6 \] Vì \( v''(t) > 0 \), hàm \( v(t) \) đạt giá trị nhỏ nhất tại \( t = 1 \). Vậy thời điểm $t=1$ (giây) tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất. Mệnh đề này là đúng. Kết luận - Mệnh đề a) là sai. - Mệnh đề b) là đúng. - Mệnh đề c) là đúng. - Mệnh đề d) là đúng. Câu 14. a) Gọi B là biến cố lấy được thẻ đánh số chia hết cho 4 thì $n(B)=8.$ Lời giải: - Các số chia hết cho 4 trong khoảng từ 1 đến 30 là: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28. - Số lượng các số này là 7, do đó $n(B) = 7$. b) A và B là hai biến cố độc lập. Lời giải: - Biến cố A là lấy được thẻ đánh số chia hết cho 3. - Biến cố B là lấy được thẻ đánh số chia hết cho 4. - Hai biến cố này không ảnh hưởng lẫn nhau, nên chúng là hai biến cố độc lập. c) Gọi A là biến cố lấy được thẻ đánh số chia hết cho 3 thì $A=\{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30\}.$ Lời giải: - Các số chia hết cho 3 trong khoảng từ 1 đến 30 là: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30. - Tập hợp các số này là $A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30\}$. d) Biến cố $A \cup B$ là một tập con của không gian mẫu. Lời giải: - Biến cố $A \cup B$ là biến cố lấy được thẻ đánh số chia hết cho 3 hoặc 4. - Các số chia hết cho 3 hoặc 4 trong khoảng từ 1 đến 30 là: 3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 18, 20, 21, 24, 27, 28, 30. - Tập hợp các số này là $A \cup B = \{3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 18, 20, 21, 24, 27, 28, 30\}$. - Tập hợp này là một tập con của không gian mẫu, vì tất cả các số trong tập hợp này đều nằm trong khoảng từ 1 đến 30. Đáp án: a) $n(B) = 7$ b) A và B là hai biến cố độc lập. c) $A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30\}$ d) Biến cố $A \cup B$ là một tập con của không gian mẫu. Câu 15. Phương trình chuyển động của chất điểm là: \[ s(t) = t^2 - 2t^2 - 1 = -t^2 - 1 \] Để tìm gia tốc tức thời của vật, ta cần tính đạo hàm thứ hai của phương trình chuyển động \( s(t) \). Bước 1: Tính vận tốc tức thời \( v(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(-t^2 - 1) = -2t \] Bước 2: Tính gia tốc tức thời \( a(t) \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-2t) = -2 \] Như vậy, gia tốc tức thời của vật là hằng số và luôn bằng -2 m/s², không phụ thuộc vào thời gian \( t \). Do đó, không có thời điểm nào gia tốc tức thời của vật là 56 m/s². Kết luận: Không có thời điểm nào gia tốc tức thời của vật là 56 m/s².