Mn giải giúp mình với ạ

Câu 1. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = x^3 - 4x \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = 0 \) và \( x = 3 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm giao của đồ thị với trục hoành: Ta giải phương trình \( y = 0 \): \[ x^3 - 4x = 0 \] \[ x(x^2 - 4) = 0 \] \[ x(x - 2)(x + 2) = 0 \] Vậy các nghiệm là \( x = 0 \), \( x = 2 \) và \( x = -2 \). 2. Xác định khoảng tích phân: Do ta chỉ quan tâm đến đoạn từ \( x = 0 \) đến \( x = 3 \), ta sẽ chia thành hai đoạn: - Từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \) - Từ \( x = 2 \) đến \( x = 3 \) 3. Tính diện tích từng đoạn: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = x^3 - 4x \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = 0 \) và \( x = 3 \) được tính bằng tích phân: \[ A = \left| \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx \right| + \left| \int_{2}^{3} (x^3 - 4x) \, dx \right| \] 4. Tính tích phân từng đoạn: - Tính tích phân từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \): \[ \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{0}^{2} \] \[ = \left( \frac{2^4}{4} - 2 \cdot 2^2 \right) - \left( \frac{0^4}{4} - 2 \cdot 0^2 \right) \] \[ = \left( \frac{16}{4} - 8 \right) - 0 \] \[ = 4 - 8 = -4 \] Diện tích đoạn này là \( |-4| = 4 \). - Tính tích phân từ \( x = 2 \) đến \( x = 3 \): \[ \int_{2}^{3} (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{2}^{3} \] \[ = \left( \frac{3^4}{4} - 2 \cdot 3^2 \right) - \left( \frac{2^4}{4} - 2 \cdot 2^2 \right) \] \[ = \left( \frac{81}{4} - 18 \right) - \left( \frac{16}{4} - 8 \right) \] \[ = \left( \frac{81}{4} - \frac{72}{4} \right) - \left( 4 - 8 \right) \] \[ = \frac{9}{4} + 4 \] \[ = \frac{9}{4} + \frac{16}{4} = \frac{25}{4} = 6.25 \] Diện tích đoạn này là \( 6.25 \). 5. Tổng diện tích: \[ A = 4 + 6.25 = 10.25 \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = x^3 - 4x \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = 0 \) và \( x = 3 \) là \( 10.25 \) (kết quả làm tròn đến hàng phần chục). Câu 2. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = e^x \), trục hoành và các đường thẳng \( x = 1 \) và \( x = 3 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định cận trên và cận dưới của tích phân: - Cận dưới là \( x = 1 \) - Cận trên là \( x = 3 \) 2. Tích phân hàm số \( y = e^x \) từ \( x = 1 \) đến \( x = 3 \): \[ A = \int_{1}^{3} e^x \, dx \] 3. Tính tích phân: - Nguyên hàm của \( e^x \) là \( e^x \). \[ \int e^x \, dx = e^x + C \] Do đó: \[ A = \left[ e^x \right]_{1}^{3} \] 4. Áp dụng công thức tính tích phân xác định: \[ A = e^3 - e^1 \] 5. Tính giá trị cụ thể: \[ e^3 \approx 20,0855 \quad \text{và} \quad e^1 \approx 2,7183 \] \[ A \approx 20,0855 - 2,7183 = 17,3672 \] 6. Làm tròn kết quả đến hàng phần chục: \[ 17,3672 \approx 17,4 \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = e^x \), trục hoành và các đường thẳng \( x = 1 \) và \( x = 3 \) là \( 17,4 \). Đáp số: \( 17,4 \) Câu 3. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=e^x,$ trục hoành và các đường thẳng $x=1,~x=2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định cận trên và cận dưới của tích phân. - Cận dưới là $x=1$. - Cận trên là $x=2$. Bước 2: Viết biểu thức tích phân để tính diện tích. Diện tích $A$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=e^x$, trục hoành và các đường thẳng $x=1,~x=2$ là: \[ A = \int_{1}^{2} e^x \, dx \] Bước 3: Tính tích phân. \[ \int_{1}^{2} e^x \, dx = \left[ e^x \right]_{1}^{2} \] \[ = e^2 - e^1 \] \[ = e^2 - e \] Bước 4: Thay giá trị của $e$ vào biểu thức. - Biết rằng $e \approx 2,71828$. - Do đó, $e^2 \approx 7,38906$. \[ A \approx 7,38906 - 2,71828 \] \[ A \approx 4,67078 \] Bước 5: Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm. \[ A \approx 4,67 \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=e^x$, trục hoành và các đường thẳng $x=1,~x=2$ là khoảng 4,67 đơn vị diện tích. Câu 4. Để tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{x + 1}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 2$ quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định hàm số và khoảng quay: - Hàm số: $y = \sqrt{x + 1}$ - Khoảng quay: từ $x = 1$ đến $x = 2$ 2. Áp dụng công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay: Công thức thể tích của vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Ox là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó, $f(x) = \sqrt{x + 1}$, $a = 1$, và $b = 2$. 3. Thay hàm số vào công thức: \[ V = \pi \int_{1}^{2} (\sqrt{x + 1})^2 \, dx \] 4. Tính tích phân: \[ V = \pi \int_{1}^{2} (x + 1) \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{1}^{2} (x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{1}^{2} \] Đánh giá tại các cận: \[ \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{1}^{2} = \left( \frac{2^2}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1^2}{2} + 1 \right) \] \[ = \left( \frac{4}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{2} + 1 \right) \] \[ = (2 + 2) - \left( \frac{1}{2} + 1 \right) \] \[ = 4 - \left( \frac{1}{2} + 1 \right) \] \[ = 4 - \frac{3}{2} \] \[ = \frac{8}{2} - \frac{3}{2} \] \[ = \frac{5}{2} \] 5. Nhân với $\pi$: \[ V = \pi \cdot \frac{5}{2} = \frac{5\pi}{2} \] 6. Làm tròn kết quả: \[ \frac{5\pi}{2} \approx \frac{5 \times 3,14}{2} = \frac{15,7}{2} = 7,85 \approx 7,9 \] Vậy thể tích của vật thể tròn xoay là $7,9$. Câu 5. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D quanh trục Ox được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó, \( f(x) = \sqrt{x} \), \( a = 1 \), và \( b = 2 \). Bước 1: Tính tích phân \[ V = \pi \int_{1}^{2} (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_{1}^{2} x \, dx \] Bước 2: Tính nguyên hàm \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \] Bước 3: Áp dụng cận trên và cận dưới vào nguyên hàm \[ \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = 2 - 0.5 = 1.5 \] Bước 4: Nhân với \(\pi\) \[ V = \pi \times 1.5 = 1.5\pi \] Bước 5: Làm tròn kết quả đến hàng phần mười \[ 1.5\pi \approx 1.5 \times 3.14159 \approx 4.712385 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần mười là: \[ V \approx 4.7 \] Vậy thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D quanh trục Ox là 4.7 (đơn vị thể tích). Câu 6. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox là: \[ V = \pi \int_{2}^{3} y^2 \, dx = \pi \int_{2}^{3} (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_{2}^{3} x \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{2}^{3} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{3} = \frac{3^2}{2} - \frac{2^2}{2} = \frac{9}{2} - \frac{4}{2} = \frac{5}{2} \] Do đó: \[ V = \pi \cdot \frac{5}{2} = \frac{5\pi}{2} \] Lấy $\pi \approx 3,14$, ta có: \[ V \approx \frac{5 \times 3,14}{2} = \frac{15,7}{2} = 7,85 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần mười là: \[ V \approx 7,9 \] Đáp số: $7,9$