giups mik vs

Câu 9. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về tiếp tuyến và góc ở tâm của đường tròn. 1. Xác định các thông tin đã cho: - Điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R). - Từ điểm M, ta kẻ hai tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn. - MA vuông góc với MB. 2. Phân tích hình học: - Vì MA và MB là các tiếp tuyến từ điểm M đến đường tròn, nên OA và OB là các bán kính của đường tròn và vuông góc với các tiếp tuyến tại các điểm tiếp xúc A và B. - Do đó, góc OAM và OBM đều là góc vuông (90°). 3. Xác định góc ở tâm: - Vì MA vuông góc với MB, nên góc AMB là 90°. - Góc ở tâm AOB sẽ là 180° - 90° = 90°. 4. Tính độ dài cung nhỏ AB: - Độ dài cung nhỏ AB được tính bằng công thức: \[ \text{Độ dài cung} = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi R \] - Trong đó, $\theta$ là góc ở tâm (90°) và R là bán kính của đường tròn. - Thay vào công thức: \[ \text{Độ dài cung AB} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times 2\pi R = \frac{1}{4} \times 2\pi R = \frac{\pi R}{2} \] Vậy độ dài cung nhỏ AB là $\frac{\pi R}{2}$. Đáp án đúng là: $D.~\frac{\pi R}{2}$. Câu 10. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số cần thiết: - Tam giác ABC là tam giác cân với $\widehat{A} = 120^\circ$, $AB = AC = 4$ cm. - Đường cao $CH$ hạ từ đỉnh $C$ xuống đáy $BA$ tại điểm $H$. 2. Tính độ dài đoạn thẳng $AH$: - Vì tam giác ABC là tam giác cân, nên đường cao $CH$ cũng là đường phân giác của góc $\widehat{A}$. - Do đó, $\widehat{ACH} = \widehat{BCH} = 60^\circ$. - Trong tam giác vuông $ACH$, ta có $\widehat{ACH} = 60^\circ$ và $AC = 4$ cm. - Ta sử dụng công thức tính độ dài cạnh trong tam giác vuông có góc 30° và 60°: \[ AH = AC \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \text{ cm} \] 3. Tính diện tích hình vành khuyên: - Diện tích hình tròn ngoại tiếp (đường tròn tâm A, bán kính AB): \[ S_{\text{ngoại}} = \pi \cdot AB^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \text{ cm}^2 \] - Diện tích hình tròn nội tiếp (đường tròn tâm A, bán kính AH): \[ S_{\text{nội}} = \pi \cdot AH^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \text{ cm}^2 \] - Diện tích hình vành khuyên là hiệu giữa diện tích hình tròn ngoại tiếp và diện tích hình tròn nội tiếp: \[ S_{\text{vành khuyên}} = S_{\text{ngoại}} - S_{\text{nội}} = 16\pi - 4\pi = 12\pi \text{ cm}^2 \] Vậy diện tích hình vành khuyên là $12\pi \text{ cm}^2$. Đáp án đúng là: $A.~12\pi~cm^2$. Câu 1. Độ dài đường tròn (O) là 4π cm, do đó bán kính OA của đường tròn là 2 cm (vì độ dài đường tròn = 2π × bán kính). M là trung điểm của OA, nên OM = $\frac{1}{2}$ × OA = $\frac{1}{2}$ × 2 = 1 cm. Vì OM = 1 cm và OA = 2 cm, nên góc OMB là góc vuông (góc giữa bán kính và dây cung vuông góc với đường kính đi qua trung điểm của dây cung). Do đó, tam giác OMB là tam giác vuông tại M, và góc MOB = 60° (vì tam giác OMB là tam giác đều). Độ dài cung nhỏ BC của đường tròn là: \[ \text{Độ dài cung} = \frac{\text{góc tâm}}{360^\circ} \times \text{độ dài đường tròn} \] \[ \text{Độ dài cung BC} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 4\pi = \frac{1}{6} \times 4\pi = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \] Đáp số: $\frac{2\pi}{3}$ cm. Câu 2. Để tính diện tích hình vành khăn tạo thành bởi đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh 6 cm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều: - Tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc bằng 60°. - Bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh \( a \) được tính theo công thức: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] - Với \( a = 6 \) cm, ta có: \[ R = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ cm} \] 2. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều: - Bán kính \( r \) của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh \( a \) được tính theo công thức: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] - Với \( a = 6 \) cm, ta có: \[ r = \frac{6 \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \text{ cm} \] 3. Tính diện tích của đường tròn ngoại tiếp: - Diện tích \( S_{\text{ngoại tiếp}} \) của đường tròn ngoại tiếp được tính theo công thức: \[ S_{\text{ngoại tiếp}} = \pi R^2 \] - Với \( R = 2\sqrt{3} \) cm, ta có: \[ S_{\text{ngoại tiếp}} = \pi (2\sqrt{3})^2 = \pi \cdot 12 = 12\pi \text{ cm}^2 \] 4. Tính diện tích của đường tròn nội tiếp: - Diện tích \( S_{\text{nội tiếp}} \) của đường tròn nội tiếp được tính theo công thức: \[ S_{\text{nội tiếp}} = \pi r^2 \] - Với \( r = \sqrt{3} \) cm, ta có: \[ S_{\text{nội tiếp}} = \pi (\sqrt{3})^2 = \pi \cdot 3 = 3\pi \text{ cm}^2 \] 5. Tính diện tích hình vành khăn: - Diện tích hình vành khăn là hiệu giữa diện tích của đường tròn ngoại tiếp và diện tích của đường tròn nội tiếp: \[ S_{\text{vành khăn}} = S_{\text{ngoại tiếp}} - S_{\text{nội tiếp}} \] - Thay các giá trị đã tính vào, ta có: \[ S_{\text{vành khăn}} = 12\pi - 3\pi = 9\pi \text{ cm}^2 \] Vậy diện tích hình vành khăn tạo thành bởi đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh 6 cm là \( 9\pi \) cm². Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định góc tâm của hình quạt AOM. 2. Tính diện tích hình quạt AOM dựa trên công thức diện tích hình quạt. Bước 1: Xác định góc tâm của hình quạt AOM - Vì điểm M thuộc đường tròn (O;10 cm) và $\widehat{BAM} = 45^\circ$, ta có $\widehat{AOM} = 2 \times \widehat{BAM} = 2 \times 45^\circ = 90^\circ$. Bước 2: Tính diện tích hình quạt AOM - Công thức tính diện tích hình quạt là: \[ S_{quạt} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \] - Trong đó: - $\theta$ là góc tâm của hình quạt (ở đây là 90°). - $r$ là bán kính của đường tròn (ở đây là 10 cm). Áp dụng công thức: \[ S_{quạt} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 10^2 \] \[ S_{quạt} = \frac{1}{4} \times \pi \times 100 \] \[ S_{quạt} = 25\pi \text{ cm}^2 \] Vậy diện tích hình quạt AOM là: \( 25\pi \text{ cm}^2 \). Đáp số: \( 25\pi \text{ cm}^2 \). Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức về đường tròn và các tính chất liên quan. 1. Xác định các thông tin đã biết: - Đường tròn (O) có đường kính AB. - Dây CD vuông góc với AB tại M. - \( AM = 1 \, \text{cm} \) - \( CD = 2\sqrt{3} \, \text{cm} \) 2. Áp dụng tính chất đường kính và dây cung: - Vì CD vuông góc với AB tại M, nên M là trung điểm của CD. - Do đó, \( CM = MD = \frac{CD}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \, \text{cm} \). 3. Tính bán kính của đường tròn: - Gọi bán kính của đường tròn là R. - Vì AB là đường kính, nên \( AB = 2R \). - Ta có \( OM = R - AM = R - 1 \). 4. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OMC: - Trong tam giác OMC vuông tại M, ta có: \[ OC^2 = OM^2 + MC^2 \] - Thay các giá trị vào: \[ R^2 = (R - 1)^2 + (\sqrt{3})^2 \] - Giải phương trình: \[ R^2 = (R - 1)^2 + 3 \] \[ R^2 = R^2 - 2R + 1 + 3 \] \[ R^2 = R^2 - 2R + 4 \] \[ 0 = -2R + 4 \] \[ 2R = 4 \] \[ R = 2 \, \text{cm} \] 5. Tính độ dài cung CAD: - Độ dài cung CAD được tính bằng công thức: \[ \text{Độ dài cung CAD} = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi R \] - Trong đó, \(\theta\) là số đo góc tâm tương ứng với cung CAD. - Vì CD vuông góc với AB, nên góc CAD là 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Thay các giá trị vào: \[ \text{Độ dài cung CAD} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 2 \] \[ \text{Độ dài cung CAD} = \frac{1}{4} \times 4\pi \] \[ \text{Độ dài cung CAD} = \pi \, \text{cm} \] Đáp số: Độ dài cung CAD là \(\pi \, \text{cm}\). Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin về bán kính của đường tròn (O;OM) và góc giữa hai bán kính OA và OM. Tuy nhiên, giả sử bán kính của đường tròn (O;OM) là R và góc giữa hai bán kính OA và OM là α (độ). Bước 1: Xác định bán kính của đường tròn (O'). - Vì đường tròn (O') có đường kính là OM, nên bán kính của đường tròn (O') là $\frac{R}{2}$. Bước 2: Xác định độ dài cung MA. - Độ dài cung MA của đường tròn (O;OM) được tính bằng công thức: \[ \text{Độ dài cung MA} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi R \] Bước 3: Kết luận. - Độ dài cung MA là: \[ \text{Độ dài cung MA} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi R \] Đáp số: Độ dài cung MA là $\frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi R$ (cm). Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các góc và độ dài các đoạn thẳng liên quan. 2. Tính độ dài cung nhỏ AB. 3. Tính diện tích phần viên phân giới hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC. Bước 1: Xác định các góc và độ dài các đoạn thẳng liên quan - Đường tròn (O; R) có đường kính AB, do đó AB = 2R. - Dây CD = R và vuông góc với AB tại điểm O (vì O là tâm của đường tròn). - Ta biết $\widehat{ABC} = 30^\circ$. Vì AB là đường kính, nên $\widehat{ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Bước 2: Tính độ dài cung nhỏ AB - Độ dài cung nhỏ AB là nửa đường tròn, tức là $\frac{1}{2}$ chu vi của đường tròn. - Chu vi của đường tròn là $2\pi R$, do đó độ dài cung nhỏ AB là: \[ \text{Độ dài cung nhỏ AB} = \frac{1}{2} \times 2\pi R = \pi R \] Bước 3: Tính diện tích phần viên phân giới hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC - Diện tích phần viên phân giới hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC là diện tích của nửa đường tròn trừ đi diện tích tam giác ABC. - Diện tích nửa đường tròn là: \[ \text{Diện tích nửa đường tròn} = \frac{1}{2} \pi R^2 \] - Diện tích tam giác ABC là: \[ \text{Diện tích tam giác ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times OC = \frac{1}{2} \times 2R \times R \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \times 2R \times R \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} R^2 \] - Do đó, diện tích phần viên phân là: \[ \text{Diện tích phần viên phân} = \frac{1}{2} \pi R^2 - \frac{1}{2} R^2 = \frac{1}{2} (\pi - 1) R^2 \] Đáp số Độ dài cung nhỏ AB là $\pi R$ và diện tích phần viên phân giới hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC là $\frac{1}{2} (\pi - 1) R^2$. Câu 7. Độ dài cung AB là $\frac{5\pi R}{6}$ Ta có công thức tính độ dài cung AB là: \[ l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi R \] Trong đó: - \( l \) là độ dài cung AB, - \( \theta \) là số đo góc tâm \(\widehat{AOB}\), - \( R \) là bán kính của đường tròn. Thay giá trị của \( l \) vào công thức: \[ \frac{5\pi R}{6} = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi R \] Chia cả hai vế cho \( \pi R \): \[ \frac{5}{6} = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \] Nhân cả hai vế với 360°: \[ \frac{5}{6} \times 360^\circ = \theta \times 2 \] Tính giá trị: \[ 300^\circ = \theta \times 2 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ \theta = 150^\circ \] Vậy số đo góc tâm \(\widehat{AOB}\) là: \[ \widehat{AOB} = 150^\circ \] Câu 8. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông tin đã biết: - Đường tròn (O) có đường kính AB = 8 cm. - Chu vi tứ giác ABCD là 28 cm. - Tiếp tuyến tại điểm M trên (O) cắt Ax và By lần lượt tại C và D. 2. Xác định diện tích của tứ giác ABCD: - Ta biết rằng chu vi tứ giác ABCD là 28 cm. - Vì Ax và By là các tiếp tuyến tại A và B, nên AC và BD là các đoạn thẳng vuông góc với đường kính AB. - Diện tích của tứ giác ABCD có thể được tính bằng công thức diện tích hình thang: \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times (AC + BD) \times AB \] - Ta cần tìm AC và BD để tính diện tích. 3. Xác định diện tích của nửa đường tròn (O): - Nửa đường tròn có bán kính R = 4 cm (vì đường kính AB = 8 cm). - Diện tích của nửa đường tròn là: \[ S_{nửa đường tròn} = \frac{1}{2} \times \pi \times R^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times 4^2 = 8\pi \text{ (cm}^2) \] 4. Xác định diện tích phần tứ giác nằm ngoài (O): - Diện tích phần tứ giác nằm ngoài (O) là diện tích của tứ giác ABCD trừ đi diện tích của nửa đường tròn (O). 5. Tính diện tích của tứ giác ABCD: - Ta biết chu vi tứ giác ABCD là 28 cm, do đó: \[ AC + BD + AB + CD = 28 \] - Vì AB = 8 cm, nên: \[ AC + BD + CD = 20 \] - Ta cũng biết rằng AC và BD là các đoạn thẳng vuông góc với đường kính AB, nên: \[ AC + BD = 20 - CD \] - Diện tích của tứ giác ABCD là: \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times (AC + BD) \times AB = \frac{1}{2} \times (20 - CD) \times 8 = 80 - 4 \times CD \] 6. Xác định diện tích phần tứ giác nằm ngoài (O): - Diện tích phần tứ giác nằm ngoài (O) là: \[ S_{phần ngoài} = S_{ABCD} - S_{nửa đường tròn} \] - Thay các giá trị vào: \[ S_{phần ngoài} = (80 - 4 \times CD) - 8\pi \] 7. Kết luận: - Để tính chính xác diện tích phần tứ giác nằm ngoài (O), ta cần biết giá trị của CD. Tuy nhiên, dựa vào các thông tin đã biết, ta có thể kết luận rằng diện tích phần tứ giác nằm ngoài (O) là: \[ S_{phần ngoài} = 80 - 4 \times CD - 8\pi \] Đáp số: Diện tích phần tứ giác nằm ngoài (O) là \( 80 - 4 \times CD - 8\pi \) (cm²). Câu 9. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định diện tích của tam giác đều ABC và hình vuông PQRL. 2. Xác định diện tích phần chung của tam giác và hình vuông. Bước 1: Xác định diện tích của tam giác đều ABC và hình vuông PQRL. - Tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O;1) có bán kính R = 1. Diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn có công thức: \[ S_{ABC} = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \] - Hình vuông PQRL nội tiếp đường tròn (O;1) có bán kính R = 1. Diện tích hình vuông nội tiếp đường tròn có công thức: \[ S_{PQRL} = 2R^2 = 2 \times 1^2 = 2 \] Bước 2: Xác định diện tích phần chung của tam giác và hình vuông. - Vì một cạnh của tam giác đều song song với một cạnh của hình vuông, nên phần chung giữa tam giác và hình vuông là một hình tam giác đều nhỏ hơn, nằm ở góc của hình vuông. - Diện tích phần chung này là một phần của diện tích tam giác đều ABC và cũng là một phần của diện tích hình vuông PQRL. Ta có thể thấy rằng phần chung này chiếm 1/4 diện tích của tam giác đều ABC. Do đó, diện tích phần chung là: \[ S_{chung} = \frac{1}{4} \times S_{ABC} = \frac{1}{4} \times \frac{3\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{16} \] Đáp số: Diện tích phần chung của tam giác và hình vuông là $\frac{3\sqrt{3}}{16}$. Câu 16. Để tính diện tích phần tô đậm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD: Diện tích hình chữ nhật ABCD là: \[ S_{ABCD} = AB \times AD = 6 \text{ cm} \times 10 \text{ mm} = 6 \text{ cm} \times 1 \text{ cm} = 6 \text{ cm}^2 \] 2. Tính diện tích nửa đường tròn tâm A: Nửa đường tròn tâm A có bán kính là 6 cm, diện tích nửa đường tròn này là: \[ S_{A} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (6)^2 = \frac{1}{2} \pi \times 36 = 18\pi \text{ cm}^2 \] 3. Tính diện tích nửa đường tròn tâm C: Nửa đường tròn tâm C có bán kính là 10 mm = 1 cm, diện tích nửa đường tròn này là: \[ S_{C} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (1)^2 = \frac{1}{2} \pi \times 1 = \frac{1}{2}\pi \text{ cm}^2 \] 4. Tính diện tích phần chung của hai nửa đường tròn: Phần chung của hai nửa đường tròn là hình tròn tâm E hoặc F với bán kính là 1 cm, diện tích hình tròn này là: \[ S_{E} = \pi r^2 = \pi (1)^2 = \pi \text{ cm}^2 \] 5. Tính diện tích phần tô đậm: Diện tích phần tô đậm là tổng diện tích hai nửa đường tròn trừ đi diện tích hình chữ nhật và diện tích phần chung: \[ S_{tô đậm} = S_{A} + S_{C} - S_{ABCD} - S_{E} \] Thay các giá trị đã tính vào: \[ S_{tô đậm} = 18\pi + \frac{1}{2}\pi - 6 - \pi = 18\pi + \frac{1}{2}\pi - \pi - 6 = 17.5\pi - 6 \text{ cm}^2 \] Vậy diện tích phần tô đậm là: \[ 17.5\pi - 6 \text{ cm}^2 \] Bài 1: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. 1. Khẳng định 1: Tam giác ABC đều có ba góc bằng nhau. - Trong tam giác đều, tất cả các góc đều bằng nhau và mỗi góc bằng 60°. - Vậy khẳng định này là đúng (Đ). 2. Khẳng định 2: Tam giác ABC đều có ba cạnh bằng nhau. - Trong tam giác đều, tất cả các cạnh đều bằng nhau. - Vậy khẳng định này là đúng (Đ). 3. Khẳng định 3: Tam giác ABC đều có đường cao bằng đường trung tuyến. - Trong tam giác đều, đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung trực của mỗi cạnh đều trùng nhau. - Vậy khẳng định này là đúng (Đ). 4. Khẳng định 4: Tam giác ABC đều có diện tích bằng $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2$. - Công thức tính diện tích của tam giác đều là $\frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2$, trong đó $a$ là độ dài cạnh của tam giác đều. - Với $a = 8$ cm, diện tích tam giác ABC là $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64 = 16\sqrt{3}$ cm². - Vậy khẳng định này là đúng (Đ). Tóm lại, tất cả các khẳng định đều đúng. Đáp án: Đ, Đ, Đ, Đ