Bài 7:
Để tìm tất cả các số tự nhiên sao cho , trong đó là tổng các chữ số của , chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định khoảng giá trị của :
- phải là số tự nhiên, do đó .
- là tổng các chữ số của , do đó .
2. Xét trường hợp có 4 chữ số:
- Giả sử có dạng (với là các chữ số).
- .
- Ta có .
- Vì , nên .
3. Kiểm tra các giá trị của :
- phải là số lớn nhất sao cho . Do đó, có thể là 1 hoặc 2.
- Nếu :
- phải là số lớn nhất sao cho . Do đó, .
- Ta có .
- phải là số lớn nhất sao cho . Do đó, .
- Ta có (không thỏa mãn vì phải là số tự nhiên).
- Vậy không thỏa mãn.
- Nếu :
- phải là số lớn nhất sao cho . Do đó, .
- Ta có .
- phải là số lớn nhất sao cho . Do đó, .
- Ta có (không thỏa mãn vì phải là số tự nhiên).
- Vậy không thỏa mãn.
4. Xét trường hợp có 3 chữ số:
- Giả sử có dạng (với là các chữ số).
- .
- Ta có .
- Vì , nên .
5. Kiểm tra các giá trị của :
- phải là số lớn nhất sao cho . Do đó, có thể là 19 hoặc 20.
- Nếu :
- phải là số lớn nhất sao cho . Do đó, .
- Ta có (không thỏa mãn vì phải là số tự nhiên).
- Vậy không thỏa mãn.
- Nếu :
- Điều này không thể xảy ra vì phải là số dương.
6. Xét trường hợp có 2 chữ số:
- Giả sử có dạng (với là các chữ số).
- .
- Ta có .
- Vì , nên .
7. Kiểm tra các giá trị của :
- phải là số lớn nhất sao cho . Do đó, có thể là 182 hoặc 183.
- Nếu :
- Vậy và .
- Kiểm tra: (không thỏa mãn).
- Nếu :
- Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ số thập phân:
Bước 4: Chuyển vế và rút gọn
- Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế:
- Chia cả hai vế cho 3:
Bước 5: Tìm các giá trị của , , và
- Vì , , và là các chữ số khác nhau và , ta thử các giá trị từ 1 đến 9.
- Thử :
(không thỏa mãn vì phải là số dương)
- Thử :
(không thỏa mãn vì phải là số dương)
- Thử :
(không thỏa mãn vì phải là số dương)
- Thử :
(không thỏa mãn vì phải là số dương)
- Thử :
(không thỏa mãn vì phải là số dương)
- Thử :
(không thỏa mãn vì phải là số dương)
- Thử :
(không thỏa mãn vì phải là số dương)
- Thử :
(không thỏa mãn vì phải là số dương)
- Thử :
(không thỏa mãn vì phải là số dương)
Do đó, không có giá trị nào của , , và thỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài 9:
Để tìm các thừa số của tích, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định các thông tin đã biết:
- Tích ban đầu của hai số là 6210.
- Nếu giảm một thừa số đi 7 đơn vị thì tích mới là 5265.
2. Xác định hiệu giữa hai tích:
- Hiệu giữa tích ban đầu và tích mới là:
3. Xác định thừa số còn lại:
- Khi giảm một thừa số đi 7 đơn vị, tích giảm đi 945. Điều này có nghĩa là thừa số còn lại nhân với 7 sẽ bằng 945.
- Ta có:
- Do đó, thừa số còn lại là:
4. Xác định thừa số đã bị giảm:
- Biết rằng tích ban đầu của hai số là 6210 và một thừa số là 135, ta có thể tìm thừa số còn lại bằng cách chia 6210 cho 135:
5. Kiểm tra lại:
- Nếu giảm thừa số 46 đi 7 đơn vị, ta có:
- Tích mới là:
- Kết quả đúng với đề bài.
Vậy các thừa số của tích là 46 và 135.
Bài 10:
Gọi số có 5 chữ số là abcde. Viết thêm chữ số y vào bên phải ta được số abcdey. Viết thêm chữ số y vào bên trái ta được số yabcde.
Theo đề bài ta có: abcdey = 3 × yabcde
Số abcdey có chữ số y ở hàng đơn vị, vậy số yabcde có chữ số y ở hàng chục. Do đó, ta có thể viết lại số abcdey thành abcde0 + y và số yabcde thành y0000 + abcde.
Thay vào biểu thức trên ta có:
abcde0 + y = 3 × (y0000 + abcde)
Mở ngoặc và sắp xếp lại ta có:
abcde0 + y = 3y0000 + 3abcde
Di chuyển các hạng tử liên quan đến abcde sang một vế và các hạng tử liên quan đến y sang vế còn lại:
abcde0 - 3abcde = 3y0000 - y
Rút gọn biểu thức:
abcde × 10 - abcde × 3 = y × 30000 - y
abcde × 7 = y × 29999
Từ đây, ta thấy rằng abcde phải là bội của 29999 và y phải là bội của 7. Ta thử các giá trị của y từ 1 đến 9 để tìm giá trị phù hợp.
- Nếu y = 1, abcde = = 4285, không phải số có 5 chữ số.
- Nếu y = 2, abcde = = 8571, không phải số có 5 chữ số.
- Nếu y = 3, abcde = = 12857, không phải số có 5 chữ số.
- Nếu y = 4, abcde = = 17142, không phải số có 5 chữ số.
- Nếu y = 5, abcde = = 21428, không phải số có 5 chữ số.
- Nếu y = 6, abcde = = 25714, không phải số có 5 chữ số.
- Nếu y = 7, abcde = = 29999, đúng là số có 5 chữ số.
Vậy chữ số y là 7 và số có 5 chữ số là 29999.
Đáp số: Chữ số y là 7 và số có 5 chữ số là 29999.
Bài 11:
Gọi số cần tìm là (đk: )
Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta được số .
Theo đề bài ta có:
(Phân tích cấu tạo số)
(Trừ cả hai vế cho
(Nhóm các số hạng giống nhau)
(Chia cả 2 vế cho 9)
Vậy số cần tìm là 123.
Bài 12:
Gọi số bé là và số lớn là .
Theo đề bài, ta có:
Thêm chữ số 1 vào bên phải số bé ta được số mới là . Tổng mới là:
Bây giờ, ta có hai phương trình:
1.
2.
Ta sẽ trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai:
Thay vào phương trình :
Vậy số lớn là 84.
Đáp số: 84