giúp mik với

Câu 8: Để tìm tâm của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2~\underline{-4}x-2y+4z+1=0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình mặt cầu dưới dạng chuẩn: Phương trình mặt cầu có dạng chuẩn là $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó $(a, b, c)$ là tọa độ tâm của mặt cầu và $R$ là bán kính. 2. Hoàn thành bình phương: Ta sẽ hoàn thành bình phương cho các hạng tử liên quan đến $x$, $y$, và $z$. - Đối với $x$: \[ x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 \] - Đối với $y$: \[ y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1 \] - Đối với $z$: \[ z^2 + 4z = (z + 2)^2 - 4 \] 3. Thay vào phương trình ban đầu: Thay các biểu thức đã hoàn thành bình phương vào phương trình ban đầu: \[ (x - 2)^2 - 4 + (y - 1)^2 - 1 + (z + 2)^2 - 4 + 1 = 0 \] Gộp các hằng số lại: \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 - 8 = 0 \] Di chuyển hằng số sang phía bên phải: \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 8 \] 4. Nhận diện tâm và bán kính: So sánh với dạng chuẩn $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, ta thấy: \[ a = 2, \quad b = 1, \quad c = -2, \quad R^2 = 8 \] Vậy tâm của mặt cầu $(S)$ là điểm có tọa độ $(2, 1, -2)$. Đáp án: $A.~(2;1;-2)$ Câu 9: Để tính xác suất $P(A|B)$, ta sử dụng công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Vì hai biến cố A và B là độc lập, nên ta có: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \] Thay vào công thức xác suất điều kiện, ta được: \[ P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} \] Rút gọn biểu thức trên, ta có: \[ P(A|B) = P(A) \] Biết rằng $P(A) = 0,2025$, nên: \[ P(A|B) = 0,2025 \] Vậy đáp án đúng là C. 0,2025. Câu 10: Để xác định khẳng định đúng về xác suất điều kiện \( P(A|B) \), ta cần dựa vào công thức xác suất điều kiện. Công thức xác suất điều kiện của biến cố \( A \) cho biết biến cố \( B \) đã xảy ra được định nghĩa như sau: \[ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \] Trong đó: - \( P(AB) \) là xác suất của cả hai biến cố \( A \) và \( B \) cùng xảy ra. - \( P(B) \) là xác suất của biến cố \( B \). Do đó, khẳng định đúng là: \[ A.~P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}. \] Lập luận từng bước: 1. Xác suất điều kiện \( P(A|B) \) là xác suất của biến cố \( A \) khi biết rằng biến cố \( B \) đã xảy ra. 2. Theo định nghĩa, \( P(A|B) \) được tính bằng cách chia xác suất của cả hai biến cố \( A \) và \( B \) cùng xảy ra (\( P(AB) \)) cho xác suất của biến cố \( B \) (\( P(B) \)). 3. Do đó, công thức đúng là \( P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \). Vậy khẳng định đúng là: \[ \boxed{A.~P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}}. \] Câu 11. Để tính xác suất của biến cố A, ta sử dụng công thức xác suất tổng hợp: \[ P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(\overline{B}) \cdot P(A|\overline{B}) \] Trước tiên, ta cần biết xác suất của biến cố $\overline{B}$, tức là biến cố B không xảy ra. Ta có: \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4 \] Bây giờ, ta thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(\overline{B}) \cdot P(A|\overline{B}) \] \[ P(A) = 0,6 \cdot 0,7 + 0,4 \cdot 0,4 \] Ta thực hiện phép nhân và cộng: \[ P(A) = 0,6 \cdot 0,7 + 0,4 \cdot 0,4 \] \[ P(A) = 0,42 + 0,16 \] \[ P(A) = 0,58 \] Vậy, xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = 0,58 \] Đáp án đúng là: B. 0,58 Câu 12. Để tính xác suất \( P(B | A) \), ta cần biết xác suất giao của hai biến cố \( A \) và \( B \), tức là \( P(A \cap B) \). Ta đã biết: - \( P(A) = 0,3 \) - \( P(B) = 0,4 \) - \( P(A | B) = 0,6 \) Theo công thức xác suất điều kiện, ta có: \[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Thay các giá trị đã biết vào công thức trên: \[ 0,6 = \frac{P(A \cap B)}{0,4} \] Từ đó, ta tính được \( P(A \cap B) \): \[ P(A \cap B) = 0,6 \times 0,4 = 0,24 \] Bây giờ, ta cần tính \( P(B | A) \). Theo công thức xác suất điều kiện: \[ P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \] Thay các giá trị đã biết vào công thức trên: \[ P(B | A) = \frac{0,24}{0,3} = 0,8 \] Vậy, \( P(B | A) = 0,8 \). Đáp án đúng là: D. 0,8. Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(0;2;-1)$ và $B(3;2;4)$ và mặt phẳng $(P):~2x+2y+z-6=0$. 1) a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{AB} = (3;0;5)$. b) Đường thẳng AB có phương trình tham số là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 + 3t \\ y = 2 + 0t \\ z = -1 + 5t \end{array} \right. \] Hay viết gọn lại: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3t \\ y = 2 \\ z = -1 + 5t \end{array} \right. \] c) Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P) là: \[ d(B, (P)) = \frac{|2 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 4 - 6|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|6 + 4 + 4 - 6|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{8}{3} \] d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình chính tắc là: \[ \frac{x - 0}{2} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{1} \] Hay viết gọn lại: \[ \frac{x}{2} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{1} \] Đáp số: a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{AB} = (3;0;5)$. b) Phương trình tham số của đường thẳng AB là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3t \\ y = 2 \\ z = -1 + 5t \end{array} \right. \] c) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) là $\frac{8}{3}$. d) Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \frac{x}{2} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{1} \] Câu 2. a) Xác suất của biến cố $\overline{A}$ là: \[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.7 = 0.3 \] b) Xác suất của biến cố B là: \[ P(B) = 0.425 \] c) Để kiểm tra hai biến cố A và B có độc lập hay không, ta cần so sánh \( P(A \cap B) \) với \( P(A) \cdot P(B) \). Xác suất của biến cố \( A \cap B \) (học sinh được chọn là nữ và đạt danh hiệu học sinh giỏi) là: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = 0.7 \cdot 0.35 = 0.245 \] Xác suất của biến cố \( \overline{A} \cap B \) (học sinh được chọn là nam và đạt danh hiệu học sinh giỏi) là: \[ P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A}) = 0.3 \cdot 0.6 = 0.18 \] Tổng xác suất của biến cố B là: \[ P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = 0.245 + 0.18 = 0.425 \] Ta thấy rằng: \[ P(A) \cdot P(B) = 0.7 \cdot 0.425 = 0.2975 \neq 0.245 \] Do đó, hai biến cố A và B không độc lập. d) Xác suất của biến cố A với điều kiện B xảy ra là: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.245}{0.425} = \frac{49}{85} \] Đáp số: a) \( P(\overline{A}) = 0.3 \) b) \( P(B) = 0.425 \) c) Hai biến cố A và B không độc lập. d) \( P(A|B) = \frac{49}{85} \)