giai giup toi bai nay voi

Câu 4: Để tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{1 + x - x^2}{1 - x + x^2}$, ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số. Công thức đạo hàm của thương hai hàm số là: \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: - \( u = 1 + x - x^2 \) - \( v = 1 - x + x^2 \) Bước 1: Tìm đạo hàm của \( u \) và \( v \). \[ u' = (1 + x - x^2)' = 1 - 2x \] \[ v' = (1 - x + x^2)' = -1 + 2x \] Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số. \[ y' = \frac{(1 - 2x)(1 - x + x^2) - (1 + x - x^2)(-1 + 2x)}{(1 - x + x^2)^2} \] Bước 3: Thực hiện phép nhân và trừ trong tử số. \[ (1 - 2x)(1 - x + x^2) = 1 - x + x^2 - 2x + 2x^2 - 2x^3 = 1 - 3x + 3x^2 - 2x^3 \] \[ (1 + x - x^2)(-1 + 2x) = -1 + 2x - x + 2x^2 + x^2 - 2x^3 = -1 + x + 3x^2 - 2x^3 \] Tử số là: \[ 1 - 3x + 3x^2 - 2x^3 - (-1 + x + 3x^2 - 2x^3) = 1 - 3x + 3x^2 - 2x^3 + 1 - x - 3x^2 + 2x^3 = 2 - 4x \] Bước 4: Viết lại đạo hàm của hàm số. \[ y' = \frac{2 - 4x}{(1 - x + x^2)^2} \] So sánh với dạng $y = \frac{ax + b}{(1 - x + x^2)^c}$, ta nhận thấy: - \( a = -4 \) - \( b = 2 \) - \( c = 2 \) Bước 5: Tính \( a \cdot b \cdot c \). \[ a \cdot b \cdot c = (-4) \cdot 2 \cdot 2 = -16 \] Vậy, \( a \cdot b \cdot c = -16 \). Câu 1: Để tính số tiền mua kim loại dùng để làm thiết bị, chúng ta cần tính thể tích của cả hai phần: phần dưới là khối lăng trụ tứ giác đều và phần trên là khối chóp tứ giác đều. Sau đó, nhân tổng thể tích này với giá tiền mua kim loại. Bước 1: Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều Khối lăng trụ tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh \( a \) và chiều cao \( h \). Thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều: \[ V_{\text{lăng trụ}} = a^2 \times h \] Trong bài toán, cạnh đáy \( a = 4 \, \text{cm} \) và chiều cao \( h = 6 \, \text{cm} \): \[ V_{\text{lăng trụ}} = 4^2 \times 6 = 16 \times 6 = 96 \, \text{cm}^3 \] Bước 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều Khối chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh \( a \) và chiều cao \( H \). Thể tích của khối chóp tứ giác đều: \[ V_{\text{chóp}} = \frac{1}{3} \times a^2 \times H \] Trong bài toán, cạnh đáy \( a = 4 \, \text{cm} \) và chiều cao \( H = 3 \, \text{cm} \): \[ V_{\text{chóp}} = \frac{1}{3} \times 4^2 \times 3 = \frac{1}{3} \times 16 \times 3 = 16 \, \text{cm}^3 \] Bước 3: Tính tổng thể tích của thiết bị Tổng thể tích của thiết bị: \[ V_{\text{tổng}} = V_{\text{lăng trụ}} + V_{\text{chóp}} = 96 + 16 = 112 \, \text{cm}^3 \] Bước 4: Tính số tiền mua kim loại Giá tiền mua kim loại là 2500 đồng/cm³: \[ \text{Số tiền} = V_{\text{tổng}} \times 2500 = 112 \times 2500 = 280000 \, \text{đồng} \] Chuyển đổi sang nghìn đồng: \[ \text{Số tiền} = \frac{280000}{1000} = 280 \, \text{nghìn đồng} \] Kết luận Số tiền mua kim loại dùng để làm thiết bị đó là 280 nghìn đồng. Đáp số: 280 nghìn đồng. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Tính $P(A)$ và $P(B)$ Biến cố A: "Tổng các số ghi trên ba tấm thẻ là 6" - Mỗi hộp có 3 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 3. - Số cách chọn 1 tấm thẻ từ mỗi hộp là 3. - Tổng số cách chọn 3 tấm thẻ từ 3 hộp là $3 \times 3 \times 3 = 27$ cách. Ta liệt kê các trường hợp thỏa mãn tổng các số trên ba tấm thẻ là 6: - (1, 2, 3) - (1, 3, 2) - (2, 1, 3) - (2, 3, 1) - (3, 1, 2) - (3, 2, 1) Như vậy, có 6 trường hợp thỏa mãn biến cố A. Suy ra xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{số trường hợp khả năng}} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9} \] Biến cố B: "Ba tấm thẻ có ghi số bằng nhau" - Các trường hợp thỏa mãn biến cố B là: - (1, 1, 1) - (2, 2, 2) - (3, 3, 3) Như vậy, có 3 trường hợp thỏa mãn biến cố B. Suy ra xác suất của biến cố B là: \[ P(B) = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{số trường hợp khả năng}} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9} \] b) Hỏi A và B có độc lập không? Hai biến cố A và B được coi là độc lập nếu: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \] Ta kiểm tra xem có trường hợp nào thỏa mãn cả hai biến cố A và B cùng lúc hay không: - Biến cố A yêu cầu tổng các số trên ba tấm thẻ là 6. - Biến cố B yêu cầu ba tấm thẻ có ghi số bằng nhau. Nhìn vào các trường hợp đã liệt kê, ta thấy không có trường hợp nào thỏa mãn cả hai điều kiện này cùng lúc. Do đó: \[ P(A \cap B) = 0 \] Mặt khác: \[ P(A) \times P(B) = \frac{2}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{2}{81} \] Vì $P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)$, nên hai biến cố A và B không độc lập. Đáp số: \[ P(A) = \frac{2}{9}, \quad P(B) = \frac{1}{9} \] A và B không độc lập. Câu 3: Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P) tại các điểm đã cho, ta sẽ sử dụng đạo hàm để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại mỗi điểm. a) Tại điểm $(-1;1)$ 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số của parabol là $y = x^2$. Đạo hàm của hàm số này là: \[ y' = 2x \] 2. Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $(-1;1)$: Thay $x = -1$ vào đạo hàm: \[ y'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $(-1;1)$ là $-2$. b) Tại giao điểm của (P) với đường thẳng $y = -3x + 2$ 1. Tìm tọa độ giao điểm: Để tìm giao điểm của parabol $y = x^2$ và đường thẳng $y = -3x + 2$, ta giải phương trình: \[ x^2 = -3x + 2 \] Đặt phương trình về dạng chuẩn: \[ x^2 + 3x - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với $a = 1$, $b = 3$, $c = -2$: \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2} \] Vậy hai nghiệm là: \[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \] 2. Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại mỗi giao điểm: - Tại điểm có hoành độ $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$: \[ y'\left(\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}\right) = 2 \cdot \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} = -3 + \sqrt{17} \] - Tại điểm có hoành độ $x_2 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}$: \[ y'\left(\frac{-3 - \sqrt{17}}{2}\right) = 2 \cdot \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} = -3 - \sqrt{17} \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P): - Tại điểm $(-1;1)$ là $-2$. - Tại giao điểm của (P) với đường thẳng $y = -3x + 2$ là $-3 + \sqrt{17}$ và $-3 - \sqrt{17}$.