cgbjbbjfjdkdjd

Câu 10: Để tìm đạo hàm của hàm số $y = x^4 - 3x^2 + 2x - 1$, ta áp dụng công thức đạo hàm của tổng, hiệu và lũy thừa. 1. Đạo hàm của $x^4$ là $4x^3$. 2. Đạo hàm của $-3x^2$ là $-6x$. 3. Đạo hàm của $2x$ là $2$. 4. Đạo hàm của hằng số $-1$ là $0$. Vậy đạo hàm của hàm số $y = x^4 - 3x^2 + 2x - 1$ là: \[ y' = 4x^3 - 6x + 2 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~y^\prime=4x^3-6x+2} \] Câu 11: Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 - 2x^2 + x - 1$ tại điểm $M(-1; -5)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = x^3 - 2x^2 + x - 1$. \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + x - 1) = 3x^2 - 4x + 1 \] Bước 2: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $x = -1$. \[ y'(-1) = 3(-1)^2 - 4(-1) + 1 = 3 + 4 + 1 = 8 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $M(-1; -5)$ là $k = 8$. Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M(-1; -5)$. Phương trình tiếp tuyến có dạng: \[ y = k(x - x_0) + y_0 \] Trong đó, $(x_0, y_0) = (-1, -5)$ và $k = 8$. Thay vào ta có: \[ y = 8(x + 1) - 5 \] \[ y = 8x + 8 - 5 \] \[ y = 8x + 3 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 - 2x^2 + x - 1$ tại điểm $M(-1; -5)$ là: \[ y = 8x + 3 \] Đáp án đúng là: A. $y = 8x + 3$. Câu 12: Để tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \), ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số. Công thức đạo hàm của thương hai hàm số \( f(x) \) và \( g(x) \) là: \[ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \] Trong đó: - \( f(x) = x^2 - x + 1 \) - \( g(x) = x - 1 \) Bước 1: Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = (x^2 - x + 1)' = 2x - 1 \] Bước 2: Tính đạo hàm của \( g(x) \): \[ g'(x) = (x - 1)' = 1 \] Bước 3: Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \left( \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \right)' = \frac{(2x - 1)(x - 1) - (x^2 - x + 1)(1)}{(x - 1)^2} \] Bước 4: Thực hiện phép nhân và trừ trong tử số: \[ (2x - 1)(x - 1) = 2x^2 - 2x - x + 1 = 2x^2 - 3x + 1 \] \[ (x^2 - x + 1)(1) = x^2 - x + 1 \] Do đó: \[ y' = \frac{2x^2 - 3x + 1 - (x^2 - x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 3x + 1 - x^2 + x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~y' = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}} \] Câu 1: Để giải quyết các câu hỏi về hình chóp S.ABCD, ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. a) CD ⊥ SD - Vì đáy ABCD là hình vuông, nên CD ⊥ AD. - SA ⊥ ABCD, do đó SA ⊥ CD. - Kết hợp hai điều trên, ta có CD ⊥ mặt phẳng SAD. - Do SD nằm trong mặt phẳng SAD, nên CD ⊥ SD. Đáp án: Đúng (Đ) b) SOC ⊥ SBD - Ta cần kiểm tra xem SO và OC có tạo thành đường thẳng vuông góc với SBD hay không. - Vì SO là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD, nên SO ⊥ ABCD. - Mặt khác, OC nằm trong mặt phẳng ABCD, do đó SO ⊥ OC. - Để chứng minh SOC ⊥ SBD, ta cần kiểm tra thêm xem OC có vuông góc với SBD hay không. - Vì OC ⊂ ABCD và SBD cắt ABCD theo đường BD, ta cần kiểm tra xem OC có vuông góc với BD hay không. - OC là đường chéo của hình vuông ABCD, do đó OC ⊥ BD. - Kết hợp SO ⊥ BD và OC ⊥ BD, ta có SOC ⊥ SBD. Đáp án: Đúng (Đ) c) Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$ - Diện tích đáy ABCD là $a^2$. - Chiều cao SA của chóp S.ABCD là $a$ (vì SA ⊥ ABCD và SA = a). - Thể tích của chóp S.ABCD là: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} = \frac{1}{3} \times a^2 \times a = \frac{a^3}{3} \] Đáp án: Sai (S) d) Góc giữa SC và mp(SAB) bằng α thì $\tan \alpha = \sqrt{2}$ - Ta cần tìm góc giữa SC và mặt phẳng SAB. - Gọi H là chân đường cao hạ từ C xuống mặt phẳng SAB. - Vì SA ⊥ ABCD, nên SA ⊥ AB và SA ⊥ AD. - Mặt khác, AB ⊥ AD, nên AB ⊥ mặt phẳng SAD. - Do đó, AB ⊥ SH. - Kết hợp AB ⊥ SH và SA ⊥ AB, ta có SH ⊥ AB. - Vậy SH là đường cao hạ từ C xuống mặt phẳng SAB. - Ta có: \[ \tan \alpha = \frac{CH}{SH} \] - Vì CH = a và SH = a√2, nên: \[ \tan \alpha = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \] Đáp án: Đúng (Đ) Tổng kết: - a) Đúng (Đ) - b) Đúng (Đ) - c) Sai (S) - d) Đúng (Đ) Câu 2: Để kiểm tra tính đúng đắn của các phát biểu, chúng ta sẽ lần lượt xem xét từng phát biểu một. a) Kiểm tra tính chẵn lẻ của hàm số: \[ f(x) = e^x - e^{-x} \] \[ f(-x) = e^{-x} - e^{x} = -(e^x - e^{-x}) = -f(x) \] Do đó, \( f(x) = -f(-x) \), vậy hàm số \( f(x) \) là hàm lẻ. Phát biểu này đúng. b) Tính đạo hàm của hàm số: \[ f(x) = e^x - e^{-x} \] \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) - \frac{d}{dx}(e^{-x}) = e^x + e^{-x} \] Phát biểu này đúng. c) Xác định tập xác định của hàm số: Hàm số \( f(x) = e^x - e^{-x} \) là tổng của hai hàm số \( e^x \) và \( e^{-x} \), cả hai đều có tập xác định là \( \mathbb{R} \). Do đó, tập xác định của \( f(x) \) cũng là \( \mathbb{R} \). Phát biểu này sai vì \( D = \mathbb{R} \), không phải \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \). d) Giải phương trình đạo hàm: \[ f'(x) = 2 \] \[ e^x + e^{-x} = 2 \] Nhân cả hai vế với \( e^x \): \[ e^{2x} + 1 = 2e^x \] \[ e^{2x} - 2e^x + 1 = 0 \] Đặt \( t = e^x \), ta có: \[ t^2 - 2t + 1 = 0 \] \[ (t - 1)^2 = 0 \] \[ t = 1 \] \[ e^x = 1 \] \[ x = 0 \] Phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất \( x = 0 \). Phát biểu này sai vì phương trình chỉ có một nghiệm. Kết luận: - Phát biểu a) đúng. - Phát biểu b) đúng. - Phát biểu c) sai. - Phát biểu d) sai. Câu 1: Để tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \( t = 3 \) giây, ta cần tìm đạo hàm của phương trình chuyển động \( S(t) \) theo thời gian \( t \). Phương trình chuyển động được cho là: \[ S(t) = t^3 + 3t^2 + 5t + 2 \] Bước 1: Tìm đạo hàm của \( S(t) \) để xác định vận tốc tức thời \( v(t) \): \[ v(t) = \frac{dS}{dt} \] Áp dụng công thức đạo hàm của các hàm đa thức: \[ \frac{d}{dt}(t^3) = 3t^2 \] \[ \frac{d}{dt}(3t^2) = 6t \] \[ \frac{d}{dt}(5t) = 5 \] \[ \frac{d}{dt}(2) = 0 \] Do đó: \[ v(t) = 3t^2 + 6t + 5 \] Bước 2: Thay \( t = 3 \) vào biểu thức của \( v(t) \) để tìm vận tốc tức thời tại thời điểm \( t = 3 \) giây: \[ v(3) = 3(3)^2 + 6(3) + 5 \] \[ v(3) = 3 \cdot 9 + 6 \cdot 3 + 5 \] \[ v(3) = 27 + 18 + 5 \] \[ v(3) = 50 \] Vậy vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \( t = 3 \) giây là 50 m/s. Câu 2: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6. Người đó bắn hai viên đạn một cách độc lập. Tính xác suất để có ít nhất một viên đạn trúng mục tiêu. (0,84). Để tính xác suất để có ít nhất một viên đạn trúng mục tiêu, ta có thể tính xác suất để cả hai viên đạn đều không trúng mục tiêu và sau đó lấy 1 trừ đi xác suất này. Xác suất để một viên đạn không trúng mục tiêu là: \[ 1 - 0,6 = 0,4 \] Xác suất để cả hai viên đạn đều không trúng mục tiêu là: \[ 0,4 \times 0,4 = 0,16 \] Vậy xác suất để có ít nhất một viên đạn trúng mục tiêu là: \[ 1 - 0,16 = 0,84 \] Đáp số: 0,84 Câu 3: Để giải quyết bài toán biến đổi và tính toán lôgarit, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định dạng bài toán: Xác định bài toán yêu cầu biến đổi và tính toán lôgarit theo công thức nào. 2. Áp dụng các công thức lôgarit: Sử dụng các công thức cơ bản của lôgarit để biến đổi biểu thức. 3. Tính toán: Thực hiện các phép tính cần thiết để tìm kết quả cuối cùng. Dưới đây là một ví dụ cụ thể về bài toán biến đổi và tính toán lôgarit: Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức \( A = \log_{2} 8 + \log_{3} 9 - \log_{5} 25 \). Bước 1: Xác định dạng bài toán - Biểu thức \( A = \log_{2} 8 + \log_{3} 9 - \log_{5} 25 \) bao gồm các lôgarit cơ bản. Bước 2: Áp dụng các công thức lôgarit - Ta biết rằng \( \log_{a} a^b = b \). Do đó: - \( \log_{2} 8 = \log_{2} 2^3 = 3 \) - \( \log_{3} 9 = \log_{3} 3^2 = 2 \) - \( \log_{5} 25 = \log_{5} 5^2 = 2 \) Bước 3: Tính toán - Thay các giá trị đã tìm được vào biểu thức: \[ A = 3 + 2 - 2 = 3 \] Kết luận: Giá trị của biểu thức \( A = \log_{2} 8 + \log_{3} 9 - \log_{5} 25 \) là 3. Đây là cách giải chi tiết cho bài toán biến đổi và tính toán lôgarit. Bạn có thể áp dụng phương pháp này cho các bài toán tương tự. Câu 3.1: Điều kiện: $a, b > 0$ và $a, b \neq 1$. Ta có: \[ \ln a + \ln (8b) = 2 \ln (a + 2b) \] Áp dụng tính chất của lôgarit: \[ \ln (a \cdot 8b) = \ln ((a + 2b)^2) \] Do đó: \[ a \cdot 8b = (a + 2b)^2 \] Phát triển vế phải: \[ 8ab = a^2 + 4ab + 4b^2 \] Rearrange the equation: \[ a^2 - 4ab + 4b^2 = 0 \] Nhận thấy đây là một phương trình bậc hai hoàn chỉnh: \[ (a - 2b)^2 = 0 \] Vậy: \[ a - 2b = 0 \implies a = 2b \] Bây giờ, ta sẽ rút gọn biểu thức \( P \): \[ P = \log_b (2a) + \log_{\frac{a}{2}} (2b) - \frac{1}{\log_s b} \] Thay \( a = 2b \) vào biểu thức: \[ P = \log_b (2 \cdot 2b) + \log_{\frac{2b}{2}} (2b) - \frac{1}{\log_s b} \] \[ P = \log_b (4b) + \log_b (2b) - \frac{1}{\log_s b} \] Áp dụng tính chất của lôgarit: \[ P = \log_b 4 + \log_b b + \log_b 2 + \log_b b - \frac{1}{\log_s b} \] \[ P = \log_b 4 + 1 + \log_b 2 + 1 - \frac{1}{\log_s b} \] \[ P = \log_b 4 + \log_b 2 + 2 - \frac{1}{\log_s b} \] Biến đổi tiếp: \[ P = \log_b (4 \cdot 2) + 2 - \frac{1}{\log_s b} \] \[ P = \log_b 8 + 2 - \frac{1}{\log_s b} \] Vì \( \log_b 8 = 3 \log_b 2 \): \[ P = 3 \log_b 2 + 2 - \frac{1}{\log_s b} \] Tuy nhiên, để đơn giản hơn, ta nhận thấy rằng \( \log_b 8 = 3 \log_b 2 \) và \( \log_b 2 = 1 \): \[ P = 3 + 2 - \frac{1}{\log_s b} \] \[ P = 5 - \frac{1}{\log_s b} \] Vậy, biểu thức \( P \) được rút gọn thành: \[ P = 5 - \frac{1}{\log_s b} \] Câu 3.2: Để tính \( Q = \log_a(b^2c^3) \), ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit. Trước tiên, ta áp dụng tính chất logarit của một tích: \[ \log_a(b^2c^3) = \log_a(b^2) + \log_a(c^3) \] Tiếp theo, ta áp dụng tính chất logarit của lũy thừa: \[ \log_a(b^2) = 2 \log_a(b) \] \[ \log_a(c^3) = 3 \log_a(c) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \log_a(b) = 2 \] \[ \log_a(c) = 3 \] Do đó: \[ \log_a(b^2) = 2 \cdot 2 = 4 \] \[ \log_a(c^3) = 3 \cdot 3 = 9 \] Cuối cùng, cộng hai kết quả lại: \[ Q = \log_a(b^2) + \log_a(c^3) = 4 + 9 = 13 \] Vậy giá trị của \( Q \) là: \[ Q = 13 \] Câu 3.3: Ta có: \[ x^2 + y^2 = 14xy \] Cộng cả hai vế với \(2xy\): \[ x^2 + y^2 + 2xy = 14xy + 2xy \] \[ (x + y)^2 = 16xy \] Lấy căn bậc hai cả hai vế: \[ x + y = 4\sqrt{xy} \] Bây giờ, ta sẽ tính \(\log_2(x + y)\): \[ \log_2(x + y) = \log_2(4\sqrt{xy}) \] Áp dụng tính chất của logarit: \[ \log_2(4\sqrt{xy}) = \log_2(4) + \log_2(\sqrt{xy}) \] \[ = \log_2(2^2) + \log_2((xy)^{1/2}) \] \[ = 2 + \frac{1}{2}\log_2(xy) \] Theo đề bài, ta có: \[ \log_2(x + y) = a + \frac{\log_2(xy)}{a} \] Do đó: \[ 2 + \frac{1}{2}\log_2(xy) = a + \frac{\log_2(xy)}{a} \] Gọi \(t = \log_2(xy)\), ta có: \[ 2 + \frac{1}{2}t = a + \frac{t}{a} \] Nhân cả hai vế với \(2a\) để loại bỏ mẫu số: \[ 4a + at = 2a^2 + 2t \] Rearrange the equation: \[ 2a^2 - 4a + t(2 - a) = 0 \] Phân tích phương trình này theo \(t\): \[ t(2 - a) = 2a^2 - 4a \] Nếu \(a \neq 2\), ta có thể chia cả hai vế cho \(2 - a\): \[ t = \frac{2a^2 - 4a}{2 - a} \] Tuy nhiên, để đơn giản hơn, ta thử \(a = 2\): \[ 2 + \frac{1}{2}t = 2 + \frac{t}{2} \] Điều này đúng với mọi \(t\). Do đó, \(a = 2\) là nghiệm thỏa mãn. Vậy giá trị của \(a\) là: \[ \boxed{2} \]