vvkvj. j hj.

Câu 1. Để chứng minh hai đường thẳng, hai vectơ hoặc hai đường thẳng vuông góc với nhau, ta có thể áp dụng các phương pháp sau: 1. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: - Phương pháp 1: Sử dụng tính chất của tam giác vuông. - Nếu hai đường thẳng tạo thành một góc vuông (90°), thì chúng vuông góc với nhau. - Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của đường trung trực. - Nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của một đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó, thì nó là đường trung trực của đoạn thẳng đó. - Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của đường cao trong tam giác. - Đường cao hạ từ đỉnh của tam giác vuông đến cạnh đáy sẽ vuông góc với cạnh đáy. 2. Chứng minh hai vectơ vuông góc: - Phương pháp 1: Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ. - Hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau nếu tích vô hướng của chúng bằng 0, tức là $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. - Phương pháp 2: Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ. - Góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là 90° nếu $\cos(\theta) = 0$, tức là $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(90^\circ) = 0$. 3. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian: - Phương pháp 1: Sử dụng vectơ chỉ phương của hai đường thẳng. - Nếu vectơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau, thì hai đường thẳng đó vuông góc với nhau. - Phương pháp 2: Sử dụng phương trình tham số của hai đường thẳng. - Nếu vectơ chỉ phương của hai đường thẳng có tích vô hướng bằng 0, thì hai đường thẳng đó vuông góc với nhau. Ví dụ cụ thể: Giả sử ta có hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) trong không gian với vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec{u} = (a_1, b_1, c_1)\) và \(\vec{v} = (a_2, b_2, c_2)\). Để chứng minh \(d_1\) và \(d_2\) vuông góc với nhau, ta kiểm tra tích vô hướng của \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\): \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 \] Nếu \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\), thì \(d_1\) và \(d_2\) vuông góc với nhau. Kết luận: Để chứng minh quan hệ vuông góc, ta cần áp dụng các phương pháp phù hợp dựa trên ngữ cảnh của bài toán. Các phương pháp này bao gồm việc sử dụng tính chất của tam giác vuông, đường trung trực, đường cao, tích vô hướng của vectơ, và phương trình tham số của đường thẳng. Câu 2. Để tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian, ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \): \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Bước 1: Xác định tọa độ của hai điểm \( A \) và \( B \). Giả sử tọa độ của điểm \( A \) là \( (x_1, y_1, z_1) \) và tọa độ của điểm \( B \) là \( (x_2, y_2, z_2) \). Bước 2: Thay tọa độ của hai điểm vào công thức khoảng cách. \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Bước 3: Tính toán từng phần trong công thức. - Tính \( x_2 - x_1 \) - Tính \( y_2 - y_1 \) - Tính \( z_2 - z_1 \) Bước 4:平方每个差值并求和。 \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Bước 5: 求平方根以得到最终的距离。 \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] 示例： 假设点A的坐标为(1, 2, 3)，点B的坐标为(4, 5, 6)。 1. 确定两点的坐标： \( A(1, 2, 3) \) \( B(4, 5, 6) \) 2. 将坐标代入距离公式： \[ AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 2)^2 + (6 - 3)^2} \] 3. 计算每个差值： \( 4 - 1 = 3 \) \( 5 - 2 = 3 \) \( 6 - 3 = 3 \) 4. 平方每个差值并求和： \[ AB = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2} \] \[ AB = \sqrt{9 + 9 + 9} \] \[ AB = \sqrt{27} \] \[ AB = 3\sqrt{3} \] 因此，点A和点B之间的距离是 \( 3\sqrt{3} \)。 Câu 3. Để giải quyết các bài toán vận dụng cao liên quan đến định nghĩa đạo hàm, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức về giới hạn và đạo hàm đã học ở lớp 11. Dưới đây là một ví dụ cụ thể về cách lập luận từng bước để giải quyết một bài toán như vậy. Ví dụ: Cho hàm số \( f(x) = x^2 + 3x - 2 \). Tính đạo hàm của hàm số này tại điểm \( x = 1 \). Bước 1: Xác định đạo hàm theo định nghĩa Theo định nghĩa đạo hàm, đạo hàm của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x = a \) được tính bằng: \[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \] Bước 2: Thay \( a = 1 \) vào định nghĩa \[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} \] Bước 3: Tính \( f(1 + h) \) và \( f(1) \) - \( f(1 + h) = (1 + h)^2 + 3(1 + h) - 2 \) \[ = 1 + 2h + h^2 + 3 + 3h - 2 \] \[ = h^2 + 5h + 2 \] - \( f(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 - 2 \) \[ = 1 + 3 - 2 \] \[ = 2 \] Bước 4: Thay vào biểu thức đạo hàm \[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(h^2 + 5h + 2) - 2}{h} \] \[ = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + 5h}{h} \] \[ = \lim_{h \to 0} (h + 5) \] Bước 5: Tính giới hạn \[ f'(1) = \lim_{h \to 0} (h + 5) = 5 \] Kết luận: Đạo hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + 3x - 2 \) tại điểm \( x = 1 \) là 5. Qua ví dụ trên, chúng ta thấy rằng việc áp dụng định nghĩa đạo hàm đòi hỏi sự cẩn thận trong việc tính toán và thao tác với giới hạn. Các bước này giúp đảm bảo rằng chúng ta đã hiểu rõ và áp dụng đúng kiến thức về đạo hàm.