Bhfubggbcfhbb

Câu 1: Để tính tích phân $\int 12e^{-4x-4} \, dx$, ta thực hiện các bước sau: 1. Nhận biết dạng tích phân: Tích phân có dạng $\int ae^{bx+c} \, dx$ với $a = 12$, $b = -4$, và $c = -4$. 2. Áp dụng công thức tích phân cơ bản: Ta biết rằng $\int e^{ax+b} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C$. Do đó, áp dụng vào bài toán: \[ \int 12e^{-4x-4} \, dx = 12 \int e^{-4x-4} \, dx \] 3. Tính tích phân từng phần: Áp dụng công thức trên, ta có: \[ \int e^{-4x-4} \, dx = \frac{1}{-4} e^{-4x-4} + C = -\frac{1}{4} e^{-4x-4} + C \] 4. Nhân với hằng số 12: \[ 12 \int e^{-4x-4} \, dx = 12 \left( -\frac{1}{4} e^{-4x-4} + C \right) = -3 e^{-4x-4} + C \] Do đó, tích phân $\int 12e^{-4x-4} \, dx$ là $-3e^{-4x-4} + C$. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{-3e^{-4x-4} + C} \] Câu 2: Để tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = -6x - 18$, trục hoành và các đường thẳng $x = -6$ và $x = -4$ quay quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng tích phân: - Giới hạn của tích phân là từ $x = -6$ đến $x = -4$. 2. Tính diện tích bề mặt của khối tròn xoay: - Diện tích bề mặt của khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] - Ở đây, $f(x) = -6x - 18$. Do đó, ta có: \[ V = \pi \int_{-6}^{-4} (-6x - 18)^2 \, dx \] 3. Tính tích phân: - Ta mở rộng biểu thức trong tích phân: \[ (-6x - 18)^2 = 36x^2 + 216x + 324 \] - Do đó, ta có: \[ V = \pi \int_{-6}^{-4} (36x^2 + 216x + 324) \, dx \] - Tính tích phân từng phần: \[ \int_{-6}^{-4} 36x^2 \, dx = 36 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-6}^{-4} = 12 \left[ x^3 \right]_{-6}^{-4} = 12 \left( (-4)^3 - (-6)^3 \right) = 12 \left( -64 + 216 \right) = 12 \times 152 = 1824 \] \[ \int_{-6}^{-4} 216x \, dx = 216 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-6}^{-4} = 108 \left[ x^2 \right]_{-6}^{-4} = 108 \left( (-4)^2 - (-6)^2 \right) = 108 \left( 16 - 36 \right) = 108 \times (-20) = -2160 \] \[ \int_{-6}^{-4} 324 \, dx = 324 \left[ x \right]_{-6}^{-4} = 324 \left( -4 - (-6) \right) = 324 \times 2 = 648 \] - Tổng các tích phân: \[ V = \pi (1824 - 2160 + 648) = \pi \times 312 = 312\pi \] 4. Kết luận: - Thể tích khối tròn xoay tạo thành là $312\pi$. Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~312\pi \] Câu 3: Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung bình cộng của mẫu số liệu. 2. Tính phương sai của mẫu số liệu. 3. Tính độ lệch chuẩn từ phương sai. Bước 1: Tìm trung bình cộng Trung bình cộng \( \bar{x} \) được tính theo công thức: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i} \] Trong đó: - \( f_i \) là tần số của nhóm thứ \( i \). - \( x_i \) là giá trị trung tâm của nhóm thứ \( i \). Ta lập bảng để tính toán dễ dàng hơn: | Nhóm | Giới hạn | Giá trị trung tâm \( x_i \) | Số người \( f_i \) | \( f_i x_i \) | |------|----------|---------------------------|--------------------|---------------| | [0, 2) | 1 | 1 | 19 | 19 | | [2, 4) | 3 | 3 | 9 | 27 | | [4, 6] | 5 | 5 | 5 | 25 | | [6, 8) | 7 | 7 | 6 | 42 | | [8, 10] | 9 | 9 | 1 | 9 | Tổng số người \( n = 19 + 9 + 5 + 6 + 1 = 40 \). Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{19 + 27 + 25 + 42 + 9}{40} = \frac{122}{40} = 3.05 \] Bước 2: Tính phương sai Phương sai \( s^2 \) được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] Lập bảng để tính phương sai: | Nhóm | \( x_i \) | \( f_i \) | \( x_i - \bar{x} \) | \( (x_i - \bar{x})^2 \) | \( f_i (x_i - \bar{x})^2 \) | |------|-----------|-----------|---------------------|-------------------------|-----------------------------| | [0, 2) | 1 | 19 | 1 - 3.05 = -2.05 | (-2.05)^2 = 4.2025 | 19 × 4.2025 = 79.8475 | | [2, 4) | 3 | 9 | 3 - 3.05 = -0.05 | (-0.05)^2 = 0.0025 | 9 × 0.0025 = 0.0225 | | [4, 6] | 5 | 5 | 5 - 3.05 = 1.95 | (1.95)^2 = 3.8025 | 5 × 3.8025 = 19.0125 | | [6, 8) | 7 | 6 | 7 - 3.05 = 3.95 | (3.95)^2 = 15.6025 | 6 × 15.6025 = 93.615 | | [8, 10] | 9 | 1 | 9 - 3.05 = 5.95 | (5.95)^2 = 35.4025 | 1 × 35.4025 = 35.4025 | Tính tổng: \[ \sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2 = 79.8475 + 0.0225 + 19.0125 + 93.615 + 35.4025 = 227.90 \] Phương sai: \[ s^2 = \frac{227.90}{40} = 5.6975 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn \( s \) được tính bằng cách lấy căn bậc hai của phương sai: \[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{5.6975} \approx 2.39 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là 2,39. Đáp án đúng là: C. 2,39. Câu 4: Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 3x + 5}{x + 2}$, ta thực hiện phép chia đa thức như sau: 1. Chia $x^2$ cho $x$ để được $x$. 2. Nhân $x$ với $(x + 2)$ để được $x^2 + 2x$. 3. Trừ $x^2 + 2x$ từ $x^2 + 3x + 5$ để được $x + 5$. 4. Chia $x$ cho $x$ để được $1$. 5. Nhân $1$ với $(x + 2)$ để được $x + 2$. 6. Trừ $x + 2$ từ $x + 5$ để được $3$. Do đó, ta có: \[ \frac{x^2 + 3x + 5}{x + 2} = x + 1 + \frac{3}{x + 2} \] Khi $x$ tiến đến vô cùng ($x \to \pm \infty$), phần $\frac{3}{x + 2}$ sẽ tiến đến 0. Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = x + 1$. Đáp án đúng là: $B.~y = x + 1$. Câu 5: Để giải bất phương trình $\log_3(3x-1) \geq \log_3(2x+1)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Để các biểu thức logarit có nghĩa, ta cần: \[ 3x - 1 > 0 \quad \text{và} \quad 2x + 1 > 0 \] Giải các bất phương trình này: \[ 3x - 1 > 0 \implies x > \frac{1}{3} \] \[ 2x + 1 > 0 \implies x > -\frac{1}{2} \] Vì $\frac{1}{3} > -\frac{1}{2}$, nên điều kiện chung là: \[ x > \frac{1}{3} \] Bước 2: So sánh các biểu thức logarit Do cơ số của cả hai biểu thức logarit đều là 3 (cơ số lớn hơn 1), nên ta có thể so sánh trực tiếp các biểu thức bên trong: \[ 3x - 1 \geq 2x + 1 \] Bước 3: Giải bất phương trình \[ 3x - 1 \geq 2x + 1 \] \[ 3x - 2x \geq 1 + 1 \] \[ x \geq 2 \] Bước 4: Kết hợp điều kiện xác định Ta đã có điều kiện xác định là $x > \frac{1}{3}$ và kết quả từ bất phương trình là $x \geq 2$. Vì vậy, tập nghiệm cuối cùng là: \[ x \geq 2 \] Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình $\log_3(3x-1) \geq \log_3(2x+1)$ là $[2; +\infty)$. Đáp án đúng là: $D.~[2; +\infty)$. Câu 6: Để xác định đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho. Hàm số A: \( y = \frac{x^2 - 2x}{x - 1} \) - Ta thấy rằng khi \( x = 1 \), mẫu số \( x - 1 = 0 \), do đó hàm số này không xác định tại điểm \( x = 1 \). Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số này sẽ có một đường tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). Hàm số B: \( y = \frac{-2x + 1}{x - 1} \) - Tương tự như trên, khi \( x = 1 \), mẫu số \( x - 1 = 0 \), do đó hàm số này cũng không xác định tại điểm \( x = 1 \). Đồ thị của hàm số này cũng sẽ có một đường tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). Hàm số C: \( y = \frac{x^2 - 2x}{x + 1} \) - Khi \( x = -1 \), mẫu số \( x + 1 = 0 \), do đó hàm số này không xác định tại điểm \( x = -1 \). Đồ thị của hàm số này sẽ có một đường tiệm cận đứng tại \( x = -1 \). Hàm số D: \( y = x^3 - 3x^2 \) - Hàm số này là một đa thức bậc ba, không có điểm không xác định nào, do đó đồ thị của nó sẽ liên tục và không có đường tiệm cận đứng. Bây giờ, chúng ta sẽ so sánh các hàm số này với đường cong trong hình. Đường cong trong hình có một đường tiệm cận đứng ở \( x = 1 \), do đó chúng ta loại trừ ngay hàm số D vì nó không có đường tiệm cận đứng. Tiếp theo, chúng ta sẽ kiểm tra hai hàm số còn lại là A và B để xác định đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào. Kiểm tra hàm số A: \( y = \frac{x^2 - 2x}{x - 1} \) - Ta có thể rút gọn phân thức: \[ y = \frac{x(x - 2)}{x - 1} \] - Khi \( x \to 1 \), hàm số này sẽ có dạng không xác định \(\frac{0}{0}\). Để tìm giới hạn của hàm số này khi \( x \to 1 \), ta có thể sử dụng phương pháp L'Hôpital hoặc đơn giản hơn là thay \( x = 1 \) vào biểu thức rút gọn: \[ y = \frac{(1)(1 - 2)}{1 - 1} = \frac{-1}{0} \] - Điều này cho thấy hàm số này có đường tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). Kiểm tra hàm số B: \( y = \frac{-2x + 1}{x - 1} \) - Khi \( x \to 1 \), hàm số này cũng sẽ có dạng không xác định \(\frac{0}{0}\). Để tìm giới hạn của hàm số này khi \( x \to 1 \), ta có thể sử dụng phương pháp L'Hôpital hoặc đơn giản hơn là thay \( x = 1 \) vào biểu thức: \[ y = \frac{-2(1) + 1}{1 - 1} = \frac{-1}{0} \] - Điều này cho thấy hàm số này cũng có đường tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). Tuy nhiên, khi nhìn vào đồ thị, ta thấy rằng đường cong trong hình có một điểm cực đại và cực tiểu, điều này phù hợp với hàm số \( y = \frac{x^2 - 2x}{x - 1} \) hơn là \( y = \frac{-2x + 1}{x - 1} \). Do đó, đường cong trong hình là đồ thị của hàm số \( y = \frac{x^2 - 2x}{x - 1} \). Đáp án: A. \( y = \frac{x^2 - 2x}{x - 1} \) Câu 7: Để giải phương trình $5^{n-3} = 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện: Phương trình này không yêu cầu điều kiện xác định vì $5^{n-3}$ luôn có nghĩa với mọi giá trị của $n$. 2. Phân tích phương trình: Ta biết rằng $5^0 = 1$. Do đó, để $5^{n-3} = 1$, ta cần: \[ n - 3 = 0 \] 3. Giải phương trình: \[ n - 3 = 0 \implies n = 3 \] 4. Kiểm tra lại: Thay $n = 3$ vào phương trình ban đầu: \[ 5^{3-3} = 5^0 = 1 \] Điều này đúng, vậy $n = 3$ là nghiệm của phương trình. Như vậy, nghiệm của phương trình $5^{n-3} = 1$ là $n = 3$. Đáp án: $n = 3$ Lựa chọn đáp án: D. $n = 5$ (sai) Đáp án đúng: $n = 3$ Câu 8: Để tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm \( M(-2;0;0) \), \( N(0;-1;0) \), và \( P(0;0;3) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hai vectơ trong mặt phẳng: - Vectơ \( \overrightarrow{MN} \): \[ \overrightarrow{MN} = N - M = (0 - (-2); -1 - 0; 0 - 0) = (2; -1; 0) \] - Vectơ \( \overrightarrow{MP} \): \[ \overrightarrow{MP} = P - M = (0 - (-2); 0 - 0; 3 - 0) = (2; 0; 3) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \) là tích vector của \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{MP} \): \[ \vec{n} = \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MP} \] Ta tính: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}((-1) \cdot 3 - 0 \cdot 0) - \vec{j}(2 \cdot 3 - 0 \cdot 2) + \vec{k}(2 \cdot 0 - (-1) \cdot 2) = \vec{i}(-3) - \vec{j}(6) + \vec{k}(2) = (-3; -6; 2) \] 3. Viết phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng có dạng \( ax + by + cz + d = 0 \), trong đó \( (a, b, c) \) là vectơ pháp tuyến và \( d \) là hằng số. - Thay \( \vec{n} = (-3, -6, 2) \) vào phương trình: \[ -3x - 6y + 2z + d = 0 \] - Để tìm \( d \), thay tọa độ của một trong ba điểm vào phương trình. Chọn điểm \( M(-2;0;0) \): \[ -3(-2) - 6(0) + 2(0) + d = 0 \] \[ 6 + d = 0 \] \[ d = -6 \] 4. Phương trình cuối cùng: \[ -3x - 6y + 2z - 6 = 0 \] Nhân cả phương trình với \(-1\) để đơn giản hóa: \[ 3x + 6y - 2z + 6 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ \boxed{3x + 6y - 2z + 6 = 0} \] Câu 9: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào đúng. 1. Khẳng định A: $(SAC) \perp (SAB)$ - Ta thấy rằng $SA \perp (ABC)$, do đó $SA \perp AB$. Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy $(SAC) \perp (SAB)$, vì hai mặt phẳng này không chia sẻ đường thẳng chung là $SA$ và không có thêm thông tin về góc giữa chúng. Do đó, khẳng định này chưa chắc chắn. 2. Khẳng định B: $(BKH) \perp (ABC)$ - Ta biết rằng $H$ là trung điểm của $AC$, và $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $SC$. Điều này có nghĩa là $HK \perp SC$. Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy $(BKH) \perp (ABC)$. Do đó, khẳng định này chưa chắc chắn. 3. Khẳng định C: $(BKH) \perp (SBC)$ - Ta biết rằng $H$ là trung điểm của $AC$, và $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $SC$. Điều này có nghĩa là $HK \perp SC$. Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy $(BKH) \perp (SBC)$. Do đó, khẳng định này chưa chắc chắn. 4. Khẳng định D: $(SBC) \perp (SAC)$ - Ta thấy rằng $SA \perp (ABC)$, do đó $SA \perp AC$. Mặt khác, $SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$. Vì vậy, $(SAC)$ chứa đường thẳng $SA$ và $(SBC)$ cũng chứa đường thẳng $SA$. Do đó, $(SAC)$ và $(SBC)$ chia sẻ đường thẳng chung là $SA$. Vì $SA \perp AC$, nên $(SAC) \perp (SBC)$. Do đó, khẳng định đúng là: \[ \boxed{D. (SBC) \perp (SAC)} \]