Bài toán : Cho đường trong (O; R). Qua điểm K nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến KA, KB
và cát tuyến KCD với đường tròn ( A và B là các tiếp điểm, C nằm giữa K và D) . H là trung điểm
của CD.
Câu 1:
1.1. Chứng minh 5 điểm K, H, A, B, O cùng thuộc một đường tròn
1.2. Chứng minh tứ giác KHOB là tứ giác nội tiếp
1.3. Chứng minh tứ giác AHOB là tứ giác nộp tiếp
1.4. Chứng minh góc AHK = góc KOB
Câu 2
Gọi M là giao của AB và OK. Chứng minh
2.1 Chứng minh KA^2 =KC.KD

có hình minh họa ạ

Question

Bài toán : Cho đường trong (O; R). Qua điểm K nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến KA, KB 
và cát tuyến KCD với đường tròn ( A và B là các tiếp điểm, C nằm giữa K và D) . H là trung điểm 
của CD. 
Câu 1: 
1.1. Chứng minh 5 điểm K, H, A, B, O cùng thuộc một đường tròn 
1.2. Chứng minh tứ giác KHOB là tứ giác nội tiếp  
1.3. Chứng minh tứ giác AHOB là tứ giác nộp tiếp  
1.4. Chứng minh  góc AHK = góc KOB
Câu 2 
Gọi M là giao của AB và OK. Chứng minh  
2.1 Chứng minh   KA^2 =KC.KD

có hình minh họa ạ

Timi · Accepted Answer

Câu 1:
1.1. Chứng minh 5 điểm K, H, A, B, O cùng thuộc một đường tròn:
- Ta thấy rằng K, H, A, B đều nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, do đó chúng cùng thuộc một đường tròn.
- Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, do đó O cũng thuộc đường tròn này.
- Vậy 5 điểm K, H, A, B, O cùng thuộc một đường tròn.

1.2. Chứng minh tứ giác KHOB là tứ giác nội tiếp:
- Ta thấy rằng K, H, O, B đều nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, do đó chúng cùng thuộc một đường tròn.
- Vậy tứ giác KHOB là tứ giác nội tiếp.

1.3. Chứng minh tứ giác AHOB là tứ giác nội tiếp:
- Ta thấy rằng A, H, O, B đều nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, do đó chúng cùng thuộc một đường tròn.
- Vậy tứ giác AHOB là tứ giác nội tiếp.

1.4. Chứng minh góc AHK = góc KOB:
- Ta thấy rằng góc AHK và góc KOB đều là góc nội tiếp chắn cung AK.
- Theo tính chất của góc nội tiếp, hai góc nội tiếp chắn cùng một cung thì bằng nhau.
- Vậy góc AHK = góc KOB.

Câu 2
Để chứng minh $KA^2 = KC \cdot KD$, ta sẽ sử dụng tính chất của đường tròn và tam giác đồng dạng.

1. Xác định các điểm và đường thẳng:
   - $O$ là tâm của đường tròn.
   - $A, B, C, D$ là các điểm trên đường tròn.
   - $K$ là giao điểm của $AB$ và $OK$.

2. Tính chất góc nội tiếp và góc tâm:
   - Góc nội tiếp $ \angle CAD $ bằng nửa góc tâm $ \angle COD $.
   - Góc nội tiếp $ \angle CAB $ bằng nửa góc tâm $ \angle COB $.

3. Tính chất tam giác đồng dạng:
   - Xét tam giác $KAC$ và tam giác $KDA$:
     - $ \angle KAC = \angle KDA $ (góc nội tiếp cùng chắn cung $CD$).
     - $ \angle AKC = \angle DKA $ (góc chung).

Do đó, tam giác $KAC$ đồng dạng với tam giác $KDA$ theo trường hợp góc-góc (AA).

4. Tỉ lệ cạnh trong tam giác đồng dạng:
   - Vì tam giác $KAC$ đồng dạng với tam giác $KDA$, ta có:
     $$
     \frac{KA}{KD} = \frac{KC}{KA}
     $$

5. Nhân cả hai vế của tỉ lệ trên:
   - Nhân cả hai vế với $KA \cdot KD$, ta được:
     $$
     KA^2 = KC \cdot KD
     $$

Vậy ta đã chứng minh được $KA^2 = KC \cdot KD$.

Bài toán : Cho đường trong (O; R). Qua điểm K nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD với đường tròn ( A và B là các tiếp điểm, C nằm giữa K và D) . H là trung điểm của CD. Câ...