giải hộ tui với

Câu 6: Để xác định hệ số của \( x^4y^3 \) trong khai triển biểu thức \( (x^2 + 2y)^5 \), ta sử dụng công thức nhị thức Newton. Công thức nhị thức Newton cho khai triển \( (a + b)^n \) là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, \( a = x^2 \), \( b = 2y \), và \( n = 5 \). Ta cần tìm hệ số của \( x^4y^3 \). Xét một hạng tử tổng quát trong khai triển: \[ \binom{5}{k} (x^2)^{5-k} (2y)^k \] Ta cần \( (x^2)^{5-k} \) và \( (2y)^k \) sao cho tổng các lũy thừa của \( x \) và \( y \) đúng là \( x^4y^3 \): \[ (x^2)^{5-k} = x^{2(5-k)} \] \[ (2y)^k = 2^k y^k \] Để có \( x^4y^3 \), ta cần: \[ 2(5 - k) = 4 \] \[ k = 3 \] Thay \( k = 3 \) vào công thức: \[ \binom{5}{3} (x^2)^{5-3} (2y)^3 = \binom{5}{3} (x^2)^2 (2y)^3 \] \[ = \binom{5}{3} x^4 \cdot 2^3 y^3 \] \[ = \binom{5}{3} x^4 \cdot 8 y^3 \] \[ = 10 \cdot 8 x^4 y^3 \] \[ = 80 x^4 y^3 \] Vậy hệ số của \( x^4y^3 \) trong khai triển \( (x^2 + 2y)^5 \) là 80. Đáp số: 80 --- Để tìm hệ số lớn nhất trong khai triển \( \left(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}x\right)^4 \), ta cũng sử dụng công thức nhị thức Newton. Công thức nhị thức Newton cho khai triển \( (a + b)^n \) là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, \( a = \frac{1}{4} \), \( b = \frac{3}{4}x \), và \( n = 4 \). Ta cần tìm hệ số lớn nhất trong khai triển. Xét một hạng tử tổng quát trong khai triển: \[ \binom{4}{k} \left(\frac{1}{4}\right)^{4-k} \left(\frac{3}{4}x\right)^k \] Hệ số của mỗi hạng tử là: \[ \binom{4}{k} \left(\frac{1}{4}\right)^{4-k} \left(\frac{3}{4}\right)^k \] Ta sẽ tính các hệ số cho \( k = 0, 1, 2, 3, 4 \): - Khi \( k = 0 \): \[ \binom{4}{0} \left(\frac{1}{4}\right)^4 \left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1 \cdot \frac{1}{256} \cdot 1 = \frac{1}{256} \] - Khi \( k = 1 \): \[ \binom{4}{1} \left(\frac{1}{4}\right)^3 \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 4 \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{3}{4} = 4 \cdot \frac{3}{256} = \frac{12}{256} = \frac{3}{64} \] - Khi \( k = 2 \): \[ \binom{4}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 6 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{16} = 6 \cdot \frac{9}{256} = \frac{54}{256} = \frac{27}{128} \] - Khi \( k = 3 \): \[ \binom{4}{3} \left(\frac{1}{4}\right)^1 \left(\frac{3}{4}\right)^3 = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{27}{64} = 4 \cdot \frac{27}{256} = \frac{108}{256} = \frac{27}{64} \] - Khi \( k = 4 \): \[ \binom{4}{4} \left(\frac{1}{4}\right)^0 \left(\frac{3}{4}\right)^4 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{81}{256} = \frac{81}{256} \] So sánh các hệ số: \[ \frac{1}{256}, \frac{3}{64}, \frac{27}{128}, \frac{27}{64}, \frac{81}{256} \] Hệ số lớn nhất là \( \frac{81}{256} \). Đáp số: \( \frac{81}{256} \)