ngfghjbgghhhv

Câu 1: Để tính thể tích của hình chóp \( S.ABC \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy \( \Delta ABC \): - \( \Delta ABC \) là tam giác vuông tại \( A \) với \( AB = 3a \) và \( AC = a \). - Diện tích đáy \( \Delta ABC \) là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3a \times a = \frac{3a^2}{2} \] 2. Tính chiều cao từ đỉnh \( S \) xuống đáy \( ABC \): - \( SA \) là đường cao hạ từ đỉnh \( S \) xuống đáy \( ABC \) và \( SA = a\sqrt{3} \). 3. Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp: - Thể tích \( V_{S.ABC} \) của hình chóp \( S.ABC \) là: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA = \frac{1}{3} \times \frac{3a^2}{2} \times a\sqrt{3} = \frac{1}{3} \times \frac{3a^2}{2} \times a\sqrt{3} = \frac{a^3\sqrt{3}}{2} \] Vậy thể tích của hình chóp \( S.ABC \) là: \[ V_{S.ABC} = \frac{a^3\sqrt{3}}{2} \] Câu 3: Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng ADD'A' và BCC'B' trong hình hộp chữ nhật ABCD'A'B'C'D', ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng: - Trong hình hộp chữ nhật, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song thuộc hai mặt phẳng đó. 2. Xác định hai đường thẳng song song: - Mặt phẳng ADD'A' chứa đường thẳng AD. - Mặt phẳng BCC'B' chứa đường thẳng BC. - Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD song song với BC. 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song trong hình hộp chữ nhật chính là chiều dài của cạnh đứng của hình hộp chữ nhật, tức là chiều cao của hình hộp chữ nhật. 4. Xác định chiều cao của hình hộp chữ nhật: - Chiều cao của hình hộp chữ nhật là đoạn thẳng AA' (hoặc BB', CC', DD'). Do đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng ADD'A' và BCC'B' chính là chiều cao của hình hộp chữ nhật, tức là đoạn thẳng AA'. Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng ADD'A' và BCC'B' là 5 đơn vị (vì BC = 5). Đáp số: 5 đơn vị. Câu 4: Để tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên 2 mặt của 2 con xúc sắc bằng 5, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định không gian mẫu: Mỗi con xúc sắc có 6 mặt, mỗi mặt có số chấm từ 1 đến 6. Khi gieo 2 con xúc sắc, mỗi con xúc sắc có thể xuất hiện bất kỳ mặt nào trong 6 mặt. Do đó, tổng số kết quả có thể xảy ra là: \[ 6 \times 6 = 36 \] Vậy không gian mẫu có 36 kết quả. 2. Xác định các kết quả thuận lợi: Chúng ta cần tìm các cặp kết quả sao cho tổng số chấm xuất hiện trên 2 mặt của 2 con xúc sắc bằng 5. Các cặp kết quả này là: - (1, 4) - (2, 3) - (3, 2) - (4, 1) Như vậy, có 4 kết quả thuận lợi. 3. Tính xác suất: Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên 2 mặt của 2 con xúc sắc bằng 5 là tỷ lệ giữa số kết quả thuận lợi và tổng số kết quả có thể xảy ra: \[ P = \frac{\text{số kết quả thuận lợi}}{\text{tổng số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \] Vậy xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên 2 mặt của 2 con xúc sắc bằng 5 là $\frac{1}{9}$. Câu 5 Để giải quyết các yêu cầu trên, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Tính đạo hàm của \( y = \ln(x^2 + 2x) \) Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit tự nhiên: \[ y' = \frac{d}{dx} \left[ \ln(x^2 + 2x) \right] = \frac{1}{x^2 + 2x} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + 2x) \] Tính đạo hàm của \( x^2 + 2x \): \[ \frac{d}{dx} (x^2 + 2x) = 2x + 2 \] Do đó: \[ y' = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x} \] b) Tính đạo hàm của \( y = \log_2(2x + 1) \) Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit cơ số \( a \): \[ y' = \frac{d}{dx} \left[ \log_2(2x + 1) \right] = \frac{1}{(2x + 1) \ln 2} \cdot \frac{d}{dx} (2x + 1) \] Tính đạo hàm của \( 2x + 1 \): \[ \frac{d}{dx} (2x + 1) = 2 \] Do đó: \[ y' = \frac{2}{(2x + 1) \ln 2} \] f(x) = 2x^3 + 4x^2 + 1. Tính f''(1) Đầu tiên, tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (2x^3 + 4x^2 + 1) = 6x^2 + 8x \] Tiếp theo, tính đạo hàm của \( f'(x) \): \[ f''(x) = \frac{d}{dx} (6x^2 + 8x) = 12x + 8 \] Cuối cùng, thay \( x = 1 \) vào \( f''(x) \): \[ f''(1) = 12 \cdot 1 + 8 = 20 \] Cho hàm số \( y = -x^3 + 2x^2 + 1 \). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ \( x_0 = 1 \). Đầu tiên, tính đạo hàm của \( y \): \[ y' = \frac{d}{dx} (-x^3 + 2x^2 + 1) = -3x^2 + 4x \] Tính giá trị của đạo hàm tại \( x_0 = 1 \): \[ y'(1) = -3 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 = -3 + 4 = 1 \] Tính giá trị của hàm số tại \( x_0 = 1 \): \[ y(1) = -(1)^3 + 2 \cdot (1)^2 + 1 = -1 + 2 + 1 = 2 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( M(1, 2) \) với hệ số góc \( y'(1) = 1 \) là: \[ y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \] \[ y - 2 = 1 \cdot (x - 1) \] \[ y = x + 1 \] Đáp số: a) \( y' = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x} \) b) \( y' = \frac{2}{(2x + 1) \ln 2} \) f''(1) = 20 Phương trình tiếp tuyến: \( y = x + 1 \) Câu 8 a) Cho hình chóp \( S.ABC \) có \( SA \perp (ABC) \). Xác định góc nhị diện \( [C,SA,B] \). - Ta xác định đường thẳng \( d \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \( (SAC) \) và \( (SAB) \). Đường thẳng này chính là \( SA \). - Tiếp theo, ta hạ đường vuông góc từ điểm \( C \) xuống mặt phẳng \( (SAB) \) và gọi giao điểm là \( H \). Vì \( SA \perp (ABC) \), nên \( SA \perp AB \) và \( SA \perp AC \). Do đó, \( SA \perp (SAB) \), suy ra \( SA \perp SH \). - Góc giữa đường thẳng \( CH \) và đường thẳng \( SA \) chính là góc nhị diện \( [C,SA,B] \). b) Cho hình chóp \( S.ABC \) có \( \Delta SAB \) và \( \Delta ACB \) cân tại \( S \) và \( C \). Xác định góc phẳng nhị diện \( [C,AB,S] \). - Ta xác định đường thẳng \( d \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \( (ABC) \) và \( (ABS) \). Đường thẳng này chính là \( AB \). - Tiếp theo, ta hạ đường vuông góc từ điểm \( C \) xuống mặt phẳng \( (ABS) \) và gọi giao điểm là \( H \). Vì \( \Delta ACB \) cân tại \( C \), nên \( CH \perp AB \). Tương tự, vì \( \Delta SAB \) cân tại \( S \), nên \( SH \perp AB \). - Góc giữa đường thẳng \( CH \) và đường thẳng \( SH \) chính là góc nhị diện \( [C,AB,S] \). Đáp số: a) Góc nhị diện \( [C,SA,B] \) là góc giữa đường thẳng \( CH \) và đường thẳng \( SA \). b) Góc nhị diện \( [C,AB,S] \) là góc giữa đường thẳng \( CH \) và đường thẳng \( SH \). Câu 9: Để giải phương trình $2^{x^2 - x} = 8$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình với cùng cơ số: Ta nhận thấy rằng $8$ có thể viết dưới dạng lũy thừa của $2$: \[ 8 = 2^3 \] Do đó, phương trình trở thành: \[ 2^{x^2 - x} = 2^3 \] 2. So sánh các mũ: Vì hai vế đều có cùng cơ số là $2$, ta có thể so sánh các mũ của chúng: \[ x^2 - x = 3 \] 3. Rearrange the equation to form a standard quadratic equation: \[ x^2 - x - 3 = 0 \] 4. Giải phương trình bậc hai: Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với $a = 1$, $b = -1$, và $c = -3$, ta có: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2} \] 5. Tìm các nghiệm: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \] Vậy phương trình $2^{x^2 - x} = 8$ có hai nghiệm là: \[ x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \] Câu 10: Để tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa đường thẳng SC và hình chiếu của nó lên mặt phẳng (ABCD). 2. Tìm hình chiếu của điểm C lên mặt phẳng (ABCD): Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên hình chiếu của điểm C lên mặt phẳng (ABCD) là chính điểm C. 3. Tìm hình chiếu của đường thẳng SC lên mặt phẳng (ABCD): Hình chiếu của đường thẳng SC lên mặt phẳng (ABCD) là đoạn thẳng CD. 4. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD): Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD) là SA = $a\sqrt{3}$. 5. Tính khoảng cách từ điểm C đến điểm S: Ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông SAC: \[ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} \] Trong đó, AC là đường chéo của hình vuông ABCD, do đó: \[ AC = 2a\sqrt{2} \] Vậy: \[ SC = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + (2a\sqrt{2})^2} = \sqrt{3a^2 + 8a^2} = \sqrt{11a^2} = a\sqrt{11} \] 6. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD): Gọi góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là $\theta$. Ta có: \[ \sin(\theta) = \frac{\text{khoảng cách từ S đến (ABCD)}}{SC} = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{11}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{11}} = \frac{\sqrt{33}}{11} \] Do đó: \[ \theta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{33}}{11}\right) \] Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là $\arcsin\left(\frac{\sqrt{33}}{11}\right)$. Câu 11 Để tính đạo hàm của hàm số \( y = \sqrt{x^2 - 2x} + x \) tại điểm \( x_0 = 4 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của mỗi thành phần trong hàm số. Hàm số \( y = \sqrt{x^2 - 2x} + x \) bao gồm hai thành phần: - \( f(x) = \sqrt{x^2 - 2x} \) - \( g(x) = x \) Bước 2: Tính đạo hàm của \( f(x) = \sqrt{x^2 - 2x} \). Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số căn bậc hai: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 - 2x} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 2x) \] Tính đạo hàm của \( x^2 - 2x \): \[ \frac{d}{dx}(x^2 - 2x) = 2x - 2 \] Do đó: \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \cdot (2x - 2) = \frac{2x - 2}{2\sqrt{x^2 - 2x}} = \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x}} \] Bước 3: Tính đạo hàm của \( g(x) = x \). \[ g'(x) = 1 \] Bước 4: Kết hợp các đạo hàm lại để tìm đạo hàm của \( y \). \[ y' = f'(x) + g'(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x}} + 1 \] Bước 5: Thay \( x_0 = 4 \) vào biểu thức đạo hàm. \[ y'(4) = \frac{4 - 1}{\sqrt{4^2 - 2 \cdot 4}} + 1 = \frac{3}{\sqrt{16 - 8}} + 1 = \frac{3}{\sqrt{8}} + 1 = \frac{3}{2\sqrt{2}} + 1 = \frac{3\sqrt{2}}{4} + 1 \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = \sqrt{x^2 - 2x} + x \) tại điểm \( x_0 = 4 \) là: \[ y'(4) = \frac{3\sqrt{2}}{4} + 1 \] Câu 12. Để xác định hàm số nào đồng biến trên tập xác định (TXĐ), chúng ta sẽ kiểm tra tính chất đồng biến của từng hàm số. a) Hàm số \( y = e^{2x} \): - Hàm số \( y = e^x \) là hàm số đồng biến trên toàn bộ tập số thực. - Khi nhân biến \( x \) với một hằng số dương (ở đây là 2), hàm số vẫn giữ tính chất đồng biến. - Do đó, hàm số \( y = e^{2x} \) là hàm số đồng biến trên toàn bộ tập số thực. b) Hàm số \( y = \log_3 x \): - Hàm số \( y = \log_a x \) là hàm số đồng biến trên TXĐ của nó nếu cơ số \( a > 1 \). - Cơ số của hàm số này là 3, lớn hơn 1, do đó hàm số \( y = \log_3 x \) là hàm số đồng biến trên TXĐ của nó (TXĐ là \( x > 0 \)). c) Hàm số \( y = \log_{\frac{1}{2}} x \): - Hàm số \( y = \log_a x \) là hàm số nghịch biến trên TXĐ của nó nếu cơ số \( 0 < a < 1 \). - Cơ số của hàm số này là \( \frac{1}{2} \), nhỏ hơn 1, do đó hàm số \( y = \log_{\frac{1}{2}} x \) là hàm số nghịch biến trên TXĐ của nó (TXĐ là \( x > 0 \)). Tóm lại: - Hàm số \( y = e^{2x} \) đồng biến trên toàn bộ tập số thực. - Hàm số \( y = \log_3 x \) đồng biến trên TXĐ của nó (TXĐ là \( x > 0 \)). - Hàm số \( y = \log_{\frac{1}{2}} x \) nghịch biến trên TXĐ của nó (TXĐ là \( x > 0 \)). Vậy, các hàm số đồng biến trên TXĐ là: a) \( y = e^{2x} \) b) \( y = \log_3 x \) Đáp án: a) \( y = e^{2x} \) và b) \( y = \log_3 x \).