giúp tôi với

a) Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x - y = 3 \\ x + 2y = 4 \end{array} \right. \] Từ phương trình đầu tiên, ta có: \[ x = y + 3 \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ (y + 3) + 2y = 4 \] \[ 3y + 3 = 4 \] \[ 3y = 1 \] \[ y = \frac{1}{3} \] Thay lại để tìm \( x \): \[ x = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3} \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ x = \frac{10}{3}, \quad y = \frac{1}{3} \] b) Biết phương trình bậc hai \( x^2 - 2x + 3m = 0 \) có một nghiệm là \( x = \frac{2 - \sqrt{5}}{2} \). Tính tổng bình phương hai nghiệm của phương trình trên. Theo định lý Vi-et, tổng và tích của các nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) là: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] \[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} \] Áp dụng vào phương trình \( x^2 - 2x + 3m = 0 \): \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 x_2 = 3m \] Biết \( x_1 = \frac{2 - \sqrt{5}}{2} \), ta có: \[ x_2 = 2 - x_1 = 2 - \frac{2 - \sqrt{5}}{2} = \frac{4 - (2 - \sqrt{5})}{2} = \frac{2 + \sqrt{5}}{2} \] Tích của hai nghiệm: \[ x_1 x_2 = \left( \frac{2 - \sqrt{5}}{2} \right) \left( \frac{2 + \sqrt{5}}{2} \right) = \frac{(2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})}{4} = \frac{4 - 5}{4} = \frac{-1}{4} \] Do đó: \[ 3m = \frac{-1}{4} \] \[ m = \frac{-1}{12} \] Tổng bình phương hai nghiệm: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 2^2 - 2 \left( \frac{-1}{4} \right) = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \] c) Giải bất phương trình: \[ x(x - 4) + 3 \geq x^2 + 2x - 3 \] Rearrange the terms: \[ x^2 - 4x + 3 \geq x^2 + 2x - 3 \] \[ -4x + 3 \geq 2x - 3 \] \[ -4x - 2x \geq -3 - 3 \] \[ -6x \geq -6 \] \[ x \leq 1 \] Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[ x \leq 1 \] Bài 3: Gọi số dụng cụ xí nghiệp 1 phải làm là x (dụng cụ, điều kiện: x > 0). Số dụng cụ xí nghiệp 2 phải làm là 360 - x (dụng cụ). Trên thực tế, xí nghiệp 1 làm được số dụng cụ là: \[ x + 0,12x = 1,12x \] Trên thực tế, xí nghiệp 2 làm được số dụng cụ là: \[ (360 - x) + 0,1(360 - x) = 1,1(360 - x) \] Theo đề bài, tổng số dụng cụ cả hai xí nghiệp làm được trên thực tế là 400 dụng cụ, ta có phương trình: \[ 1,12x + 1,1(360 - x) = 400 \] Giải phương trình này: \[ 1,12x + 396 - 1,1x = 400 \] \[ 0,02x + 396 = 400 \] \[ 0,02x = 400 - 396 \] \[ 0,02x = 4 \] \[ x = \frac{4}{0,02} \] \[ x = 200 \] Vậy số dụng cụ xí nghiệp 1 phải làm là 200 dụng cụ. Số dụng cụ xí nghiệp 2 phải làm là: \[ 360 - 200 = 160 \text{ dụng cụ} \] Đáp số: Xí nghiệp 1: 200 dụng cụ, Xí nghiệp 2: 160 dụng cụ. Bài 4: Để kiểm tra xem bố bạn An đã sử dụng thang an toàn chưa, chúng ta cần xác định góc giữa thang và nền nhà. Ta sẽ sử dụng kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. 1. Xác định các thông số: - Chiều dài thang (hипотенуза): 4m - Khoảng cách từ vị trí đặt chân thang đến chân tường (cạnh kề): 2,5m 2. Tính góc giữa thang và nền nhà: - Ta sử dụng công thức tính cosin của góc: \[ \cos(\theta) = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{hипотенуза}} \] \[ \cos(\theta) = \frac{2,5}{4} = 0,625 \] 3. Tìm góc $\theta$: - Sử dụng bảng lượng giác hoặc máy tính để tìm góc có cosin bằng 0,625: \[ \theta \approx 51,32^\circ \] 4. So sánh góc $\theta$ với yêu cầu an toàn: - Yêu cầu an toàn: góc từ $50^\circ$ đến $70^\circ$ - Góc $\theta \approx 51,32^\circ$ nằm trong khoảng từ $50^\circ$ đến $70^\circ$ Kết luận: Bố bạn An đã sử dụng thang an toàn vì góc giữa thang và nền nhà là $51,32^\circ$, nằm trong khoảng từ $50^\circ$ đến $70^\circ$. Bài 5 a) Ta có $\widehat{AED}+\widehat{AHD}=180^\circ$ (góc ngoài nội tiếp bằng góc trong cùng chắn cung AD) nên tứ giác AEHD nội tiếp. Tương tự, tứ giác BEDC nội tiếp. b) Ta có $\widehat{DEA}=\widehat{DCA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD) và $\widehat{DCA}=\widehat{ACB}$ (hai góc so le trong) nên $\widehat{DEA}=\widehat{ACB}$. c) Ta có $\widehat{DEA}=\widehat{ACB}$ (chứng minh ở phần b) và $\widehat{ACB}=\widehat{CAM}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây bằng góc nội tiếp cùng chắn cung AM) nên $\widehat{DEA}=\widehat{CAM}$. Do đó, DE // tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. d) Ta có $\widehat{MAN}=\widehat{MAD}+\widehat{NAD}$. Mà $\widehat{MAD}=\widehat{MCD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MD) và $\widehat{NAD}=\widehat{NBD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ND). Ta có $\widehat{MCD}=\widehat{NBD}$ (cùng bù với $\widehat{DCB}$). Vậy $\widehat{MAN}=\widehat{MAD}+\widehat{NAD}=\widehat{MCD}+\widehat{NBD}=\widehat{MCD}+\widehat{MCD}=2\widehat{MCD}$. Mặt khác, ta có $\widehat{OAM}=\widehat{OMA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung OM) và $\widehat{OAN}=\widehat{ONA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung ON). Vậy $\widehat{OAM}+\widehat{OAN}=\widehat{OMA}+\widehat{ONA}=\widehat{OMA}+\widehat{OMA}=2\widehat{OMA}$. Mà $\widehat{OMA}=\widehat{MCD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MD) nên $\widehat{OAM}+\widehat{OAN}=2\widehat{MCD}$. Vậy $\widehat{OAM}+\widehat{OAN}=\widehat{MAN}$ nên OA là phân giác của góc MAN. e) Ta có $\widehat{EAD}=\widehat{ABD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD) và $\widehat{ADE}=\widehat{ABE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE). Vậy $\Delta EAD \sim \Delta ABE$ (giao - giao) nên $\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AE}$. Do đó, $AE \times AB = AD \times AE$. Mặt khác, ta có $\widehat{AMD}=\widehat{AND}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD) và $\widehat{ADM}=\widehat{ADN}$ (hai góc đối đỉnh). Vậy $\Delta ADM \sim \Delta AND$ (giao - giao) nên $\frac{AM}{AD}=\frac{AD}{AN}$. Do đó, $AM \times AN = AD \times AD$. Vậy $AM \times AN = AE \times AB$. Mặt khác, ta có $AM \times AN = AE \times AB$ nên $AM \times AN = AE \times AB$. Vậy $AM^2 = AE \times AB$. Bài 6.1. Để tính diện tích bìa màu cần dùng để làm chiếc mũ sinh nhật, ta cần tính diện tích xung quanh của hình nón (vì chiếc mũ sinh nhật có dạng hình nón). Bước 1: Xác định bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón. - Đường kính đáy là 16 cm, nên bán kính đáy \( r = \frac{16}{2} = 8 \) cm. - Độ dài đường sinh \( l = 17 \) cm. Bước 2: Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón được tính bằng công thức: \[ S_{xq} = \pi \times r \times l \] Bước 3: Thay các giá trị vào công thức. \[ S_{xq} = \pi \times 8 \times 17 \] \[ S_{xq} = \pi \times 136 \] Bước 4: Tính toán và làm tròn kết quả. Lấy giá trị của \(\pi\) là 3.14: \[ S_{xq} = 3.14 \times 136 \] \[ S_{xq} = 427.04 \] Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: \[ S_{xq} \approx 427 \text{ cm}^2 \] Vậy diện tích bìa màu bạn Trang cần dùng để làm chiếc mũ sinh nhật là 427 cm².