Trả lời đúng sai ạ

Câu 2. a) Đúng vì hàm số $y=f(x)=\frac{3x}{x+1}$ liên tục trên khoảng $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty)$ ngoại trừ điểm x = -1. b) Đúng vì hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm A(0,0) là đạo hàm của hàm số tại điểm đó: $f'(x) = \frac{3(x+1) - 3x}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}$ Tại điểm A(0,0), ta có: $f'(0) = \frac{3}{(0+1)^2} = 3$ c) Sai vì có đúng một tiếp tuyến của (H) song song với đường thẳng $y = \frac{1}{3}x + 1$. Để tìm tiếp tuyến này, ta cần tìm điểm trên đồ thị (H) sao cho đạo hàm của hàm số tại điểm đó bằng $\frac{1}{3}$: $f'(x) = \frac{3}{(x+1)^2} = \frac{1}{3}$ Giải phương trình này: $\frac{3}{(x+1)^2} = \frac{1}{3}$ $(x+1)^2 = 9$ $x+1 = \pm 3$ $x = 2$ hoặc $x = -4$ Vậy có hai điểm trên đồ thị (H) thỏa mãn điều kiện, do đó có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng đã cho. d) Đúng vì $f^(2) = -\frac{2}{9}$, ta tính đạo hàm của hàm số: $f'(x) = \frac{3}{(x+1)^2}$ Tại điểm x = 2, ta có: $f'(2) = \frac{3}{(2+1)^2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ Do đó, $f^(2) = -\frac{2}{9}$ là sai, nhưng nếu hiểu là đạo hàm thì đúng là $\frac{1}{3}$. e) Sai vì có đúng một tiếp tuyến của (H) song song với đường thẳng $y = \frac{1}{3}x + 1$. Như đã giải ở phần c), ta thấy có hai điểm trên đồ thị (H) thỏa mãn điều kiện, do đó có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng đã cho. Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng, e) Sai. Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. a) Tìm tập xác định của hàm số Hàm số đã cho là: \[ f(x) = \log_5(x^2 + 5x) + \log_{\frac{1}{5}}(3x + 3) \] Điều kiện xác định của hàm số: 1. \( x^2 + 5x > 0 \) 2. \( 3x + 3 > 0 \) Giải bất phương trình \( x^2 + 5x > 0 \): \[ x(x + 5) > 0 \] Tìm các điểm giao của \( x(x + 5) = 0 \): \[ x = 0 \quad \text{và} \quad x = -5 \] Phương trình \( x(x + 5) > 0 \) có nghiệm: \[ x < -5 \quad \text{hoặc} \quad x > 0 \] Giải bất phương trình \( 3x + 3 > 0 \): \[ 3(x + 1) > 0 \] \[ x + 1 > 0 \] \[ x > -1 \] Giao của hai tập nghiệm: \[ x > 0 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = (0; +\infty) \] b) Viết lại hàm số dưới dạng đơn giản hơn Ta có: \[ f(x) = \log_5(x^2 + 5x) + \log_{\frac{1}{5}}(3x + 3) \] Sử dụng tính chất của logarit: \[ \log_{\frac{1}{5}}(3x + 3) = -\log_5(3x + 3) \] Do đó: \[ f(x) = \log_5(x^2 + 5x) - \log_5(3x + 3) \] Áp dụng tính chất logarit: \[ f(x) = \log_5 \left( \frac{x^2 + 5x}{3x + 3} \right) \] c) Giải phương trình \( f(x) = 0 \) Phương trình: \[ \log_5 \left( \frac{x^2 + 5x}{3x + 3} \right) = 0 \] Điều kiện: \[ \frac{x^2 + 5x}{3x + 3} > 0 \] Bình phương cả hai vế: \[ \frac{x^2 + 5x}{3x + 3} = 1 \] Nhân cả hai vế với \( 3x + 3 \): \[ x^2 + 5x = 3x + 3 \] Rearrange terms: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Phân tích đa thức: \[ (x + 3)(x - 1) = 0 \] Các nghiệm: \[ x = -3 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] Kiểm tra điều kiện \( x > 0 \): \[ x = 1 \] Vậy phương trình \( f(x) = 0 \) có đúng 1 nghiệm nguyên là \( x = 1 \). d) Giải phương trình \( f(x) = 1 \) Phương trình: \[ \log_5 \left( \frac{x^2 + 5x}{3x + 3} \right) = 1 \] Điều kiện: \[ \frac{x^2 + 5x}{3x + 3} > 0 \] Bình phương cả hai vế: \[ \frac{x^2 + 5x}{3x + 3} = 5 \] Nhân cả hai vế với \( 3x + 3 \): \[ x^2 + 5x = 5(3x + 3) \] Rearrange terms: \[ x^2 + 5x = 15x + 15 \] \[ x^2 - 10x - 15 = 0 \] Phân tích đa thức: \[ (x - 15)(x + 1) = 0 \] Các nghiệm: \[ x = 15 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Kiểm tra điều kiện \( x > 0 \): \[ x = 15 \] Vậy phương trình \( f(x) = 1 \) có đúng 1 nghiệm là \( x = 15 \). Kết luận a) Tập xác định của hàm số là \( D = (0; +\infty) \). b) Hàm số được viết lại là \( f(x) = \log_5 \left( \frac{x^2 + 5x}{3x + 3} \right) \). c) Phương trình \( f(x) = 0 \) có đúng 1 nghiệm nguyên là \( x = 1 \). d) Phương trình \( f(x) = 1 \) có đúng 1 nghiệm là \( x = 15 \). Câu 4. Để giải quyết các câu hỏi trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Khoảng cách giữa CC' và (ABB'A') Trước tiên, ta cần tìm diện tích tam giác ABC: - Ta biết rằng \( AC = a \), \( BC = 2a \), và \( \widehat{ACB} = 120^\circ \). Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\widehat{ACB}) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 2a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \] Tiếp theo, ta tính diện tích tam giác ABB': - Vì lăng trụ đứng nên \( AB = AB' \) và \( AA' \perp (ABC) \). Ta cần tìm độ dài \( AB \): \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\widehat{ACB})} = \sqrt{a^2 + (2a)^2 - 2 \cdot a \cdot 2a \cdot \cos(120^\circ)} \] \[ = \sqrt{a^2 + 4a^2 + 2a^2} = \sqrt{7a^2} = a\sqrt{7} \] Diện tích tam giác ABB': \[ S_{ABB'} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AA' = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{7} \cdot h \] Khoảng cách giữa CC' và (ABB'A'): \[ d = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{AB} = \frac{2 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{7}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{a\sqrt{7}} = \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{a \sqrt{21}}{7} \] b) Khoảng cách giữa CC' và AM Ta cần tìm diện tích tam giác ACM: \[ S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CM \cdot \sin(\widehat{ACM}) \] Vì M là trung điểm của BB', ta có: \[ CM = \frac{1}{2} BB' = \frac{1}{2} h \] Diện tích tam giác ACM: \[ S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{h}{2} \cdot \sin(90^\circ) = \frac{1}{4} ah \] Khoảng cách giữa CC' và AM: \[ d = \frac{2 \cdot S_{ACM}}{AM} = \frac{2 \cdot \frac{1}{4} ah}{AM} = \frac{ah}{2AM} \] c) \( AA' \perp (ABC) \) Vì lăng trụ đứng, \( AA' \perp (ABC) \) và \( AA' \perp (A'B'C') \). d) Thể tích khối lăng trụ Biết khoảng cách giữa hai mặt đáy lăng trụ bằng 2a: \[ V = S_{ABC} \cdot AA' = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot 2a = a^3 \sqrt{3} \] Đáp án: a) Khoảng cách giữa CC' và (ABB'A') là \(\frac{a \sqrt{21}}{7}\). b) Khoảng cách giữa CC' và AM là \(\frac{a \sqrt{21}}{12}\). c) \( AA' \perp (ABC) \) và \( AA' \perp (A'B'C') \). d) Thể tích khối lăng trụ là \( a^3 \sqrt{3} \).