Giải giúp tớ

Câu 15. Để tìm thời điểm mà viên đạn đạt vận tốc tức thời bằng 98 mét/giây, ta cần sử dụng phương trình chuyển động của viên đạn và đạo hàm của nó để tìm vận tốc tức thời. Phương trình chuyển động của viên đạn là: \[ h(t) = 3 + 196t - 4,9t^2 \] Vận tốc tức thời \( v(t) \) là đạo hàm của phương trình chuyển động \( h(t) \): \[ v(t) = \frac{d}{dt} h(t) = \frac{d}{dt} (3 + 196t - 4,9t^2) \] \[ v(t) = 196 - 9,8t \] Ta cần tìm thời điểm \( t \) sao cho vận tốc tức thời \( v(t) \) bằng 98 mét/giây: \[ 196 - 9,8t = 98 \] Giải phương trình này: \[ 196 - 98 = 9,8t \] \[ 98 = 9,8t \] \[ t = \frac{98}{9,8} \] \[ t = 10 \] Vậy tại thời điểm \( t = 10 \) giây, viên đạn đạt vận tốc tức thời bằng 98 mét/giây. Đáp số: \( t = 10 \) giây. Câu 16. Để tính số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp Memphis, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các yếu tố liên quan: - Chiều cao của kim tự tháp: \( h = 98 \) m - Cạnh đáy của kim tự tháp: \( a = 180 \) m 2. Tìm tâm của đáy: Vì kim tự tháp là hình chóp tứ giác đều, tâm của đáy nằm ở giao điểm của hai đường chéo của đáy. Ta gọi tâm này là \( O \). 3. Tính khoảng cách từ tâm đáy đến một đỉnh của đáy: Vì đáy là hình vuông, khoảng cách từ tâm đáy đến một đỉnh của đáy là bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông. Bán kính này được tính bằng công thức: \[ R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{180\sqrt{2}}{2} = 90\sqrt{2} \text{ m} \] 4. Xác định góc nhị diện: Góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy chính là góc giữa đường thẳng hạ từ đỉnh của kim tự tháp xuống đáy (gọi là \( S \)) và đường thẳng từ tâm đáy đến một đỉnh của đáy (gọi là \( SO \)). Ta gọi góc này là \( \alpha \). 5. Áp dụng công thức tính góc trong tam giác vuông: Trong tam giác \( SOA \) (với \( A \) là một đỉnh của đáy), ta có: \[ \tan(\alpha) = \frac{h}{R} = \frac{98}{90\sqrt{2}} \] \[ \tan(\alpha) = \frac{98}{90\sqrt{2}} = \frac{98}{90 \times 1.414} \approx \frac{98}{127.26} \approx 0.77 \] 6. Tính góc \( \alpha \): \[ \alpha = \arctan(0.77) \] Sử dụng máy tính để tính giá trị của \( \arctan(0.77) \): \[ \alpha \approx 37.6^\circ \] 7. Làm tròn kết quả: Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: \[ \alpha \approx 38^\circ \] Vậy, số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp Memphis là \( 38^\circ \). Câu 17. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_2(x+1) < 3$, ta cần đảm bảo rằng $x + 1 > 0$ để $\log_2(x+1)$ có nghĩa. - Điều kiện này dẫn đến $x > -1$. 2. Giải bất phương trình: - Bất phương trình $\log_2(x+1) < 3$ có thể được viết lại dưới dạng: \[ \log_2(x+1) < \log_2(8) \] - Vì hàm logarit cơ sở 2 là hàm tăng, nên ta có: \[ x + 1 < 8 \] - Từ đó suy ra: \[ x < 7 \] 3. Tìm giao của các điều kiện: - Kết hợp điều kiện $x > -1$ và $x < 7$, ta có: \[ -1 < x < 7 \] 4. Xác định các giá trị nguyên trong khoảng này: - Các giá trị nguyên thỏa mãn $-1 < x < 7$ là: \[ x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \] 5. Đếm số lượng giá trị nguyên: - Số lượng giá trị nguyên là 7. Vậy, có 7 giá trị nguyên thuộc tập nghiệm của bất phương trình $\log_2(x+1) < 3$. Câu 18. Để tính $P(A \cup B)$, ta cần biết xác suất của các biến cố liên quan, bao gồm $P(A)$, $P(B)$ và $P(AB)$. Ta đã biết $P(A) = 0,4$ và $P(AB) = 0,2$. Vì A và B là hai biến cố độc lập, nên ta có: \[ P(AB) = P(A) \cdot P(B) \] Thay các giá trị đã biết vào công thức trên: \[ 0,2 = 0,4 \cdot P(B) \] Giải phương trình này để tìm $P(B)$: \[ P(B) = \frac{0,2}{0,4} = 0,5 \] Bây giờ, ta sử dụng công thức xác suất của tổng của hai biến cố: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \] Thay các giá trị đã biết vào công thức trên: \[ P(A \cup B) = 0,4 + 0,5 - 0,2 = 0,7 \] Vậy, xác suất của biến cố $A \cup B$ là: \[ P(A \cup B) = 0,7 \] Câu 19. Gọi số viên bi trắng là x Tổng số viên bi trong hộp là: 5 + x Xác suất lấy được viên bi xanh là 0,25 nên ta có: \frac{5}{5+x} = 0,25 5 = 0,25 × (5 + x) 5 = 1,25 + 0,25x 5 - 1,25 = 0,25x 3,75 = 0,25x x = 3,75 : 0,25 x = 15 Vậy số viên bi trắng trong hộp là 15 viên. Câu 20. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ của hàm số $y = \frac{2x + 3}{x - 2}$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 3$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc Thay $x_0 = 3$ vào phương trình hàm số để tìm tung độ $y_0$: \[ y_0 = \frac{2(3) + 3}{3 - 2} = \frac{6 + 3}{1} = 9 \] Vậy điểm tiếp xúc là $(3, 9)$. Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số Tìm đạo hàm $y'$ của hàm số $y = \frac{2x + 3}{x - 2}$: \[ y' = \left(\frac{2x + 3}{x - 2}\right)' = \frac{(2x + 3)'(x - 2) - (2x + 3)(x - 2)'}{(x - 2)^2} = \frac{2(x - 2) - (2x + 3)}{(x - 2)^2} = \frac{2x - 4 - 2x - 3}{(x - 2)^2} = \frac{-7}{(x - 2)^2} \] Bước 3: Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x_0 = 3$ \[ y'(3) = \frac{-7}{(3 - 2)^2} = \frac{-7}{1^2} = -7 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là $a = -7$. Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến có dạng $y = ax + b$. Thay $a = -7$, điểm $(3, 9)$ vào phương trình này: \[ 9 = -7(3) + b \] \[ 9 = -21 + b \] \[ b = 30 \] Bước 5: Tính $a + b$ \[ a + b = -7 + 30 = 23 \] Vậy $a + b = 23$. Câu 21. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SB và AC trong hình chóp S.ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số đã biết: - Tam giác ABC vuông tại B với \( AC = 2a \) và \( BC = a \). - \( SA \perp (ABC) \) và \( SA = a\sqrt{3} \). 2. Tính độ dài cạnh AB: - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABC: \[ AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{4a^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \] 3. Tính diện tích tam giác ABC: - Diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times a\sqrt{3} \times a = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \] 4. Tính thể tích khối chóp S.ABC: - Thể tích khối chóp S.ABC là: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \times a\sqrt{3} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \times a\sqrt{3} = \frac{1}{3} \times \frac{3a^3}{2} = \frac{a^3}{2} \] 5. Tính diện tích tam giác SAB: - Tam giác SAB có đáy AB và chiều cao SA: \[ S_{SAB} = \frac{1}{2} \times AB \times SA = \frac{1}{2} \times a\sqrt{3} \times a\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 3a^2 = \frac{3a^2}{2} \] 6. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB): - Gọi khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) là h. Ta có thể tích khối chóp S.ABC cũng có thể được tính qua tam giác SAB: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{SAB} \times h \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \frac{a^3}{2} = \frac{1}{3} \times \frac{3a^2}{2} \times h \] Giải phương trình này để tìm h: \[ \frac{a^3}{2} = \frac{a^2}{2} \times h \implies h = a \] 7. Kết luận: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SB và AC là \( a \). Đáp số: \( a \).