Giai dap cau hoi

Câu 1. Phương pháp giải: - Xác định tâm và bán kính của mặt cầu từ phương trình đã cho. Lời giải chi tiết: Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-3)^2 + y^2 + (z+1)^2 = 16$. Ta nhận thấy đây là phương trình chuẩn của mặt cầu $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó $(a, b, c)$ là tọa độ tâm và $R$ là bán kính. So sánh phương trình của mặt cầu $(S)$ với phương trình chuẩn, ta có: - Tâm của mặt cầu là $I(3, 0, -1)$. - Bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt{16} = 4$. Do đó, tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu $(S)$ là: $\textcircled{C.}~I(3;0;-1);R=4.$ Đáp án đúng là: C. $I(3;0;-1);R=4.$ Câu 2. Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = f(x) \), \( y = 0 \), \( x = -1 \), và \( x = 2 \), ta cần chia hình phẳng thành hai phần riêng biệt dựa vào các đoạn trên trục x. 1. Diện tích phần trên trục x từ \( x = -1 \) đến \( x = 0 \): - Vì \( f(x) \geq 0 \) trong đoạn này, diện tích sẽ là tích phân dương của \( f(x) \) từ \( x = -1 \) đến \( x = 0 \). 2. Diện tích phần dưới trục x từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \): - Vì \( f(x) \leq 0 \) trong đoạn này, diện tích sẽ là tích phân âm của \( f(x) \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \). Để tính diện tích, ta lấy giá trị tuyệt đối của tích phân này. Do đó, diện tích tổng cộng S sẽ là: \[ S = \left| \int_{-1}^{0} f(x) \, dx \right| + \left| \int_{0}^{2} f(x) \, dx \right| \] Tuy nhiên, vì \( f(x) \geq 0 \) từ \( x = -1 \) đến \( x = 0 \) và \( f(x) \leq 0 \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \), ta có thể viết: \[ S = \int_{-1}^{0} f(x) \, dx - \int_{0}^{2} f(x) \, dx \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~S = -\int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx \] Câu 3. Để xác định khẳng định sai trong các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định dựa trên các tính chất của nguyên hàm. A. $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$ (k ≠ 0). Khẳng định này đúng vì nguyên hàm của một hằng số nhân với một hàm số bằng hằng số đó nhân với nguyên hàm của hàm số đó. B. $\int [f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$. Khẳng định này đúng vì nguyên hàm của tổng hai hàm số bằng tổng các nguyên hàm của mỗi hàm số. C. $\int [f(x) - g(x)]dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx$. Khẳng định này đúng vì nguyên hàm của hiệu hai hàm số bằng hiệu các nguyên hàm của mỗi hàm số. D. $\int [f(x) \cdot g(x)]dx = \int f(x)dx \cdot \int g(x)dx$. Khẳng định này sai vì nguyên hàm của tích hai hàm số không bằng tích các nguyên hàm của mỗi hàm số. Tính chất này không tồn tại trong nguyên hàm. Do đó, khẳng định sai là D. Đáp án: D. Câu 4. Để tìm phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1;0;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(1;-2;2)\), ta sử dụng công thức lập phương trình tham số của đường thẳng trong không gian. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + t \cdot u_x \\ y = y_0 + t \cdot u_y \\ z = z_0 + t \cdot u_z \end{array} \right. \] Trong đó, \((x_0, y_0, z_0)\) là tọa độ của điểm \(M\) và \((u_x, u_y, u_z)\) là các thành phần của vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\). Thay tọa độ điểm \(M(1;0;1)\) và các thành phần của vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(1;-2;2)\) vào công thức trên, ta có: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \cdot 1 \\ y = 0 + t \cdot (-2) \\ z = 1 + t \cdot 2 \end{array} \right. \] Simplifying the equations, we get: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = -2t \\ z = 1 + 2t \end{array} \right. \] Do đó, phương trình của đường thẳng \(d\) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = -2t \\ z = 1 + 2t \end{array} \right. \] Vậy đáp án đúng là: \[ \textcircled{D.} \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = -2t \\ z = 1 + 2t \end{array} \right. \] Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để tính $\int^f_{[f(x)-g(x)]dx}dx$. Bước 1: Áp dụng tính chất của tích phân: \[ \int^f_{[f(x)-g(x)]dx}dx = \int^f_{f(x)dx} - \int^f_{g(x)dx} \] Bước 2: Thay các giá trị đã biết vào: \[ \int^f_{f(x)dx} = 4 \quad \text{và} \quad \int^f_{g(x)dx} = -3 \] Bước 3: Tính kết quả: \[ \int^f_{[f(x)-g(x)]dx}dx = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7 \] Vậy đáp án đúng là D. 7. Đáp số: D. 7. Câu 6. Để xác định khẳng định đúng về hàm số \( f(x) = e^x + 2x \), chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của hàm số này. 1. Tính chất đơn điệu: - Ta tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x + 2x) = e^x + 2 \] - Vì \( e^x > 0 \) với mọi \( x \), nên \( e^x + 2 > 0 \) với mọi \( x \). Do đó, \( f'(x) > 0 \) với mọi \( x \). Kết luận: Hàm số \( f(x) = e^x + 2x \) là hàm số đồng biến trên toàn bộ tập xác định của nó. 2. Giá trị cực đại và cực tiểu: - Vì \( f'(x) > 0 \) với mọi \( x \), hàm số không có điểm cực đại hoặc cực tiểu. 3. Giới hạn tại vô cùng: - Ta tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \to +\infty \) và \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (e^x + 2x) = +\infty \] \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (e^x + 2x) = -\infty \] 4. Hàm số liên tục và khả vi: - Hàm số \( f(x) = e^x + 2x \) là tổng của hai hàm số liên tục và khả vi trên toàn bộ tập thực, do đó \( f(x) \) cũng là hàm số liên tục và khả vi trên toàn bộ tập thực. Kết luận: - Hàm số \( f(x) = e^x + 2x \) là hàm số đồng biến trên toàn bộ tập xác định của nó. - Hàm số không có cực đại hoặc cực tiểu. - Giới hạn của hàm số khi \( x \to +\infty \) là \( +\infty \) và khi \( x \to -\infty \) là \( -\infty \). - Hàm số liên tục và khả vi trên toàn bộ tập thực. Do đó, khẳng định đúng là: - Hàm số \( f(x) = e^x + 2x \) là hàm số đồng biến trên toàn bộ tập xác định của nó.