Bbdbdbdbdbd

Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ phân tích từng lựa chọn và xác định điều kiện của các tham số \(a\) và \(d\) để xác định tính chất của hàm số. Hàm số đã cho là: \[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \] Đầu tiên, chúng ta tính đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \] Xét từng lựa chọn: A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-\infty;+\infty).$ Để hàm số đồng biến trên toàn bộ khoảng $(-\infty;+\infty)$, đạo hàm của hàm số phải luôn dương hoặc luôn âm trên toàn bộ khoảng đó. Tuy nhiên, đạo hàm của hàm bậc ba là một đa thức bậc hai, và đa thức bậc hai không thể luôn dương hoặc luôn âm trên toàn bộ khoảng thực trừ khi nó không có nghiệm thực (điều này không xảy ra trong trường hợp này vì \(f'(x)\) là một đa thức bậc hai). Do đó, lựa chọn A không đúng. B. \(a > 0, d < 0\) Điều kiện \(a > 0\) có nghĩa là hệ số của \(x^3\) là dương, hàm số sẽ có hành vi tăng dần khi \(x\) tiến đến \(+\infty\) và giảm dần khi \(x\) tiến đến \(-\infty\). Điều kiện \(d < 0\) chỉ ảnh hưởng đến giá trị của hàm số tại \(x = 0\), nhưng không ảnh hưởng đến tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số. Do đó, lựa chọn B không đủ để xác định tính chất đồng biến của hàm số. C. \(a < 0, d > 0\) Điều kiện \(a < 0\) có nghĩa là hệ số của \(x^3\) là âm, hàm số sẽ có hành vi giảm dần khi \(x\) tiến đến \(+\infty\) và tăng dần khi \(x\) tiến đến \(-\infty\). Điều kiện \(d > 0\) chỉ ảnh hưởng đến giá trị của hàm số tại \(x = 0\), nhưng không ảnh hưởng đến tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số. Do đó, lựa chọn C không đủ để xác định tính chất đồng biến của hàm số. D. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị. Để hàm số có hai điểm cực trị, đạo hàm của hàm số phải có hai nghiệm thực khác nhau. Đạo hàm của hàm số là: \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \] Để \(f'(x)\) có hai nghiệm thực khác nhau, phương trình \(3ax^2 + 2bx + c = 0\) phải có biệt thức \(B^2 - 4AC > 0\), trong đó \(A = 3a\), \(B = 2b\), và \(C = c\). Biệt thức của phương trình là: \[ (2b)^2 - 4(3a)c = 4b^2 - 12ac \] Điều kiện để có hai nghiệm thực khác nhau là: \[ 4b^2 - 12ac > 0 \] \[ b^2 - 3ac > 0 \] Do đó, lựa chọn D đúng nếu điều kiện \(b^2 - 3ac > 0\) được thỏa mãn. Kết luận: Lựa chọn đúng là D. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị. Đáp án: D. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị. Câu 2. Để tìm tọa độ của điểm \( N \), ta sử dụng công thức tính tọa độ của một vectơ từ hai điểm \( M \) và \( N \): \[ \overrightarrow{MN} = (x_N - x_M, y_N - y_M, z_N - z_M) \] Biết rằng \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{v} = (2, -1, -2)\), ta có: \[ (x_N - 1, y_N - 2, z_N + 3) = (2, -1, -2) \] Từ đây, ta lập hệ phương trình để tìm \( x_N, y_N, z_N \): \[ \begin{cases} x_N - 1 = 2 \\ y_N - 2 = -1 \\ z_N + 3 = -2 \end{cases} \] Giải từng phương trình: 1. \( x_N - 1 = 2 \) \[ x_N = 2 + 1 = 3 \] 2. \( y_N - 2 = -1 \) \[ y_N = -1 + 2 = 1 \] 3. \( z_N + 3 = -2 \) \[ z_N = -2 - 3 = -5 \] Vậy tọa độ của điểm \( N \) là \( (3, 1, -5) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~(3;1;-5) \] Câu 3. Để xác định đường thẳng \( y = -2x + 1 \) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số nào, ta cần kiểm tra từng hàm số đã cho để xem liệu khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), biểu thức \( f(x) \) có tiến đến đường thẳng \( y = -2x + 1 \) hay không. Xét từng hàm số: A. \( y = -2x + 1 - \frac{3}{x-2} \) Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \): \[ \frac{3}{x-2} \to 0 \] Do đó: \[ y = -2x + 1 - \frac{3}{x-2} \to -2x + 1 \] Như vậy, đường thẳng \( y = -2x + 1 \) là tiệm cận xiên của hàm số này. B. \( y = x + 1 + \frac{1}{-2x+1} \) Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \): \[ \frac{1}{-2x+1} \to 0 \] Do đó: \[ y = x + 1 + \frac{1}{-2x+1} \to x + 1 \] Như vậy, đường thẳng \( y = x + 1 \) là tiệm cận xiên của hàm số này, không phải \( y = -2x + 1 \). C. \( y = 3x - 2 + \frac{3}{2x-1} \) Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \): \[ \frac{3}{2x-1} \to 0 \] Do đó: \[ y = 3x - 2 + \frac{3}{2x-1} \to 3x - 2 \] Như vậy, đường thẳng \( y = 3x - 2 \) là tiệm cận xiên của hàm số này, không phải \( y = -2x + 1 \). D. \( y = \frac{1}{-2x+1} \) Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \): \[ \frac{1}{-2x+1} \to 0 \] Do đó: \[ y = \frac{1}{-2x+1} \to 0 \] Như vậy, đường thẳng \( y = 0 \) là tiệm cận ngang của hàm số này, không phải \( y = -2x + 1 \). Kết luận: Đáp án đúng là: \( A.~y = -2x + 1 - \frac{3}{x-2} \). Câu 4. Để tìm một véc tơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \( A(1;3;-3) \) và \( B(0;1;-1) \), ta cần tính véc tơ \( \overrightarrow{AB} \). Véc tơ \( \overrightarrow{AB} \) được tính như sau: \[ \overrightarrow{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z) \] \[ \overrightarrow{AB} = (0 - 1, 1 - 3, -1 - (-3)) \] \[ \overrightarrow{AB} = (-1, -2, 2) \] Bây giờ, ta so sánh véc tơ \( \overrightarrow{AB} \) với các lựa chọn đã cho: - \( A.~\overrightarrow{u_i} = (1;2;-2) \) - \( B.~\overrightarrow{u_d} = (1;-2;-2) \) - \( C.~\overrightarrow{u_3} = (1;4;-4) \) - \( D.~\overrightarrow{u_d} = (0;1) \) Ta thấy rằng véc tơ \( \overrightarrow{AB} = (-1, -2, 2) \) không trùng khớp với bất kỳ lựa chọn nào trong các lựa chọn đã cho. Tuy nhiên, ta có thể nhận thấy rằng véc tơ \( \overrightarrow{u_d} = (1, -2, -2) \) có thể là một bội của véc tơ \( \overrightarrow{AB} \). Ta kiểm tra xem véc tơ \( \overrightarrow{u_d} = (1, -2, -2) \) có phải là bội của véc tơ \( \overrightarrow{AB} = (-1, -2, 2) \) hay không: \[ \overrightarrow{u_d} = k \cdot \overrightarrow{AB} \] \[ (1, -2, -2) = k \cdot (-1, -2, 2) \] Từ đó ta có: \[ 1 = -k \Rightarrow k = -1 \] \[ -2 = -2k \Rightarrow k = 1 \] \[ -2 = 2k \Rightarrow k = -1 \] Như vậy, ta thấy rằng \( k = -1 \) thỏa mãn tất cả các phương trình trên. Do đó, véc tơ \( \overrightarrow{u_d} = (1, -2, -2) \) là một bội của véc tơ \( \overrightarrow{AB} = (-1, -2, 2) \). Vậy, véc tơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \( A(1;3;-3) \) và \( B(0;1;-1) \) là: \[ \boxed{B.~\overrightarrow{u_d} = (1, -2, -2)} \] Câu 5. Mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2 + y^2 + z^2 = \frac{1}{4}$. Ta nhận thấy rằng phương trình này có dạng chuẩn của mặt cầu $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $(a, b, c)$ và bán kính là $R$. So sánh phương trình $x^2 + y^2 + z^2 = \frac{1}{4}$ với phương trình chuẩn, ta thấy tâm của mặt cầu là $(0, 0, 0)$ và $R^2 = \frac{1}{4}$. Do đó, bán kính $R$ của mặt cầu là: \[ R = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}. \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~R = \frac{1}{2}. \] Câu 6. Để tính xác suất điều kiện \( P(A|B) \), ta sử dụng công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \] Trong đó: - \( P(B) = 0,8 \) - \( P(AB) = 0,5 \) Thay các giá trị vào công thức: \[ P(A|B) = \frac{0,5}{0,8} \] Rút gọn phân số này: \[ P(A|B) = \frac{0,5}{0,8} = \frac{5}{8} \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\frac{5}{8} \] Câu 7. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, ta thấy rằng hàm số đạt cực đại tại điểm $x_0$ khi đạo hàm $f'(x)$ chuyển từ dương sang âm. Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy: - Khi $x < -1$, hàm số đồng biến ($f'(x) > 0$). - Khi $x = -1$, đạo hàm $f'(-1) = 0$. - Khi $-1 < x < 1$, hàm số nghịch biến ($f'(x) < 0$). Do đó, hàm số đạt cực đại tại điểm $x_0 = -1$. Vậy đáp án đúng là: Hàm số $y = f(x)$ đạt cực đại tại điểm $x_0 = -1$.